Вправи: 5.34

5.34 (Всеукраїнська олімпіада з математики, 1964 р.) Знайдіть

найбільше значення n, при якому n точок можна розмістити на площині так, щоб кожні три з них були вершинами прямокутного трикутника.

Нехай A i B — ті з даних точок, відстань між

якими найбільша, a C — будь–яка з інших даних точок. У ∆ABC за умовою один з кутів

прямий. Оскільки AB — найбільша сторона

трикутника, то ∠ACB = 90°. Отже, усі дані

точки лежать на колі, побудованому на відрізку

AB як на діаметрі.

Припустимо, що серед даних точок, крім точки С, є ще й точка D. У ∆ADC — один з кутів прямий. Кут ADC не може бути прямим, бо тоді точка C збігалася б з точкою В (відрізок AC був би діаметром кола). Аналогічно кут ACD також не може бути прямим. Тому ∠DAC = 90°, а отже, DC — діаметр кола.

Довели, що будь–яка інша четверта точка D є кінцем діаметра кола,

який проходить через точку С. Така точка єдина. Отже, n = 4.

Відповідь: n = 4.