Вправи: 598

598. Радіус одного кола дорівнює 5 см, а діаметр другого 14 см. Чи подібні ці кола? Якщо так, то знайдіть коефіцієнт подібності.

R₁ = 5 см; R₂ = 7 см;

k = R2R1 = 75.

Стор.127

Самостійна робота

Варіант 1

1. На сторонах AB і AC ∆ABC взято точки M і N так, що MN ∥ BC. Знайди MN, якщо AM = 6 см, BM = 4 см, BC = 15 см.

MN ∥ BC, ∆AMN ~ ∆ACB, AMMN = ABBC, 6MN = 105, MN = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

3. Укажи трикутник, подібні ∆ABC, і доведи, що вони подібні.

∆ABC ~ ∆PBK, ∠K = ∠C = 90°, ∠B — спільний, за двома рівними

кутами.

4. У ∆ABC сторона AB на 15 см менша за BC. Знайди периметр трикутника, якщо бісектриса ∠B ділить сторону AC на відрізки 4 см і 14 см.

Проведемо з точки A під довільним кутом промінь AD, відкладемо на ньому послідовно 2 і 3 рівні відрізки.

Сполучимо BC, проведемо пряму MK ∥ BC.

AK = 2х; KB = Зх; 2х + Зх = 9; 5х = 9;

х = 1,8. AK = 3,6 cм; KB = 5,4 см.

Відповідь: 3,6 см; 5,4 см.

Варіант 2

1. На сторонах AB і BC ∆ABC взято точки E і F так, що EF ∥ AC. Знайди AB, якщо EF = 5 см, BE = 4 см, AC = 8 см.

EF ∥ AC, ∆FEB ~ ∆CAB.

BEEF = BACA; 45 = x+48;

5х + 20 = 32;

5х = 12; х = 2,4.

AB = 6,4 см.

Відповідь: 6,4 см.

3. Укажи трикутники, подібні ∆AKT, і доведіть, що вони подібні.

∆АКТ ~ ∆PCT (за двома рівними кутами). ∠K = ∠C = 90° , ∠T —

спільний.

4. У ∆ABC AB = 12 см, BC = 24 см, AC = 30 см. Знайди відрізки, на які бісектриса ∠B ділить сторону AC.

Проведемо з точки А промінь AD під довільним кутом. Відкладемо послідовно 5 і 7 рівних відрізка. Сполучимо BD, проведемо KC ∥ BD.

5х + 7х = 10, 12х = 10, х = 1012 = 56;

АК = 5 • 56 = 256 (см) = 416 см.

BK = 7 • 56 = 356 (см) = 556 см.

Відповідь: 556 см; 416 см.

Варіант З

1. На сторонах AC і BC ∆ABC взято точки K і P так, що PK ∥ AB. Знайди AB, якщо CK = 5 см, AK = 4 см, PK = 3 см.

PK ∥ AB. ∆KCP ~ ∆ACB.

KCAC = KPAB; 59 = 3AB; MN = 3•95 = 5,4.

Відповідь: 5,4 см.

3. Укажи трикутники, подібні ∆KBP, і доведіть, що вони подібні.

∆АВС ~ ∆CTP (за двома кутами). ∠K = ∠C = 90°, ∠B — спільний.

4. У ∆ABC сторона AC на 6 см більша за AB. Знайди периметр трикутника, якщо бісектриса ∠A ділить сторону BC на відрізки 5 см і 10 см.

Проведемо промінь AD під довільним кутом. Послідовно відкладемо З і 4 рівні відрізки. Сполучимо NB, проведемо MK ∥ NB.

AM = Зх; MN = 4x;

3x + 4х = 8.

7x = 8; x = 87;

AK = 3 • 87 = 247 = З37;

KВ = 4 • 87 = 327 = 447.

Відповідь: 337 см; 447 см.

Варіант 4

1. На сторонах AB і BC ∆ABC взято точки D і E так, що DE ∥ AC. Знайди BE, якщо AD = 7 см, BD = 3 см, BC = 15 см.

DE ∥ AC; ∆DBE ~ ∆ABC.

DBAB = BEBC; 310 = BE15; BE = 3•1510 = 4,5 (см).

Відповідь: 4,5 см.

2. Укажи трикутники, подібні ∆CPT, і доведіть, що вони подібні.

∆CPT ~ ∆KPB — за двома рівними кутами.

∠K = ∠C = 90°, ∠CPT = ∠BPK – вертикальні кути.

4. У ∆ABC AB = 20 см, BC = 6 см, AC = 24 см. Знайди відрізки, на які бісектриса ∠C ділить сторону AB.

АР = 4х; РВ = 5х; 4х + 5x = 6;

9x = 6; x = 23;

AP = 4 • 23 = 83 = 223 (см),

PВ = 5 • 23 = 103 = З13 (см).

Відповідь: 223 см, 313 см.

Стор.128

Тестові завдання

Номери завдань	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Правильні відповіді	В	А	В	Б	В	А	Г	В	А	В

Стор.129

Типові задачі для тематичного контролю

1. ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁. Знайди невідомі сторони трикутників, якщо

AB = 15 см, A₁B₁ = 30 см, A₁C₁ = 48 см.

AC : CD : DB = 2 : 3 : 5.

2. Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см. Знайди сторони подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 75 см.

∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁. A1B1AB = 3015 = 2;

k = 2 • B₁C₁ = 17 • 2 = 34 (см).

AC = 48 : 2 = 24 (см).

3. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а бічні сторони 4 см і 7 см. На скільки треба продовжити бічні сторони, щоб вони перетнулися?

∆AOM ~ ∆CON.

1) ∠NOC = ∠MOA (вертикальні кути).

2) ∠NCO = ∠MAO (внутрішні разносторонні кути). BC ∥ AD, AC — січна.

∆AOM ~ ∆CON за двома рівними кутами.

5. Через точку O перетину діагоналей трапеції ABCD проведено пряму, яка перетинає основи AD і BC у точках M i N відповідно. Доведи, що ∆AOM ~ ∆CON.

а) 2 см; 6 см; 7 см і 10 см; 35 см; 30 см;

102 = 357= 306 = 5; трикутники подібні.

б) 2 см; 6 см; 7 см і 3 см; 9 см; 10,5 см.

32 = 96 = 10,57 = 1,5; трикутники подібні.

6. З вершини B прямокутника ABCD опущено перпендикуляр BK на діагональ AC. Знайди AC, якщо BK = 12 см і AK : KC = 4 : 9.

Р_∆ABC = 3 + 5 + 7 = 15 (см).

k = P∆A1B1C1P∆ABC = 7515 = 5.

Сторони: 15 см; 25 см; 35 см.

7. З вершини тупого кута паралелограма на його сторони опущено перпендикуляри завдовжки 5 см і 8 см. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 78 см.

Нехай BK ⊥ AD, BF ⊥ CD.

Р_∆ABC = 78 см;

∆ABK ~ ∆CBF за двома рівними кутами.

∠K = ∠F = 90°, ∠A = ∠C — протилежні кути паралелограма.

BKBF = ABBC = 58;

AB = 5х; BC = 8х. (5х + 8х) • 2 = 78; 26х = 78; х = 3;

AB = CD = 15 см; BC = AD = 24 см.

Відповідь: 15 см; 24 см.

8. У ∆ABC (мал.12.20) зі сторонами AB = 12 см і AC = 15 см вписано паралелограм так, що один кут у них спільний. Знайди сторони

паралелограма, якщо одна з них на 6 см більша за другу.

AMNP — паралелограм. AM = х, MN = x + 6. MN ∥ AC, ∆MBN ~ ∆АВС.

MBMN = ABAC; 12- xx+6 = 1215; 12- xx+6 = 45;

60 – 5х = 4х + 24; 9х = 36;

х = 4. AM = PN = 4 см;

MN = AD = 10 см.

Відповідь: 4 см; 10 см.

9. У трикутник вписано півколо, яке дотикається до двох сторін трикутника і центр якого ділить третю сторону на відрізки 7,5 см і 10,5 см. Знайди сторони трикутника, якщо його периметр 42 см.

∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁, AM, A₁M₁ — медіани. ∆AMC ~ ∆A₁M₁C₁ тому що ACA1C1 = CMC1M1 = AMA1M1;

сторони пропорційні.