Вправи: 558

558. Якщо навколо трапеції можна описати коло і в цю саму трапецію можна вписати коло, то кожна бічна сторона трапеції дорівнює її середній лінії. Доведіть.

ABCD — трапеція, навколо якої можна описати коло і в неї можна вписати коло. MN — середня лінія.

Доведемо, що MN = АВ.

Оскільки трапеція вписана в коло, то AB = CD, тобто ABCD — рівнобічна. Оскільки трапеція описана навколо кола, то AD + ВС = АВ + CD, або AD + ВС = 2АВ, тоді AB = AD+ BC2 = MN.

Стор.106

Тестові завдання

№ 1

1. Знайдіть тупий кут паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 30°. А. 60°. Б. 120°. В. 150°. Г. 180°.

Тупий кут дорівнює 180° – 30° = 150°.

Відповідь: В

2. За якої з наведених умов чотирикутник є паралелограмом?

A. Дві протилежні сторони рівні. Б. Одна з діагоналей ділить другу навпіл. B. Дві протилежні сторони паралельні. Г. Діагоналі діляться точкою їх перетину навпіл.

Відповідь: Г.

3. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см і утворює зі стороною кут 30°. Знайдіть меншу сторону прямокутника. А. 15 см. Б. 5 см. В. 20 см. Г. 6 см

CD — менша сторона, бо в прямокутному ∆ACD кут 30° — менший, тому навпроти нього лежить менша сторона.

СD = 12AС = 10 : 2 = 5 (см).

Відповідь: Б

4. Знайдіть гострий кут ромба, якщо його периметр дорівнює 24 см, а висота — 3 см. А. 60°. Б. 90°. В. 30°. Г. 45.

ABCD— ромб. P_ABCD = 24 см, тому AB = AD = 24 : 4 = 6 (см).

BK ⊥ AD; BK = З (см).

У прямокутному ∆ABK: BK = З см — катет; AB = 6 см — гіпотенуза. Катет дорівнює половині гіпотенузи. Отже, катет ВК лежить навпроти кута 30°, тому ∠A = 30°.

Відповідь: В.

5. Бісектриса кута паралелограма ABCD перетинає сторону BC у точці К. Знайдіть периметр паралелограма, якщо BK = 12 см,

KC = 8 см. А. 20 см. Б. 40 см. В. 44 см. Г. 64 см.

BC ∥ AD; AK – січна, томy ∠BKA = ∠KAD, але ∠KAD = ∠BAK, AK — бісектриса ∠A. звідси ∠BAK = ∠BKA. Тому ∆ВКА — рівнобедрений,

AB = ВК = 12 см.

ВС = ВК + КС = 12 + 8= 20 (см);

Р_ABCD = (12 + 20) x 2 = 64 (см).

Відповідь: Г.

№ 2

1. Знайдіть вписаний кут, якщо дуга, на яку він спирається, дорівнює 150°.

А. 150°. Б. 75°. В. 90°. Г. 85°.

α — вписаний кут. Його градусна міра дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

α = 12 • 150° = 75°.

Відповідь: Б.

2. Точки М i N – середини сторін AB і ВС ∆АВС. Знайдіть сторону АС трикутника, якщо MN = 4 см. А. 8 см. Б. 12 см. В. 2см. Г. 6 см.

MN — середня лінія ∆АВС. MN ∥ АС; MN = 12AC.

Тому АС = 2MN = 2 x 4 = 8 (см).

Відповідь: А.

З. Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює

10 см. Знайдіть периметр чотирикутника.

А. 10 см. Б. 20 см. В. 30 см. Г. 40 см.

Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то суми протилежних сторін рівні.

Р = 2 х 10 = 10 см.

Відповідь: Б.

4. Кути А, В і C вписаного чотирикутника ABCD відносяться, як

1 : 2 : 3. Знайдіть кут D.

А. 30°. Б. 60°. В. 120°. Г. 90°.

Нехай ∠A = 1х; ∠B = 2х; ∠C = 3x.

У вписаного чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює 180°, тому ∠A + ∠C = 180°: 1x + Зx = 180°; 4х = 180°; х = 45°; ∠B = 2х =

= 2 х 45° = 90°; ∠B + ∠D = 180°; ∠D = 180° – ∠B = 180° – 90° =

= 90°.

Відповідь: Г.

5. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута, а основи дорівнюють 5 см і 12 см. Знайдіть периметр трапеції.

А. 17 см. Б. 22см. В.25см. Г. 27 см.

AС — бісектриса ∠A , тому ∠BAC = ∠CAD, але ∠CAD = ∠BCA (внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній AС).

Звідси: ∠BAC = ∠BCA, тому ∆АВС — рівнобедрений.

AB = ВС = 5 см, за умовою AB = CD.

P_ABCD = AB + ВС + CD + AD = 5 + 5 + 5 + 12 = 27 (см).

Відповідь: Г.