Вправи: 108

108. Прямі, на яких лежать бісектриси AK і BM трикутника ABC,

перетинаються під кутом 74°. Знайдіть кут С.

За умовою АК — бісектриса ∠ВАС. За означенням бісектриси кута маємо: ∠ВАК = ∠САК = 12 ∠ВАС. Нехай ∆ВАК = х, тоді ∠ВАС = 2х.

За умовою ВМ — бісектриса ∠АВС. Аналогічно маємо ∠АВМ = ∠МВС = 12∠AВС.

Нехай ∠АВМ = у, тоді ∠АВС = 2у. ∠ВОК і ∠АОВ — суміжні.

За теоремою про суміжні кути маємо ∠АОВ + ∠ВОК = 182°, ∠АОВ = 180° – ∠ВОК, ∠АОВ = 180° – 74° = 106°.

Розглянемо ∆АОВ. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠ОАВ + ∠ОВА + ∠АОВ = 180°; х + у + 106° = 180°; х + у = 180° – 106°; х + у = 74°. Розглянемо ∆АВС. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠ВАС + ∠АВС + ∠С = 180°, ∠С = 180° – (∠АВС + ∠ВАС), ∠С = 180° – (2х + 2у) = 180° – 2(х + у) = 180° – 2 • 74° = 180° – 148° = 32°.

Відповідь: 32°.