Вправи: 815

815. На тарілці лежать 9 шматочків сиру різної маси. Доведіть, що можна один із шматочків сиру розрізати на дві частини так, що одержані 10 шматочків можна буде розкласти на дві тарілки й при цьому маса сиру на кожній із них буде однаковою.

Відкладаємо найважчий шматочок сиру з масою М. Інші 8 шматочків розкладаємо в дві купи так, щоб одна з куп була менша по масі ніж друга купа. Тобто, беремо два довільні шматочки і кладемо їх в окремі купи, потім беремо два інші шматочки і найважчий додаємо в купу з меншою масою, а найлегший додаємо в купу з більшою масою, і т.д. Ми отримаємо дві купи сиру або однакової маси, або маса однієї буде більшою за масу іншої на х.

М1 < M2 + x.

Якщо ми отримали дві купи сиру з однаковою масою, то дев’ятий шматок масою М, ми розрізаємо навпіл і кладемо кожну половину до кожної купи. Якщо маси куп різні, то дев’ятий шматок ми розрізаємо на М2 – х2 та М2 + х2.

Тоді шматок з більшою масою М2 + х2 ми кладемо до купи з меншою масою М1, а шматок з меншою масою М2 – х2, кладемо в купу з більшою масою М2.

М1 + М2 + х2 = М2 + М2 – х2.

Завдання № 6 «Перевірте себе» в тестовій формі

1. Знайдіть корені квадратного тричлена

Г. 5х² – х – 6 = 0; D = 1 + 120 = 121; D = 11;

x₁ = 1+1410 = 1,2; x₂ = 1-1110 = –1.

2. Розкладіть на множники квадратний тричлен

В. –х² – 4х + 5 = 0; х² + 4х – 5 = 0; х₁ = –5, х₂ = –1;

–х² – 5х + 5 = –(х + 5)(х – 1).

3. Скоротіть дріб

А. x2+7x+12x2+ x-6 = (x+4)(x+3)(x+3)(x-2) = x+4x-2.

4. Розв’яжіть рівняння

Б. х² + 7х² – 18 = 0, заміна: х² = t, х⁴ = t², маємо рівняння

t² + 7t – 18 = 0; t₁ = –9, t₂ = 2.

х² = 9 або х² = 2; перше рівняння не має коренів, друге рівняння х₁ = –2, х₂ = 2.

5. Знайдіть корені рівняння

А. (х² – 4х)² – 2(х² – 4х) – 15 = 0, заміна: х² – 4х = t, тоді (х² – 4х)² = t², маємо рівняння t² – 2t – 15 = 0; t₁ = 5, t₂ = –3.

х² – 4х = 5 або х² – 4х = –3; розв’яжемо перше рівняння

х² – 4х – 5 = 0; х₁ = 5, х₂ = –1; розв’яжемо друге рівняння

х² – 4х + 3 = 0; х₃ = 3, х₄ = 1.

6. Розв’яжіть рівняння

В. х – x – 12 = 0, заміна: x = t, тоді х = t², маємо рівняння

t² – t – 12 = 0; t₁ = 4, t₂ = –3.

x = 4 або x = 3, друге рівняння не має коренів, x = 4,

х = 16.

7. Розв’яжіть рівняння

В. 3х-1х – 4х-2 = 10-9хх2-2х; 3х-1(х-2)-4хх(х-2) = 10-9хх(х-2);

3х2-6х-х+2-4хх(х-2) = 10-9хх(х-2); 3х2-11х+2х(х-2) = 10-9хх(х-2);

3x² – 11x + 2 = 10 – 9x, 3x² – 2x – 8 = 0, x = 2 або x = –43,

х(х – 2) ≠ 0; x ≠ 0, x ≠ 0,

x ≠ 2; x ≠ 2;

х = –43.

8. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 350 км, виїхали одночасно вантажний і легковий автомобілі. Швидкість вантажівки на 20 км/год менша від швидкості легкового автомобіля, через що вона прибула до пункту призначення на 2 год пізніше за легковий автомобіль. Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює x км/год. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі?

А. Нехай швидкість вантажного автомобіля х км/год, тоді легкового (х + 20) км/год, 350 км вантажний автомобіль проїде за 350х год, а легковий за 350х+20 год. Легковий автомобіль витратив менше на (350х + 350х+20) год.

9. Катер проплив 30 км за течією річки та повернувся назад,

витративши на весь шлях 3 год 10 хв. Швидкість течії річки

дорівнює 1 км/год. Нехай власна швидкість катера становить x км/год. Яке з рівнянь відповідає умові задачі?

Г. Нехай власна швидкість катера становить х км/год, швидкість катера проти течії (х – 1) км/год, за течією (х + 1) км/год. За течією катер плив 30х+1 год, а проти течії 30х-1 год. На весь шлях витрачено 3 год 10 хв = 31060 год = 316 год або (30х+1 + 30х-1) год.

10. Робітниця мала за деякий час виготовити 96 деталей. Щодня вона виготовляла на 2 деталі більше, ніж планувала, і закінчила роботу на 3 дні раніше строку. Нехай робітниця виготовляла щодня x деталей. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі?

Б. Нехай робітниця щодня виготовляла х деталей, тоді за планом вона мала виготовляти (х – 2) деталі. Всю роботу вона планувала виконати за 96х-2днів, а виконала за 96х дні. Робота виконана раніше строку на (96х – 96х-2), а за умовою за 3 год.

11. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяке виробниче завдання за 10 год, причому перший із них може виконати це завдання самостійно на 15 год швидше за другого. Нехай перший робітник може самостійно виконати завдання за x год. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі?

В. Нехай перший робітник може самостійно виконати завдання за х год, тоді другий за (х + 15) год. За 1 годину перший робітник виконує 1х частину роботи, а другий 1х+15 частину, разом вони можуть виконати 110 частину роботи. Маємо рівняння: 1х + 1х+15 = 110, помножимо обидві частини рівняння на 10. 10х + 10х+15 = 1.

12. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та множиною його коренів (А–Д).

1) х-4х2-5х+4 = 0; x – 4 = 0; х = 4.

x² + 3х – 4 ≠ 0; (х – 4)(х – 1) ≠ –1.

Відповідь: Д) ∅.

2) (х – 1)(x² + 9х – 10 = 0) = 0;

х – 1 = 0; х = 1; х = 1.

x² + 9х – 10 = 0; D = 81 + 40 = 121; x = −10, 1.

Відповідь: Б) {1}.

3) х2+6х-40х-4 = 0; x² + 6х – 40 = 0, x = –10 або x = 4,

x – 4 ≠ 0; x ≠ 4.

Відповідь: В) {−10}.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ КУРСУ АЛГЕБРИ 8 КЛАСУ