Вправи: 787

787. На екрані монітора комп’ютера записано число 1. Щосекунди комп’ютер додає до числа, що знаходиться на екрані, суму його цифр. Чи може через якийсь час на екрані з’явитися число 123 456 789?

За умовою маємо ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16, 23... Відомо, що сума цифр будь–якого числа, яке ділиться на 3 без остачі, теж ділиться на 3. Тобто якщо додати до такого числа суму його ж цифр, то нове число також ділитиметься на 3. Припустимо, що число 123456789 належить заданій послідовності. Воно ділиться на 3. Це означає, що всі попередні числа ряду мали теж ділитися на 3, але це не так. Значить, число 123456 789 не з’явиться на екрані.

Відповідь: ні.

Розв’язування рівнянь методом заміни змінної

1) 3х2- 9х2 – 12х2- 3х = 3; 3(х2- 3х)2 – 6 • 2х2- 3х – 3 = 0; заміна: х2- 3х2 = t, тоді 2х2- 3х = 1х; отримаємо рівняння 3t – 6t – 3 = 0; 3t2- 3t-6t = 0; 3t² – 3t – 6 = 0,

t ≠ 0;

3t² – 3t – 6 = 0; t² – t – 2 = 0; t₁ = 2, t₂ = –1.

х2- 3х2 = 2 або х2- 3х2 = –1; розв’яжемо перше рівняння

х² – 3х = 4; х² – 3х – 4 = 0; х₁ = 4, х₂ = –1; розв’яжемо друге рівняння х² – 3х = –2; х² – 3х + 2 = 0; х₃ = 2, х₄ = 1.

Відповідь: –1; 1; 2; 4.

2) 6x+1(x+2) + 8x-1(x+1) = 1; 6x+1(x+2) + 8x-1(x+1) – 1 = 0; заміна: х² + 3х = t, отримаємо рівняння 6t+2 + 8t-4 – 1 = 0; 6t-4+ 8t+2- (t+2)(t-4)t+2(t-4) – 1 = 0;

6t-24+8t+16- t2+ 2t+8t+2(t-4) = 0; -t2+ 16tt+2(t-4) = 0;

–t² + 16t = 0, t² – 16t = 0, t(t – 16) = 0,

(t + 2)(t – 4) ≠ 0; t ≠ –2, t ≠ –2,

t ≠ 4; t ≠ 4;

t = 0 або t = 16,

t ≠ –2,

t ≠ 4.

Якщо х² + 3х = 0, то х(х + 3) = 0; х₁ = 0, х₂ = –3;

якщо х² + 3х = 16, то х² + 3х – 16 = 0;

х₃ = -3+ 732, х₄ = -3- 732.

Відповідь: -3- 732; 0; -3+ 732; –3.

3) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100; x(x + 8)(x + 3)(x + 5) = 100; (x² + 8x)(x² + 8x + 15) = 100; заміна: x² + 8x = t, отримаємо рівняння t(t + 15) = 100; t² + 15t – 100 = 0; t₁ = 5, t₂ = –10.

x² + 8x = 5 або x² + 8x = –20; розв’яжемо перше рівняння

x² + 8x – 5 = 0;

D₁ = 16 + 5 = 21; х₁ = –4 + 21, x₂ = –4 – 21; розв’яжемо друге рівняння x² + 8x + 20 = 0; D₁ = 16 – 20 = –4, коренів немає.

Відповідь: –4 – 21; –4 + 21.

4) (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x²; (x + 2)(x + 12)(x + 3)(x + 8) = 4x²; (x² + 14x + 24)(x² + 11x + 24) = 4x²; x = 0 не є коренем рівняння.

x2+ 14x+24x • x2+ 11x+24x = 4. (x + 14 + 24x)(x + 11 + 24x) = 4; заміна: х + 24х = t, отримаємо рівняння (t + 14)(t + 11) = 4;

t² + 25t + 154 – 4 = 0; t² + 25t + 150 = 0; t₁ = –10, t₂ = –15.

x + 24x = –10 або x + 24x = –15; розв’яжемо перше рівняння

х + 24х + 10 = 0; х2+ 10х+24х = 0; х² + 10х + 24 = 0,

х ≠ 0;

х² + 10х + 24 = 0; х₁ = –6, х₂ = –4;

розв’яжемо друге рівняння х + 24х + 15 = 0; х2+ 15х+24х = 0;

х² + 15х + 24 = 0,

х ≠ 0; х² + 15х + 24 = 0; D = 129;

x₃ = -15+ 1292, x₃ = -15- 1292.

Відповідь: -15+ 1292; -15- 1292; –6; –4.

5) 7(х + 1х) – 2(х² + 1х2) = 9; заміна: х + 1х = t, (x + 1x)² = t²;

x² + 2 + 1x2 = t²; x² + 1x2 = t² – 2; маємо рівняння

7t – 2t² + 4 – 9 = 0; –2t² + 7t – 5 = 0; 2t² – 7t + 5 = 0; t₁ = 52, t₂ = 1.

x + 1x = 52 або х + 1х = 1; розв’яжемо рівняння х + 1х = 52 = 0;

2х2- 5х+22х = 0; 2х² – 5х + 2 = 0, х = 2 або х = 12,

2х ≠ 0; х ≠ 0;

х₁ = 2, х₂ = 12;

розв’яжемо друге рівняння

х + 1х – 1 = 0; х2- х+1х = 0; х² – х + 1 = 0, немає коренів,

х ≠ 0; х ≠ 0.

Відповідь: 12; 1.

6) 2(х² + х + 1)² – 7(х – 1)² = 13(х³ – 1);

2(х² + х + 1)² – 7(х – 1)² = 13(х – 1)(х² + х + 1);

х = 1 не є коренем рівняння.

Поділимо обидві частини рівняння на (х – 1)², маємо:

2(х2+ х+1)(х-1)2 – 7 = 13(х2+ х+1)х-1; 2(х2+ х+1х-1)² – 12(х2+ х+1х-1) – 7 = 0; заміна: х2+ х+1х-1 = t, тоді (х2+ х+1х-1) = t²; маємо рівняння

2t² – 13t – 7 = 0; t₁ = 7, t₂ = –12.

x2+ x+1 x-1 = 7 або х2+ х+1х-1 = –12; розв'яжемо перше рівняння х2+ х+1 х-1 – 7 = 0; х2+ х+8х-1 = 0;

х² – 6х + 8 = 0, х = 4 або х = 2,

х – 1 ≠ 0; х ≠ 1;

розв’яжемо друге рівняння

х2+ х+1х-1 + 12 = 0; 2х2+ 2х+2+х-12(х-1) = 0; 2х2+ 3х+12(х-1) = 0;

2х² + 2х + 1 = 0, х = –12 або х = –1,

2(х – 1) ≠ 0, х ≠ 1.

Відповідь: –1; –12; 2; 4.

7) (х – 6)⁴ + (х – 4)⁴ = 82; знайдемо середнє арифметичне чисел 4 і 6: 4+62 = 5; подамо рівняння у вигляді ((х – 5) – 1)⁴ + ((х – 5) + 1)⁴ = 82; заміна: х – 5 = t, маємо рівняння

(t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 82;

((t – 1)²)² + ((t + 1)²)² = 82;

(t² – 2t + 1)² + (t² + 2t + 1)² = 82;

t⁴ + 4t² + 1 – 4t³ – 4t + 2t² + t⁴ + 4t² + 1 + 4t⁵ + 4t + 2t² = 82;

2t⁴ + 12t² – 80 = 0; t⁴ + 6t² – 40 = 0; заміна: t² = z, тоді t⁴ = z², маємо рівняння z² + 6z – 40 = 0; z₁ = –10, z₂ = 4.

t² = –10 або t₂ = 4, перше рівняння не має коренів, у² = 4, t = 2 або t = –2, маємо х – 5 = 2 або х – 5 = –2; х = 7 або х = 3.

Відповідь: 3; 7.