Вправи: 470

470. У роті 100 солдатів. Щоночі на чергування виходять три солдати. Чи можна так організувати чергування, щоб через деякий час кожний солдат побував на чергуванні з кожним з решти солдатів рівно один раз?

Hexaй кожному солдату присвоєно відповідний номер: 1, 2, 3…, 100, тоді перший солдат може чергувати за розкладом 1 + 2 + 3; 1 + 4 + 5; 1 + 6 + 7; ...; 1 + 96 + 97; 1 + 98 + 99;

1 + 100 + ?. Щоночі 1 солдат чергує з двома з решти 99, але 99 непарне число, отже останню ніч один з солдатів буде чергувати з ним вдруге. Це суперечить умові, за якою кожен солдат із кожним із решти солдатів чергує рівно один раз.

Відповідь: ні.

Відкриття ірраціональності

1. Доведіть, що число 3 ірраціональне.

Нехай число 3 — раціональне, тоді його можна подати у вигляді нескоротного дробу mn, де m i n — натуральні числа.

3 = mn; (3)² = (mn)²; 3 = m2n3; m² = 3n².

З останньої рівності випливає, що m² кратне трьом, m = 3k, де k ∈ N.

(3k)² = 3n²; 9k² = 3n², звідки випливає, що n², а отже і число n кратне трьом. Таким чином, чисельник і знаменник дробу mn кратні трьом. Цей дріб скоротний. Отримали суперечність. 3 — ірраціональне число. Доведено.

2. Доведіть, що коли натуральне число n не є квадратом натурального числа, то число n ірраціональне.

Нехай n — раціональне число, тоді n = k, n = k², це суперечить умові. n – ірраціональне число. Доведено.