Вправи: 714

714. (Перша міжнародна математична олімпіада школярів, 1959 р.) Доведіть, що при будь–якому натуральному значенні n дріб 21n+414n+3 є нескоротним.

1) Нехай d ≥ 1 — найбільший спільний дільник чисельника і знамен–ника при деякому n.

2) Тоді 21n + 4 = sd; 14n + 3 = td, де t і s — цілі числа.

–42n – 8 = –2sd, +

42n + 9 = 3td,

1 = 3td – 2sd;

d(3t – 2s) = 1.

3) Проте 3t – 2s — ціле число. Звідси d ≤ 1.

4) Протиріччя. Чисельник і знаменник при будь–якому n — взаємно

прості числа, а тому дріб 21n+414n+3 — нескоротний, що и треба було до–

вести.