Вправи: 568

568. Чи існують такі прості числа х, у, z і t, для яких має місце

рівність

xyzt + 4 = x² + y² + z² + t².

1) Зауважимо, що єдиним парним простим числом є число 2.

2) Якщо всі числа x, y, z, t – непарні, то ліва частина рівності – число непарне, а права – парне. Рівність неможлива.

3) Припустимо, що одне з чисел є числом 2. Наприклад, x = 2. Тоді 2yzt + 4 = 4 + y² + z² + t²; 2yzt = y² + z² + t².

Ліва частина рівності – парне число, тому й права має бути парним числом. Для цього одне з чисел y, z або t мають дорівнювати 2.

4) Нехай y = 2. Тоді 4zt = 4 + z² + t²; z² + t² = 4(zt – 1). Права частина – парне число, тому z і t – числа однієї парності.

а) z = t = 2. Тоді 2² + 2² ≠ 4(2 • 2 – 1).

б) z = 2k + 1, t = 2l + 1 (k і l – натуральні) – непарні числа. Тоді

z² + t² = (2k + 1)² + (2l + 1)² = 4k² + 4k + 4l² + 4l + 2 – дає остачу 2 при діленні на 4, a 4(zt – 1) – кратне 4.

5) Отже, не існує таких простих чисел x, y, z і t, що виконується рівність xyzt + 4 = x² + y² + z² + t².

Відповідь: ні.