Вправи: 377

377. (Київська міська олімпіада, 1985 р.) Знайдіть усі такі трицифрові числа, які у 12 разів більші за суму своїх цифр.

1) Нехай xyz = 100x + 10y + z — шукане число; х, у, z — цифри числа; х ≠ 0.

2) Тоді за умовою 100x + 10y + z = 12(х + у + z), тобто 88х – 2у – 11z = 0; 2у= 11(8х – z). Оскільки права частина цієї рівності ділиться на 11, то й ліва частина має ділитися на 11. Проте 0 ≤ у ≤ 9, тому у = 0.

3) Маємо 11(8x – z) = 0; z = 8x. Оскільки х і z — одноцифрові числа

і х ≠ 0, то х = 1; z = 8.

4) Отже, умову задачі задовольняє єдине число 108.

Відповідь: 108.