Вправи: 140

140. Для шкільної актової зали придбали люстру на 31 лампочку.

Директор школи хоче мати можливість вмикати будь–яку їх кількість, від 1 до 31. Яка найменша кількість звичайних вимикачів для цього знадобиться?

Якщо один вимикач включає 1 лампочку, другий — 2 інших, третій —

4 інших, четвертий — 8 інших, а п’ятий — 16 інших, то легко впевнитися в тому, що директор школи буде мати можливість вмикати будь–яку кількість лампочок від 1 до 31.

Відповідь: 5.

Домашня самостійна робота №1

1. Який з виразів не є цілим раціональним виразом?

A. 15a2xy; Б. m-35; B. 5m-3; Г. 0,25х + у.

Відповідь: В.

2. Скоротіть дріб

5ax5xy = ay.

Відповідь: Б.

3. Виконайте дію

m3 – 5b = mb-153b.

Відповідь: Г.

4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі а-3а+2. A. a – будь–яке число; Б. a – будь–яке число, крім 3; B. a – будь–яке число, крім – 2;

Г. a – будь–яке число, крім –2 і 3.

Відповідь: В.

5. Скоротіть дріб

2p+4p2- 4 = 2(p+2)p-2(p+2) = 2p-2.

Відповідь: A.

6. Виконайте дію

4mm-a + 4aa-m = 4mm-a – 4am-a = 4m-4am-a = 4(m-a)m-a = 4.

Відповідь: Б.

7. При яких значеннях x дріб 3+x(1-x)5x-5 дорівнює нулю?

А. –3 і 1; Б. –3; В. 1; Г. таких значень x немає.

Дріб 3+x(1-x)5x-5 дорівнює нулю, коли х = –3.

Відповідь: Б) –3.

8. Спростіть вираз

2m m-3 + mm+3 + 2m29- m2 = 2mm-3 + mm+3 – 2m2m-3(m+3) = 2mm+3+ mm-3- 2m2m-3(m+3) = 2m2+ 6m+ m2- 3m-2m2m-3(m+3) = m2+ 3mm-3(m+3) = m(m+3)m-3(m+3) = mm-3.

Відповідь: А.

9. Подайте дріб m3- m4+ 3m3 у вигляді суми цілого виразу і дробу.

m3- m4+ 3m3 = m3m3 – m4m3 + 3m3 = 1 – m + 3m3.

Відповідь: В.

10. При яких значеннях x вираз x2- 9x+1- 4 має зміст? A. x – будь–яке число; Б. x – будь–яке число, крім 3; B. x – будь–яке число, крім – 5; Г. x – будь–яке число, крім 3 і –5.

|х + 1| – 4 = 0; |x + 1| = 4; х + 1 = 4 або x + 1 = –4; x = 3; х = –5.

Вираз має зміст для всіх значень х, крім чисел 3 і –5.

Відповідь: Г.

11. При яких значеннях х дріб x2- 9x+1- 4 дорівнює нулю?

А. 3; Б. 3 і –3; В. –3; Г. 3; –5.

x2- 9x+1- 4.

Чисельник x² – 9 = 0, (х – 3)(х + 3) = 0; х – З = 0 або х + 3 = 0;

x₁ = 3; x₂ = –3.

Якщо х = 3, то знаменник дробу |х + 1| – 4 = |3 + 1| – 4 = 0, тому

х = 3 — не задовольняє умову.

Якщо х = –3, то |x + 1| – 4 = |–3 + 1| – 4 = 2 – 4= –2 ≠ 0. Тому х = –3 задовольняє умову.

Відповідь: В.

12. Знайдіть значення виразу 2(x-4y)x-2(y-1) – x2- 8y2-x(1-y), якщо х = 13, у = 0,99. А. 1300; Б. –1300; В. 130; Г. –130.

2(x-4y)x-2(y-1) – x2- 8y2-x(1-y).

Оскільки (2 – х)(1 – у) = –(х – 2) • (–(у – 1)) = (х – 2)(у – 1), то маємо

2(x-4y)x-2(y-1) – x2- 8y2-x(1-y) = 2x-8у- x2+ 8уx-2(у-1) = x(2-x)-2-x(у-1) = –xу-1.

Якщо х = 13, у = 0,99, то –xу-1 = –130,99-1 = –13-0,01 = 1300.

Відповідь: А.

Завдання для перевірки знань до §1–4

1. Які з виразів є цілими, а які – дробовими:

1), 3), 4) – цілі вирази; 2) – дробовий вираз.

2. Скоротіть дріб:

1) m2mn = mn; 2) 4ab4bc = ac.

3. Виконайте дію:

1) a-bn + bn = a-b+bn = an;

2) x2 – 3y = xy-62y.

4. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:

1) 5x(x-1).

Допустимими є всі значення х, крім 0 і 1.

2) 2аа+2 + 1а-3.

Допустимими є всі значення а, крім 3 і –2.

5. Скоротіть дріб:

1) 16am20bm= 4a5b; 2) 12am28mc = 3am2c;

3) 2m-6m2- 9 = 2(m-3)m-3(m+3) = 2m+3;

4) ax+2ax2+ 4x+4 = a(x+2)(x+2)2 = ax+2.

6. Виконайте дію:

1) 3aa-b + 3bb-a = 3aa-b – 3ba-b = 3a-3ba-b = 3(a-b)a- b = 3;

2) 5x+yx2 + x-5yxy2 = 5xy+ y2+ x2- 5xyx2y2 = x2+ y2x2y2.

7. Спростіть вираз

2bb-4 + bb+4 + 2b216- b2 = 2bb-4 + bb+4 – 2b2b-4(b+4) = 2bb+4+ bb-4- 2b2b-4(b+4) = 2b2+ 8b+ b2- 4b-2b2b-4(b+4) = b2+ 4bb-4(b+4) = b(b+4)b-4(b+4) = bb-4.

8. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу:

1) c2- c3+ 5c2 = c2c2 – c3c2 + 5c2 = 1 – c + 5c2;

2) p2- p-2p-1 = p(p-1)p-1 – 2p-1 = p – 2p-1.

9. Побудуйте графік функції

y = x2- 4x16-4x. Областю визначеня функції є всі числа, крім 4.

Маємо x2- 4x16-4x = x(x-4)-4(x-4) = –x4. Отже, у = –x4 за умови х ≠ 4. Тобто графіком функції у = x2- 4x16-4x є пряма у = –x4 з «виколотою» точкою (4; –1).

10. Знайдіть: 1) область визначення виразу

2) значення х, при яких дріб дорівнює нулю.

1) x2- 16x+1- 5.

|х + 1| – 5 = 0; |х + 1| = 5; х + 1 = 5 або х + 1 = –5; х = 4; х = –6.

Область визначеня виразу — всі числа, крім 4 і –6.

2) x2- 16x+1- 5 = 0.

Чисельник x2 – 16 = 0; (х – 4)(х + 4) = 0; х = 4 або х = –4. Але х = 4 — не входить в область визначення виразу. Тому х = –4 — єдине значення, при якому дріб дорівнює нулю.

Відповідь: 1) Усі числа, крім 4 і – 6; 2) –4.

11. Спростіть вираз

3(a-2b)a-3(b-4) – a2- 6b3-a(4-b).

Оскільки (3 – a)(4 – b) = –(a – 3) • (–(b – 4)) = (a – 3)(b – 4), то маємо 3(a-2b)a-3(b-4) – a2- 6ba-3(b-4) = 3a-6b- a2+ 6ba-3(b-4) = 3a- a2a-3(b-4) = a(3-a)a-3(b-4) = -a(a-3)a-3(b-4) = -ab-4 = a4-b.