Відповіді на вправи ЧАСТИНА 2: 57.38

57.38. Задача Ньютона. Трава на галявині росте рівномірно щільно й швидко. Відомо, що 70 корів з’їли б її за 24 дні, а 30 корів – за 60 днів. Скільки корів з’їли б усю траву за 96 днів?

Траву, яку можуть з’їсти m корів за один день, одна корова може з’їсти за m днів. Тому траву, яку з’їли 70 корів за 24 дні, одна корова з’їсть за 70 • 24 = 1680 (днів), а ту траву, яку 30 корів з’їдають за 60 днів, вистачить одній корові на 30 • 60 = 1800 (днів). Оскільки трава росте рівномірно, то за 60 ­ 24 = 36 (днів) виросте стільки трави, що вистачить одній корові на 1800 – 1680= 120 (днів). Отже, ту кількість трави, яку одна корова з’їдає за 1800 + 120 = 1920 (днів), за 60 + 36 = 96 (днів) можуть з’їсти 1920 : 96 = 20 (корів).

Відповідь: 20 корів.

Домашня самостійна робота №11

1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними?

Лінійним є рівняння 2х = 0.

Відповідь: Г).

2. Укажіть точку, що належить графіку рівняння х + y = 6.

Графіку рівняння належить точка (2; 4), бо 2 + 4 = 6.

Відповідь: Б).

3. Укажіть пару чисел, що є розв’язком системи рівнянь

Розв’язком системи є пара чисел (4; –3), бо

4 – (–3) = 7, 7 = 7,

4 + (–3) = 1; 1 = 1,

Відповідь: Г).

4. Яке з рівнянь рівносильне рівнянню Зх – 8 = 10?

3х – 8 = 10; 3x – 18; х = 6. Отже, рівнянню 3х – 8 = 10 рівносильне рівняння 5х = 30, бо воно має коренем теж х = 6.

Відповідь: В).

5. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь

3x – y = 5, у = 3х – 5, y = 3х – 5,

4х + 3у = 11; 4х + 3(3х – 5) = 11; 4х + 9х –15 = 11;

y = 3x – 5 у = 3 ∙ 2 – 5, x = 2,

13x = 26; x = 2; y = 1.

Відповідь: А).

6. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь

4x – 7y = 11, 7x = 7, x = 1, x = 1, x = 1,

3х+ 7у = –4; Зх + 7у = –4; 3 ∙ 1 + 7у = –4; 7y = –7; у = –1

Відповідь: Г).

7. Укажіть рівняння, коренем якого є будь–яке число.

Коренем рівняння 2(х – 1) = 2х – 2 є будь–яке число, бо

2х – 2 = 2х – 2; 0x = 0.

Відповідь: В).

8. Знайдіть корінь рівняння

x+25 + x-210 = 12;│∙10 2(х + 2) + (х – 2) = 5; 2х + 4 + х – 2 = 5;

2х + х = 5 – 4 + 2; 3х = 3; х = 1.

Відповідь: Б).

9. З пунктів A i В, відстань між якими 60 км, вирушили одночасно

пішохід і велосипедист. Якщо вони рухатимуться назустріч один одному, то зустрінуться через З год, а якщо вони рухатимуться в одному напрямі, то велосипедист наздожене пішохода через 5 год. Знайдіть швидкість пішохода.

Нехай швидкість пішохода дорівнює х км/год, а швидкість велосипедиста — y км/год (у > х). Якщо вони рухатимуться назустріч один одному, то пішохід подолає до зустрічі шлях 3х км, а велосипедист — 3 км. Маємо перше рівняння: 3х + 3у = 60. Якщо велосипедист наздоганятиме пішохода, то пішохід за 5 год подолає 5х км, а велосипедист — відстань від A до B і ще шлях, який пройде пішохід, що разом складатиме 5 км. Друге рівняння:

5х + 60 = 5у. Одержуємо систему: 3x+ 3y = 60, x + y = 20,

5x + 60 = 5y; y – x = 12;

x + y = 20, x + 16 = 20, x = 4,

2y = 32; y = 16; y = 16. Отже, швидкість пішохода дорівнює 4 км/год.

Відповідь: Б).

10. Знайдіть найменше ціле значення а, при якому коренем рівняння ах = 8 є ціле число.

ах = 8; х = 8a. Найменше ціле значення а, при якому коренем рівняння є ціле число, має бути протилежним числом до чисель–ника, тобто –8.

Відповідь: В).

11. 80 % від одного числа дорівнюють 27 від другого. Знайдіть менше із цих чисел, якщо їх сума дорівнює 76.

Нехай перше число дорівнює х, а друге — у. Система:

0,8x = 27y, 5,6x = 2y, y = 2,8x, y = 2,8x, x = 20,

x + y = 76; x + y = 76; x + 2,8x = 76; 3,8x = 76; y = 2,8 ∙ 20;

x = 20,

y = 56.

Отже, меншим з чисел є 20.

Відповідь: Г).

12. Для якого значення а система рівнянь має безліч розв’язків?

Система рівнянь має безліч розв’язків, коли відповідні коефіцієнти у рівняннях пропорційні: 2a = -3-6 = 816 = 12; 2a = 12, звідки а = 4.

Відповідь: A).

13. Установіть відповідність між графіком рівняння (1–3) та точками перетину графіка з осями координат (А–Г).

1. 2х – 5у = 10 – В. (5; 0), (0; –2).

2. 5х + 3у = 15 – Г. (3; 0), (0; 5).

3. –3x + 4у = 12 – А. (–4; 0), (0; 3).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §52 – §57

1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними:

1) 2х + 3у = 9.

2. Чи є розв’язком рівняння 2х + у = 7 пара чисел:

1) 2 ∙ 3 + (–5) ≠ 7; 6 – 5 ≠ 7; 1 ≠ 7. Отже, пара чисел (3 ;–5) не є розв’язком рівняння 2х +у = 7;

2) 2 ∙ 4 + (–1) = 7; 8 – 1 = 7; 7 = 7. Отже, пара чисел (4; –1) є розв’язком рівняння 2х + у = 7.

3. Чи є розв’язком системи пара чисел:

1) (6; 5) – Ні. 2) (7; 4) – Так.

4. Розв’яжіть графічним способом систему рівнянь:

у = 3х; (0; 0), (1; 3).

2х + у = –5; (–2; –1), (0; –5)

Відповідь: (–1; –3).

5. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь

x – 3y = 5, x = 3y + 5, x = 3y + 5, x = 3y + 5,

2x + y = 3; 2(3y + 5) + y = 3; 6y + 10 + y = 3; 7y = –7;

x = 3 ∙ (–1) + 5, x = 2,

y = –1; y = –1. Відповідь: (2; 1).

6. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь.

5x + 3y = 3, 9x = 27, x = 3, x = 3,

4x – 3y = 24; 4x – 3y = 24; 4 ∙ 3 – 3y = 24; 12 – 3y = 24;

x = 3, x = 3,

3y = –12; y = –4.

Відповідь: (3; –4).

7. Розв’яжіть систему рівнянь

2(x + 3) = 7y – 5; 2x + 6 – 7y = –5, 2x–7y =–11│∙–3

6(x – 3) – 5(y + 1) = –24; 6x – 18 – 5y – 5 = –24; 6x – 5y = –1;

–6x + 21y = 33, –6x + 21y = 33, –6x + 21 ∙ 2 = 33, –6x = –9,

6x – 5y = –1; 16y = 32; y = 2; y = 2;

x = 1,5,

y = 2.

Відповідь: (1,5; 2).

8. За 8 зошитів і 3 блокноти заплатили 93 грн. Після того, як зошит подорожчав на 15 %, а блокнот подешевшав на 10 %, за один зошит і один блокнот заплатили 20,4 грн. Якими були початкові ціни зошита і блокнота?

Нехай початкова ціна зошити х грн, а блокноту — у грн. Перше рівняння: 8х + 3у = 93. Змінена вартість зошита становить х + 0,15х = 1,15х (грн), а блокноту — y – 0,1y = 0,9y (грн). Друге рівняння: 1,15х + 0,9y = 20,4. Система:

8x + 3y = 93│∙ 1,2, 9,6x + 3,6y = 111,6,

1,15x + 0,9y = 20,4│∙(–4); –4,6x – 3,6y = –81,6;

5x = 30; х = 6.

З першого рівняння першої системи отримаємо: 48 + 3у = 93;

3y = 45; у = 15.

Відповідь: зошит коштував 6 грн, а блокнот — 15 грн.

9. Побудуйте графік рівняння

x+24 + y-36 = –112; |∙ 12 3(x + 2) + 2(y – 3) = –1;

3x + 6 + 2y – 6 = –1; 3x + 2y = –1; 2у = –3х – 1; y = –1,5х – 0,5.

y = –1,5x – 0,5
x	–1	1
y	1	–2

10. Графік функції у = kx + b проходить через точки (3; –4) і (–12;

–9). Знайдіть k і b.

–4 = 3k + b, 4 = –3k – b, –5 = –15k, k = 13,

–9 = –12k + b; –9 = –12k + b; 4 = –3k – b; 4 = –3 ∙ 13 – b;

k = 13,

b = –5.

Відповідь: k = 13; b = –5.

11. Для якого значення а система рівнянь має безліч розв’язків.

7x – ay = 5 │∙ 3; 21х – ау = 15;

21х + 6у = 15; 21х + 6у = 15;

а = 6.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 11

1. Чи є пара чисел (7; 1) розв’язком рівняння х – у = 6? Знайдіть ще чотири розв’язки цього рівняння.

Пара чисел (7; 1) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо:

7 – 1 = 6; 6 = 6; пара чисел (9,5; 3,5) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: 9,5 – 3,5 = 6; 6 = 6;

пара чисел (–8; –14) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо:

–8 + 14 = 6; 6 = 6;

пара чисел (1223; 623) є розв’язком рівняння x – у = 6, бо:

1223 – 623 = 6; 6 = 6.

2. Знайдіть два будь–яких розв’язки рівняння:

1) Розв’язками рівняння 2x + у = 4 є, наприклад, пара чисел

(1; 2), бо: 2 ∙ 1 + 2 = 4; 4 = 4 і пара чисел (–5; 14), бо:

2 ∙ (–5) + 14 = 4; 4 = 4;

2) розв’язками рівняння х – Зу = 7 є, наприклад, пара чисел (1; –2), бо: 1 – 3 ∙ (–2) = 7; 7 = 7 і пара чисел (11,5; 1,5), бо:

11,5 – 3 ∙ 1,5 = 7; 7 = 7.

3. Виразіть: 1) змінну у через змінну х з рівняння 7х – у = 18; 2) змінну х через змінну у з рівняння Зх + 9у = 0; 3) змінну у через змінну х з рівняння 13x – 2у = 6; 4) змінну х через змінну у з рівняння 8х + 15у = 24.

1) 7х – у = 18; у = 7x – 18; 2) 3x + 9у = 0; Зх = –9у, х = –Зу,

3) 13х – 2у = 6; 2у = 13х – 6; у = 6,5х – 3;

4) 8х + 15у = 24; 8x = 24 – 15у; х = 3 – 1,875х.

4. Замініть «зірочки» числами так, щоб кожна з пар (*; 3); (6; *); (*; –3); (15; *) була розв’язком рівняння х – Зу = 9.

Пара чисел (18; 3) є розв’язком рівняння х – Зу = 9, бо:

18 – 3 ∙ 3 = 9; 9 = 9;

пара чисел (6; –1) є розв’язком рівняння х – Зу = 9, бо:

6 – 3 ∙(–1)= = 9; 9 = 9;

пара чисел (0; –3) є розв’язком рівняння х – Зу = 9, бо:

0 – 3 ∙(–3) = 9, 9 = 9;

пара чисел (15; 2) є розв’язком рівняння х – Зу = 9, бо:

15 – 3 ∙ 2 = 9; 9 = 9.

5. Доведіть, що рівняння з двома змінними не має розв’язків:

1) x² + у² = –4. Рівняння не має розв’язків, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу –4. Отже, рівняння не має розв’язків;

2) |x| + у² + 1 = 0. Сума невід’ємних чисел |x|, у² і додатного числа 1 не може дорівнювати нулю. Отже, рівняння не має розв’язків;

3) –|x| – |у| = 5; –(|x| + |у|) = 5. Недодатне число не може дорівнювати додатному числу. Отже, рівняння не має розв’язків;

4) 2х⁴ + 3|y| = –2. Сума невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу. Отже, рівняння не має розв’язків.

6. Знайдіть усі пари цілих чисел, які є розв’язками рівняння.

|x| + |y| = 2. Якщо невід’ємні числа |x| і |у| є цілими і ї сума дорівнює 2, то пара (|х|;|y|) може набувати значень: (0; 2); (1; 1); (2; 0). Отже, розв’язками рівняння є пари чисел: (0; 2); (0; –2), (–1; 1); (–1; –1); (1; 1); (1; –1); (–2 ; 0); (2; 0).

7. Побудуйте графік рівняння:

1) x – y = 1

x01y–10

2) 1,5x – y = 7

x24y41

3) x – 4y = 5

x–31y–2–1

4) 0,1x + 0,2y = 2

x48y86

8. Побудуйте в одній координатній площині графіки рівнянь х + у = 5 і 7x – 4у = 2. Знайдіть координати точки їх перетину. Переконайтеся, що знайдена пара є розв’язком кожного з рівнянь.

x + y = 5x05y50

7x – 4y = 2x2–2y3–4

Графіки рівнянь х + у = 5 і

7х – 4у = 2 перетинаються в точці Н(2; 3). Знайдена пара є розв’язком рівняння х + у = 5, бо: 2 + 3 = 5; 5 = 5 і розв’язком рівняння 7х – 4у = 2, бо:

7 ∙ 2 – 4 ∙ 3 = 2; 2 = 2.

9. Ордината деякої точки прямої, що є графіком рівняння –9x + 5у = 27, дорівнює нулю. Знайдіть абсцису цієї точки.

–9х + 5у = 27. Якщо у = 0, то: –9х = 27; х = –3.

10. Побудуйте графік рівняння:

1) │x│ + y = 0; y = –│x│;y=1) │x│ + y = 0; y = –│x│;y= х, якщо х < 0.

–х, якщо х ≥ 0.

y = x, x < 5x–2–5y–2–5

y = –x, x ≥ 0x23y–2–3

2) │x│ + x – y = 0; y = │x│+ x; y=2) │x│ + x – y = 0; y = │x│+ x; y= 0, якщо х < 0.

2x, якщо х ≥ 0.

y = 0, x < 0x–1–5y00

y = 2x, x ≥ 0x02y04

11. Побудуйте ту частину графіка рівняння 2х + у = 6, яка

розташована в першій координатній чверті.

Якщо частина графіка 2х + у = 6 розміщена у першій чверті, то х ≥ 0 і у ≥ 0.

2x + y = 6, x ≥ 0, y ≥ 0
x	0	3
y	6	0

12. Чи є розв’язком системи рівнянь пара чисел:

1) Пара чисел (5; 5) не є розв’язком системи x – y = 0,

x + y = 8, бо:

х + у = 5 + 5 = 10; 10 ≠ 8;

2) пара чисел (4; 4) є розв’язком системи x – y = 0, бо: 4 – 4 = 0,

x + y = 8, 4 + 4 = 8;

0 = 0,

8 = 8.

13. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

1) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

y = –4xx01y0–4

2x + y = –6x–1–2y–4–2

Графіки перетинаються в точці 5(3; –12). Розв’язком системи є пара чисел (3; –12);

2) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

5x + y = 3x01y3–2

x + 2y = –3x1–3y–20

Графіки перетинаються в точці С (1; –2). Розв’язком системи є пара чисел (1; –2).

14. Розв’яжіть систему рівнянь графічно:

1) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

0х + 3у = 6; у = 2.

y = 2x05y22

3x – 2y = 2x02y–12

Графіки перетинаються в точці L(2; 2). Розв’язком системи є пара чисел (2; 2);

2) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

7,1x = –14,2; х = –2.

x = –2x–2–2y30

2x + 7y = 17x5–2y13

Графіки перетинаються в точці В(–2; 3). Розв’язком системи є пара чисел (–2 ; 3).

15. При якому значенні а система рівнянь:

1) Система 2x + y = 5│∙3, 6x + 3y = 15,

6x + ay = 15; 6x + ay = 15;

має безліч розв’язків, якщо а = 3;

2) система 3x – 2y = 7│∙ (–2), –6x + 4y = –14,

–6x + 4y = a; –6x + 4y = a;

не має розв’язків, якщо a ≠ –14.

16. 1) Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

x = y – 7, x = y – 7, x = y –7, x = y – 7,

2x – y = –6; 2(y – 7) – y = –6; 2y – 14 – y = –6; y = 8;

x = 1,

y = 8.

Відповідь: (1; 8);

2) 2x + y = 1, y = 1 – 2x, y = 1 – 2x, y = 1 – 2x,

3x – 5y = 21; 3x – 5(1 – 2x)= 21; 3x – 5 + 10x = 21; 13x = 26;

y = 1 – 2x, y = –3,

x = 2; x = 2.

Відповідь: (2; –3);

3) 3x – 4y = – 19, 3x – 4y = –19, 3(27 – 7y) – 4y = –19

x + 7y = 27; x = 27 – 7y; x = 27 – 7y;

81 – 21y – 4y = –19, –25y = –100, y = 4,

x = 27 – 7y; x = 27 – 7y; x = –1.

Відповідь: (–1; 4);

4) 5x + 7y = –3, 5x + 7y = –3, 5x + 7(8x + 17) = –3,

8x – y = –17; y = 8x + 17; y = 8x + 17;

5x + 56x + 119 = –3, 61x = –122, x = –2,

y = 8x + 17; y = 8x + 17; y = 1.

Відповідь: (–2; 1).

17. He виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь:

Щоб знайти координати точки перетину графіків рівнянь

2x + 3y = 0 і 4х – 5у = –22 досить розв’язати систему.

2x + 3y = 0, x = –1,5y, x = –1,5y, x = –1,5y,

4x – 5y = –22; 4 ∙(–1,5y) – 5y = –22; –6y –5y = –22; –11y=–22;

x = –1,5y x = –3,

y = 2; y = 2.

Відповідь: (–3; 2).

18. 1) Розв’яжіть систему рівнянь:

3(y – x)–4 = –7y, 3y – 3x – 4 = –7y, 10y – 3x = 4, 3x = 10y – 4,

5(x + y) + 9 = 8x; 5x + 5y + 9 = 8x; 5y – 2x = –9; 5y – 3x = –9;

x = 10y-43, x = 10y-43, x = 10y-43, x = 10y-43,

5y – 3 ∙ 10y-43 = –9; 5y – 10y + 4 = –9; –5y = –13; y = 135,

x = 10 • 135 - 43, x = 223,

y = 135, y = 135.

Відповідь: (223; 135)

2) x2 + y = 5│∙ 2, x + 2y = 10, x = 10 – 2y, x = 10 – 2y

x – y3 = 3│∙3; 3x – y = 9; 3(10 – 2y) – y = 9; 30–6y – y = 9;

x = 10 – 2y, x = 10 – 2y, x = 4,

–7y = –21; y = 3; y = 3.

Відповідь:(4; 3).

19. Розв’яжіть систему рівнянь:

2x - 15 + y + 72 = 5│∙6, 2(2x – 1) + 3(y + 7) = 30,

3x - 15 + 2y + 13 = 6x + 8y15│∙15; 3(3x –1) + 5(2y + 1) =6x+ 8y;

4x – 2 + 3y + 21 = 30, 4x + 3y = 11, 4x + 3y = 11,

9x – 3 + 10y + 5 = 6x + 8y; 3x + 2y = –2; 2y = –2 – 3x;

4x + 3y = 11, 4x + 3 ∙ -2 - 3x2 = 11│∙2, 8x – 3(2 + 3x) = 22,

y = -2 - 3x2; y = -2 - 3x2; y = -2 - 3x2;

8x – 6 – 9x = 22, x = –28,

y = -2 - 3x2; y = 41.

Відповідь:(–28; 41).

20. Розв’яжіть рівняння з двома змінними:

1) |x – y| + (x + 2y – 1)² = 0. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них дорівнює нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: |x – y| = 0,

(x + 2y – 1)² = 0;

x – y = 0, x = y, x = y, x = y, x = 13,

x + 2y – 1 = 0; y + 2y – 1 = 0; 3y = 1; y = 13; y = 13.

Відповідь: (13; 13);

2) |х + у – 6| + х² – 4ху + 4у² = 0; |х + у – 6| + (х – 2у)² = 0. Сума двох невід’ємних чисел |х + у – 6| і (х – 2y)² дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з цих доданків дорівнює нулю. Маємо:

x + y – 6 = 0, –x – y = –6, –3y = –6, y = 2, y = 2,

x – 2y = 0; x – 2y = 0; x – 2y = 0; x – 2 ∙ 2 = 0; x = 4.

Відповідь: (4; 2).

21. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

1) 2x + y = 3,

3х – у = 7; 5х = 10; х = 2. З першого рівняння системи отримаємо: 4 + у = 3; у = – 1.

Відповідь: (2; –1);

2) 5x + y = 6│∙(–1), –5x – y = –6,

5х + 9у = 14; 5х + 9у = 14; 8у = 8; y = 1. З першого рівняння першої системи отримаємо: 5х + 1 = 6; 5х = 5; х = 1.

Відповідь: (1; 1);

3) x + 9y = –7│∙(–3), –3x – 27y = 21,

3х – 7у = 13; Зх – 7у = 13; –34у = 34; у = –1. З першого рівняння першої системи отримаємо: х – 9 = –7; х = 2.

Відповідь: (2; –1);

4) 4x – 5y = 2│∙3, 12x – 15y = 6,

7х + 15у = 51; 7х + 15у = 51; 19х = 57; х = 3. З першого рівняння першої системи отримаємо: 12 – 5у = 2; 5у = 10; у = 2.

Відповідь: (3; 2).

22. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

1) 7x + 2y = 3│∙(–3), –21x – 6y = –9,

4х + Зу = – 2│∙2; 8х + 6у = –4; –13х = –13; х = 1.

З першого рівняння першої системи отримаємо: 7 + 2у = 3; 2у = –4;

у = –2.

Відповідь: (1; –2 );

2) 7x + 12y = 53│∙3, 21x + 36y = 159,

5x – 18y = –2│∙2; 10x – 36y = –4; 31х = 155; х = 5.

З першого рівняння першої системи отримаємо: 35 + 12у = 53; 12у = 18; = 1,5.

Відповідь: (5; 1,5);

3) 4x + 7y = –5│∙(–3), –12x – 21y = 15,

6х + 9у = –6|∙2; 12x + 18y = –12; –3у = 3; у = –1 .

3 першого рівняння першої системи отримаємо: 4x – 7 = –5 ;

4х = 2; х = 0,5.

Відповідь: (0,5; –1);

4) 5(a – 3b) + 6a = 7, 5a – 15b + 6a = 7, 11a – 15b = 7,

0,5(а+6b)–1,5b =2,5; 0,5а+3b –1,5b =2,5; 0,5а+1,5b=2,5│∙10;

11a – 15b = 7

5a + 15b = 25; 16a = 32; а = 2. З першого рівняння останньої системи отримаємо: 22 – 15b = 7; 156 =15; b = 1.

Відповідь: (2; 1).

23. З‘ясуйте кількість розв’язків системи рівнянь залежно від коефіцієнта а.

2x + y = 3│∙2, 4x + 2y = 6,

4х + ау = 6; 4х + ау = 6. Якщо а = 2, то система має безліч розв’язків. Якщо а ≠ 2, то система має один розв’язок.

24. Розв’яжіть систему рівнянь трьома способами (графічним, підстановки, додавання):

1) а) Розв’язування системи рівнянь графічним способом:

x – 2y = 3x35y01

x + y = –1x02y–1–3

Наближено графіки перетинаються в точці L(13; –43 ).Наближеним розв’язком системи є пара чисел (13; –43 ).

б) розв’язування системи рівнянь методом підстановки:

x – 2y = 3, x – 2y = 3, –1 – y – 2y = 3, –3y = 4,

x + y = –1; x = –1 – y; x = –1 – y; x = – 1 – y;

y = –43,

x = 13.

Відповідь: (13; –43);

в) розв’язування системи рівнянь методом додавання:

x – 2y = 3│∙(–1), –x + 2y = –3,

x + y = –1; x + y = –1; 3y = –4; y = –43.

З другого рівняння першої системи отримаємо: x – 43 = –1; x = 13.

Відповідь: (13;43);

2) а) розв’язування системи рівнянь графічним способом:

2x + y = 7x12y53

–x + 3y = 0x–30y–10

Графіки перетинаються в точці E(3; 1). Розв’язком системи є пара чисел (3; 1).

б) розв язування системи рівнянь методом підстановки:

2x + y = 7, y = 7 – 2x, y = 7 – 2x, y = 7 – 2x

–x + 3y = 0; –x + 3(7 – 2x) = 0; –x + 21 – 6x = 0; –7x = –21;

y = 7 – 2x, y = 1,

x = 3; x = 3.

Відповідь: (3; 1);

в) розв’язування системи рівнянь методом додавання:

2x + y = 7, 2x + y = 7,

–x + 3y = 0│∙2; –2x + 6y = 0; 7y = 7; у = 1. З першого рівняння першої системи отримаємо: 2х + 1 = 7; 2х = 6; х = 3.

Відповідь: (3; 1).

25. 1) Знайдіть розв’язок системи рівнянь:

2 – 5x = 3(1 – y), 2 – 5x = 3 – 3y, 3y – 5x = 1│∙(–2),

2(x + y) = 0,5x + 5,5; 2x + 2y = 0,5x + 5,5; 1,5x + 2y = 5,5│∙3

10x – 6y = –2,

4,5x + 6y = 16,5; 14,5х = 14,5; х = 1. З першого рівняння останньої системи отримаємо: 10 – 6y = –2; –6y = –12; y = 2.

Відповідь: (1; 2);

2) 4(x + 7) – 9(y – 136) = 139, 4x + 28 – 9y + 117 = 139,

5(x – 1) + 4(3 – y) = –15; 5x – 5 + 12 – 4y = –15;

4x – 9y = –6│∙(–5), –20x + 45y = 30,

5x – 4y = –22│∙4; 20x – 16y = –88; 29y = –58; y = –2.

З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 4х + 18 =

= –6; 4х = –24; х = –6.

Відповідь: (–6; –2).

26. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) 2x3 – 4y5 = 2415│∙15, 5 ∙ 2x – 3 ∙ 4y = 34,

3x7 – 2y5 = –1335│∙35, 5 ∙ 3x + 7 ∙ 2y = –13;

10x – 12y = 34│∙(–1,5), –15x + 18y = –51,

15x + 14y = –13; 15x + 14y = –13; 32y = –64; y = –2.

З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 10х + 24 =

= 34; 10x = 10; х = 1.

Відповідь: (1; –2);

2) 2x5 – y4 = 2340│∙40, 16x – 10y = 23, 16x – 10y = 23,

4x15 – 3y5 = 1130│∙30, 8x – 18y = 31│∙(–2); –16x + 36y = –62;

26y = –39; y = –1,5. З другого рівняння передостанньої системи отримаємо: 8х + 27 = 31; 8х = 4; х = 0,5.

Відповідь: (0,5;–1,5).

27. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) x+23 + y-53 = 2│∙3, x + 2 + y – 5 = 6, x + y = 9,

x+22 – y-56 = 53│∙6; 3(x + 2) – (y – 5) = 10 3x + 6 – y + 5 = 10;

x + y = 9,

3x – y = 9; 4х = 8; х = 2. З першого рівняння останньої системи отримаємо: 2 + у = 9; у = 7.

Відповідь: (2; 7);

2) 2x+17 – 2y+26 = 15│∙35; 5(2x + 1) + 7(2y + 2) = 7,

3x-22 – y+44 = 4│∙4; 2(3x – 2) + y + 4 = 16;

10x + 5 + 14y + 14 = 7, 10x + 14y = –12│:2, 5x + 7y = –6,

6x – 4 + y + 4 = 16; 6x + y = 16│∙(–7); –42x – 7y = –112;

З другого рівняння передостанньої системи отримаємо: 6 ∙ 3737 + y = 16; y = 16 – 19537 = –3537.

Відповідь: (3737; –3537).

28. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) Система 2x + y = –2; 2x + y = –2,

–6x – 3y = 6│: (–3); 2x + y = –2

має безліч розв’язків виду (х ;–2 –2х).

Відповідь: Безліч розв’язків виду (х; –2 – 2х);

2) система x – 3y = 5│∙2, 2x – 6y = 10,

2x – 6y = 7; 2x – 6y = 7; не має розв’язку.

Відповідь: He має розв’язку.

29. Чи має розв’язок система рівнянь:

4x + 3y = 1,

1) 7x + 5y = 2, Розв’яжемо спочатку систему двох рівнянь

3x + 2y = 4. (наприклад, першого і третього), а потім перевіримо чи буде знайдений розв’язок розв’язком для третього рівняння. Маємо: 4x + 3y = 1│∙(–2), –8x – 6y = –2,

3x + 2y = 4│∙3; 9x + 6y = 12; x = 10.

З першого рівняння першої системи отримаємо: 40 + 3y= 1;

3y = –39; y = –13. Підставимо значення х = 10 і y = –13 у друге рівняння заданої системи і отримаємо: 70 – 65 = 5, 5 ≠ 2. Отже, задана система не має розв’язку.

Відповідь: He має розв’язку;

3x – 4y = 10,

2) 4x + 7y = 1, Розв’яжемо систему, утворену з першого і

5x + 6y = 4. другого рівнянь. Маємо: 3x – 4y = 10│∙(–4),

–12x + 16y = –40, 4x + 7y = 1│∙3;

12x + 21y = 3;

37у = –37; y = –1. З першого рівняння першої системи отримаємо:

Зх + 4 = 10; Зх = 6; х = 2. Підставимо значення х = 2 і у = –1 у третє рівняння заданої системи і отримаємо: 10 – 6 = 4, 4 = 4. Отже, задана система має розв’язком пару чисел (2; –1).

Відповідь: (2; –1).

30. Графік прямої у = kx + ι перетинає вісь х у точці з абсцисою 4, а вісь у – у точці з ординатою –5. 1) Задайте функцію формулою. 2) З’ясуйте, чи проходить її графік через точку (–80; –105).

1) Якщо графік прямої у = кх + ι проходить через точки

(4; 0) і (0; –5), то к і ι по винні задовольняти систему:

0 = k ∙ 4 + ι, 4k + ι = 0, 4k – 5 = 0, 4k = 5, k = 1,25,

–5 = k ∙ 0 + ι; ι = –5; ι = –5; ι = –5; ι = – 5.

Відповідь: у = 1,25x – 5;

2) графік прямої у = 1,25х – 5 проходить через точку (–80; –105), бо: –105 = 1,25 ∙ (–80) – 5; –105 = –105.

31. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) 3(x – 2y) + x(7 – 2y) = 2y(1 – x),

4(x – y – 1) + 5(x + y – 1) = 32;

3x – 6y + 7x – 2xy = 2y – 2xy, 3x – 6y + 7x – 2xy – 2y + 2xy = 0,

4x – 4y – 4 + 5x + 5y – 5 = 32; 4x – 4y + 5x + 5y = 32 + 4 + 5;

10x – 8y = 0, 10x – 8y = 0,

9x + y = 41│∙8; 72x + 8y = 328

82х = 328; х = 4. З першого рівняння останньої системи отримаємо: 40 – 8y = 0; 8у = 40; у = 5.

Відповідь: (4; 5);

2) (x + 2)² + (y – 1)² = (x + 3)² + (y + 1)²,

(y – 2)² – (y + 2)² = (x + 6)² – (x – 1)²;

x² + 4x + 4 + y² – 2y + 1 = x² + 6x + 9 + y² + 2y + 1,

y² – 4y + 4 – y² – 4y – 4 = x² + 12x + 36 – x² + 2x –1;

x² + 4x + y² – 2y – x² – 6x – y² – 2y = 9 + 1 – 4 – 1,

y² – 4y – y² – 4y – x² – 12x + x² – 2x = 36 – 1;

–2x – 4y = 5│∙(–2), 4x + 8y = –10,

–14x – 8y = 35; –14x – 8y = 35;

–10x = 25; х = –2,5. З першого рівняння останньої системи отримаємо: –10 + 8у = –10; 8у = 0; у = 0.

Відповідь: (–2,5; 0).

32. Для якого значення а система рівнянь 1) має безліч розв’язків; 2) не має розв’язків? 3) Чи існує таке значення а, при якому система має єдиний розв’язок?

1) Система 5x + 4y = 2│∙2, 10x + 8y = 4,

10x + 8y = a; 10x + 8y = a

має безліч розв’язків, якщо а = 4;

2) система 5x + 4y = 2│∙2, 10x + 8y = 4,

10x + 8y = a; 10x + 8y = a

не має розв’язків, якщо а ≠ 4;

3) 5x + 4y = 2│∙2, 10x + 8y = 4,

10x + 8y = a; 10x + 8y = a При всіх значеннях а система або має безліч розв’язків, якщо а = 4, або не має розв’язків, якщо а ≠ 4, тому не існує такого значення а, при якому система має єдиний розв’язок.

33. Для якого значення b система рівнянь 1) має безліч розв’язків; 2) має єдиний розв’язок? Знайдіть цей розв’язок.

1) Система 12x – 9y = 15, 12x – 9y = 15,

4x + by = 5│∙3; 12x + 3by = 15; має безліч розв’язків, якщо 3b = – 9; b = –3;

2) 12x – 9y = 15, 12x – 9y = 15,

4x + by = 5│∙(–3); –12x – 3by = –15;

–9y – 3by = 0; (–9 – 3b)y = 0

рівняння, а, значить система має єдиний розв’язок, якщо b ≠ –3. Знайдемо цей розв’язок: у = 0, 12x = 15; х = 1,25.

34. За 3 год автобусом і 5 год потягом турист подолав 450 км. Знайдіть швидкість автобуса і швидкість потяга, якщо швидкість потяга на 10 км/год більша за швидкість автобуса.

Нехай швидкість автобуса дорівнює х км/год, а потяга —

y км/год. Система: 3x + 5y = 450, 3x + 5y = 450,

y – x = 10│∙3; –3x + 3y = 30; 8y = 480;

y = 60. З другого рівняння першої системи отримаємо: 60 – х = 10;

х = 50.

Відповідь: Швидкість автобуса 50 км/год, потяга — 60 км/год.

35. За 7 порцій млинців і 2 салати заплатили 468 грн. Скільки

коштує одна порція млинців і скільки – один салат, якщо дві порції млинців на 27 грн дешевші за три салати?

Нехай одна порція млинців коштує х грн, а одна порція салату — y грн. Система: 7x + 2y = 468│∙(–3), –6y – 21x = –1404,

3y – 2x = 27│∙2; 6y – 4x = 54;

–25x = –1350; х = 54. З другого рівняння першої системи отримаємо: Зу – 2 ∙ 54 = 27; Зу = 135; у = 45.

Відповідь: Одна порція млинців коштує 54 грн, а одна порція салату — 45 грн.

36. Теплохід за 3 год за течією і 2 год проти течії долає 142 км. Цей самий теплохід за 4 год проти течії долає на 14 км більше, ніж за 3 год за течією. Знайдіть власну швидкість теплохода і швидкість течії.

Нехай власна швидкість теплохода х км/год, а швидкість течії — y км/год, тоді швидкість теплохода проти течії дорівнює

(x – y)км/год, а за течією – (х + y) км/год. Система:

3(x + y) + 2(x – y) = 142, 3x + 3y + 2x – 2y = 142,

4(x – y) – 3(x + y) = 14; 4x – 4y – 3x – 3y = 14;

5x + y = 142, 5x + y = 142,

x – 7y = 14│∙(–5); –5x + 35y = –70; 36у = 72; у = 2. З другого рівняння передостанньої системи отримаємо: х – 14 = 14; х = 28.

Відповідь: Власна швидкість теплохода 28 км/год, а швидкість течії — 2 км/год.

37. Майстер і його учень повинні були виготовити 114 деталей. Після того як учень пропрацював 2 год, до роботи приєднався

майстер, і вони разом закінчили виготовлення деталей за 3 год. Скільки деталей за годину виготовляв майстер і скільки учень, якщо майстер за 2 год виготовляє стільки ж деталей, скільки учень за 3 год?

Нехай майстер за 1 год виготовив х деталей, а учень— у деталей. Система: 2y + 3(x + y) = 114, 2y + 3x + 3y = 114,

2x = 3y; 2x – 3y = 0;

3x + 5y = 114│∙|(–2), –6x – 10y = –228,

2x – 3y = 0│∙3; 6x – 9y = 0; –19у = –228; у = 12.

З другого рівняння першої системи отримаємо: 2х = 36; х = 18.

Відповідь: Майстер за год виготовив 18 деталей, а учень — 12 деталей.

38. Два ящики наповнено грушами. Якщо з другого ящика перекласти в перший 10 груш, то в обох ящиках груш стане порівну. Якщо ж з першого ящика перекласти в другий 44 груші, то груш у першому ящику залишиться в 4 рази менше, ніж у другому. Скільки груш у кожному ящику?

Нехай у першому ящику було х груш, а в другому — у груш. Система:

y – 10 = x + 10, y – x = 20, y – x = 20,

4(x – 44) = y + 44; 4x – 176 = y + 44; –y + 4x = 220;

З першого рівняння останньої системи отримаємо: y – 80 = 20;

y = 100.

Відповідь: У першому ящику було 80 груш, а в другому — 100 груш.

39. Різниця між половиною одного числа і 0,75 другого дорівнює 8. Якщо перше число зменшити на свою сьому частину, а друге збільшити на свою дев’яту частину, то їх сума становитиме 100. Знайдіть дані числа.

Нехай перше число дорівнює х, а друге число — у. Перше рівняння: 0,5х – 0,75y = 8 |∙4; 2х – 3у = 32. Перше число після зменшення дорівнює: х – 17 х = 67х , друге число після збільшення —

у + 19у = 119у. Друге рівняння: 67х + 119у = 100. Система:

2x – 3y = 32, 2x – 3y = 32│∙(–27), –54x + 81y = –864,

67x + 109y = 100│∙63; 54x + 70y = 6300; 54x + 70y = 6300;

151y = 5436; у = 36. З першого рівняння першої системи отримаємо: 2х – 108 = 32; 2х = 140; х = 70.

Відповідь: Перше число дорівнює 70, а друге — 36.

40. Сума трьох чисел, з яких друге в 5 разів більше за перше,

дорівнює 140. Якщо друге число збільшити на 15 %, третє зменшити на 10 %, а перше не змінювати, то сума цих чисел становитиме 139,5. Знайдіть дані числа.

Нехай друге число дорівнює х, третє — у, тоді перше —

140 –(х + у) = 140 – х – у.

Перше рівняння: х = 5(140 – х –у); х = 700 – 5х – 5у; 6х + 5у = 700. Друге число після збільшення дорівнює х + 0,15х = 1,15х, а третє після зменшення — у – 0,1у = 0,9у. Друге рівняння:

1,15х + 0,9у + 140 –х – у = 139,5; 0,15х – 0,1у = –0,5.

Система: 6x + 5y = 700│∙2, 12x + 10y = 1400,

0,15x – 0,1y = –0,5│∙100; 15x – 10y = –50;

27х = 1350; х = 50. З першого рівняння першої системи отримаємо: 300 + 5у = 700; 5у = 400; у = 80.

Перше число дорівнює: 140 – 50 – 80 = 10.

Відповідь: Перше число 10, друге — 50, третє — 80.

41. Периметр прямокутника на 154 см більший за одну з його сторін і на 140 см більший за другу. Знайдіть площу прямокутника.

Нехай довжина прямокутника дорівнює х, а ширина— у. Система:

2x + 2y – x = 154, x + 2y = 154, x + 2y = 154,

2x + 2y – y = 140; 2x + y = 140│∙(–2); –4x – 2y = –280;

–Зх = –126; х = 42. 3 першого рівняння останньої системи отримаємо: 42 + 2y = 154; 2у = 112; y = 56.

Площа прямокутника дорівнює S = ху = 42 ∙ 56 = 2352 (см²).

Відповідь: Площа прямокутника 2352 см².

42. Сума цифр деякого двоцифрового числа дорівнює 8. Якщо його цифри поміняти місцями, то одержимо число, що на 18 більше за дане. Знайдіть дане число.

Нехай двоцифрове число дорівнює ху= 10х + у. Перше рівняння:

х + у= 8. Якщо поміняти місцями цифри, то отримаємо число ух = 10y + x. Друге рівняння: 10у + х – 10х – у = 18; 9у – 9х = 18; у – х = 2.

Система: y + x = 8,

y – x = 2; 2y = 10; у = 5.

З першого рівняння системи отримаємо: 5 + х = 8; x = 3.

Шукане число 35.

Відповідь: 35.

43. У двох бідонах ємністю 20 л і 15 л вже є певна кількість молока. Якщо більший бідон долити до краю молоком з меншого, то в меншому залишиться половина початкової кількості. Якщо ж долити менший бідон до краю молоком з більшого, то в більшому залишиться 23 від початкової кількості. По скільки літрів молока в кожному бідоні?

Нехай у меншому бідоні х л молока, а у більшому — у л молока. У більший бідон з меншого долили молока 12л, у менший бідон з більшого (1 – 23)y = 13y л молока. Система:

12x + y = 20│∙2, x + 2y = 40, x + 13y = 15│∙(–6)

–6 – 2y = – 90; –5x = –50; х = 10.

З першого рівняння останньої системи отримаємо: 10 + 2y = 40;

2y = 30; y = 15.

Відповідь: У меншому бідоні 10 л молока, а у більшому — 15 л молока.

Завдання для перевірки знань за курс математики 7 класу

1. Накресліть довільний відрізок MN та коло із центром у точці М, радіус якого дорівнює MN.

2. Виконайте дії:

1) р⁴р³ = р⁴⁺³ = р⁷; 2) t⁹ : t⁵ = t^9–5 = t⁴.

3. Чи проходить графік рівняння х – у = 5 через точку:

1) х – y = 5; М(6; 2); 6 – 2 ≠ 5; 4 ≠ 5 — графік рівняння не проходить через точку М;

2) х – у = 5; N(4; –1); 4 – (–1) = 5; 5 = 5 — графік рівняння проходить через точку N.

4. Спростіть вираз:

1) (х – 3)(х + 3) – х(х – 5) = х² – 9 – х² + 5х = 5х – 9;

2) (а + 2)² + (а – 7)(а + 3) = a² + 4а + 4 + а² – 7а + За – 21 = 2а² – 17.

5. Розкладіть на множники:

1) 14р³ – 21р²m = 7р²(2р – Зm);

2) 3а² – 12b² = 3(а² – 4b²) = 3(а – 2b)(а + 2b).

6. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а бічна сторона — 9 см. Знайдіть основу трикутника.

24 – (9 + 9) = 6 (см).

7. Один з кутів трикутника дорівнює 68°, а другий — на 14° більший за третій. Знайдіть невідомі кути трикутника.

1) Нехай ∠A = 68°. Позначимо ∠C = х, тоді ∠B = x + 14°.2) Маємо рівняння 68° + х + х + 14° = 180°;2х = 180° – 68° – 14°; 2х = 98°; х = 49°.3) Отже, ∠C = 49°; ∠B = 49° + 14° = 63°.Відповідь. 49°; 63°.

8. Розв’яжіть систему рівнянь:

3x + 2y = 5,│∙(–3) –9x–6y = –15, –17x = 17,

–4x + 3y = 16,│∙2 –8x + 6y = 32; –8x + 6y = 32;

x = –1, x = –1, x = –1, x = –1,

–8 ∙(–1) + 6y = 32; 6y = 32 – 8; 6y = 24; y = 4.

Відповідь: (–1; 4).

9. З пункту А до пункту В вирушив пішохід. Через 1 год назустріч йому з пункту В виїхав велосипедист. Відстань між пунктами A i B дорівнює 58 км, а швидкість велосипедиста на 10 км/год більша за швидкість пішохода. Знайдіть швидкість велосипедиста і швидкість пішохода, якщо вони зустрілися через 4 год після виходу пішохода.

Нехай х км/год — швидкість пішохода, у км/год — швидкість велосипедиста. Перше рівняння: у – х = 10. За 4 год пішохід пройшов 4x км, а велосипедист за 4 – 1 = 3 (год) проїхав 3у км. Разом вони подолали 58 км. Друге рівняння: 4x + 3y = 58. Система:

y – x = 10,│∙4 4y – 4x = 40, y – x = 10, 14 – x = 10, x = 4,

4x + 3y = 58; 4x + 3y = 58; 7y = 98; y = 14; y = 14.

Отже, швидкість велосипедиста дорівнює 14 км/год, а швидкість пішохода — 4 км/год.

Відповідь: 14 км/год, 4 км/год.