Відповіді на вправи ЧАСТИНА 2: 53.29

53.29. Доведіть, що для будь–якого значення х значення виразу

х⁸ – х⁵ + х² – х + 1 є числом додатним.

Розглянемо вираз x⁸ – x⁵ + x² – x + 1.

1) Якщо х ≤ 0, то х⁸ ≥ 0, x⁵ ≤ 0, тоді –x⁵ ≥ 0, x² ≥ 0, x ≤ 0, тоді

–x ≥ 0,1 > 0. Отже, x⁸+ (–x⁵) + x² + (–x)+ 1 > 0 ;

2) 0 < x ≤ 1. Врахувавши, що якщо 0 < x ≤ 1,то 0 < xⁿ ≤ 1, одержимо: х⁸ – x⁵ + х² – x + 1 = х⁸ + x²(1 – х³) + (1 – x).

1 – x³ ≥ 0,1 – x ≥ 0, x⁸ > 0, x² > 0, тому х⁸ – х⁵ + х² – х + 1 > 0;

3) якщо x > 1, то xⁿ > 1. x⁸ – x⁵ + x² – x + 1 = x⁵(x³ – 1) + х(x – 1) + 1. Отже, x⁵ > 1, x³ – 1 > 0, х > 0, х – 1 > 0, тому x⁸ – x⁵ + x² – х + 1 > 0.

Отже, x⁸ – x⁵ + x² – х + 1 > 0 для будь–якого значення х.