Відповіді на вправи ЧАСТИНА 2: 44.54

44.54. В Аравії помер старий чоловік. Усе своє майно, 17 верблюдів, він заповів своїм синам, причому старший мав одержати половину, середній – третину, а найменший – дев’яту частину цього майна. Після смерті батька сини не знали, що робити, бо 17 не ділилося без остачі ані на 2, ані на 3, ані на 9. Довго сперечалися брати, аж тут на верблюді під’їхав до них мудрець. Довідався про суперечку і дав братам мудру пораду, яка й допомогла розділити майно відповідно до батькового заповіту. Що саме порадив мудрець?

Мудрець додав свого верблюда до наявних 17, тоді їх стало

1 + 17 = 18 (верб.). Після цього він віддав половину верблюдів —

18 ∙ 12 = 9 (верб.) — старшому синові, третину спадку — 18 ∙ 13 = 6 (верб.) — середньому синові, дев’яту частину спадку — 18 ∙ 19 = 2 (верб.) — молодшому синові, роздавши при цьому 9 + 6 + 2 = 17 (верб.). Після цього він забрав свого верблюда.

Домашня самостійна робота № 9

1. Укажіть формулу, що задає функцію?

Функцію задає формула у = 4x-3.

Відповідь: Б).

2. Яка з функцій є лінійною?

Лінійною є функція у = х – 2.

Відповідь: А).

3. Укажіть функцію, що задає пряму пропорційність?

Пряму пропорційність задає функція y = 2х.

Відповідь: В).

4. Обчисліть значення функції у = –20x для значення аргументу, що дорівнює –4.

х = –4; y = –20-4 = 5.

Відповідь: Г).

5. He виконуючи побудови, знайдіть нуль функції у = 13x – 2.

y = 0; 0 = 13x – 2; 13x = 2; х = 6.

Відповідь: В).

6. На якому з малюнків зображено графік функції у = 3 – х?

Графік функції y = 3 – х зображено на рисунку А).

Відповідь: А).

7. Знайдіть область визначення функції

Областю визначення функції y = 3x2+ x є всі числа, крім тих, для яких x² + х ≠ 0; х(х + 1) ≠ 0; x ≠ 0 i x + 1 ≠ 0; x ≠ 0 i x ≠ –1.

Відповідь: Г).

8. Яка з точок належить графіку функції

Графіку функції y = x² – 2х належить точка (1; –1), бо –1 = 1² –

– 2 ∙ 1; –1 = 1 – 2; –1 = –1.

Відповідь: Б).

9. Укажіть точку, у якій графік функції у = 0,1х + 15 перетинає

вісь абсцис.

y = 0; 0 = 0,1х + 15; 0,1х = –15; х = –150; (–150; 0).

Відповідь: В).

10. Знайдіть для х = 2 значення функції

Значення х = 2 задовольняє умову 0 ≤ х < 3, тому значення функції обчислюємо за формулою у = x² : y = 2²; у = 4.

Відповідь: А).

11. Графік прямої пропорційності проходить через точку Р(2; –4). Укажіть точку, через яку також проходить цей графік.

у = kх; –4 = k ∙ 2; к = –2. Отже, у = –2х. Дане рівняння задовольняє лише точка (3; –6).

Відповідь: Г).

12. He будуючи графіка функції у = Зx – 8, знайдіть таку його точку, у якій абсциса й ордината є протилежними числами.

y₀ = –х₀; –x₀ = 3x₀ – 8; 4х₀ = 8; x₀ = 2; у₀ = –2; (2; –2).

Відповідь: Б).

13. Установіть відповідність між функціями (1–3) та точками, у яких графік функції перетинає осі координат (А–Г).

1. у = 4 – 2х. – В. (0; 4), (2; 0).

2. у = 4. – А. (0; 4).

3. у = х – 4. – Г. (0; –4), (4; 0).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §42 – §44

1. Які з даних формул задають функцію:

Функцію задають формули 1) і З).

2. Чи є лінійною функція, яку задано формулою:

Лінійними є функції 1) і З).

3. Лінійну функцію задано формулою:

1) y = –2x + 6; k = –2; ι = 6; 2) y = 7,4х; k = 7,4; ι = 0.

4. Функцію задано формулою у = –2х + 7. Знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 5; 2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює 3.

1) у = –2х+ 7; х = 5; у = –2 ∙ 5 + 7 = –10 + 7 = –3;

2) у = –2х + 7; у = 3; 3 = –2х + 7; 2х = 7 – 3; 2х = 4; х = 2.

5. Побудуйте графік функції у = 2х – 5. За графіком знайдіть: 1) значення функції для х = 4; 2) значення аргументу, при якому у = –3.

y = 2x – 5.

y = 2x – 5
x	0	2
y	–5	–1

1) x = 4; y = 3;

2 ) y = –3; x = 1.

6. Функцію задано формулою у = 0,8x – 7,2. He виконуючи побудови:

1) знайдіть нулі функції; 2) з’ясуйте, чи проходить графік функції через точку (10; 1).

1) у = 0; у = 0,8х – 7,2; 0 = 0,8х – 7,2; 0,8x = 7,2; х = 9;

2) у = 0,8х – 7,2; 1 = 0,8 ∙ 10 – 7,2; 1 = 8 – 7,2; 1 = 0,8 — хибна рівність. Отже, графік функції = 0,8х – 7,2 не проходить через точку (10; 1).

7. Знайдіть область визначення функції

Областю визначення функції у = 7x2- 5x – є всі числа, крім тих, для яких х2 – 5x = 0; х(х – 5) ≠ 0; х ≠ 0 і х – 5 ≠ 0; х ≠ 0 і х ≠ 5.

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = –2,5x; і

у = –5 та знайдіть координати їх точки перетину.

Графік функції у = –5 — пряма, яка проходить через точки

(0; –5) паралельно до осі х.

y = –2,2x
x	0	–2
y	0	5

Точка перетину графіків функції — (2; –5).

9. Знайдіть найменше значення функції

x² – 6х + 11 = x² – 6х + 9 + 2 = (х – З)² + 2; у = (х – З)² + 2;

(х – З)2 ≥ 0, тоді (х – 3)2 + 2 ≥ 2. Отже, найменше значення функції дорівнює 2.

10. Функцію у = Зх – 7 задано для –2 ≤ x ≤ 5. Знайдіть область значень цієї функції.

Якщо –2 ≤х ≤ 5, то –6 ≤ Зх ≤ 15; –13 ≤ Зх – 7 ≤ 8; –13 ≤ у ≤ 8.

11. Побудуйте графік функції За графіком знайдіть: 1) нулі функції;

2) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень;

3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

y = 2x + 6, x < 1x–2–1y24

y = 6 – x, x ≥ 0x02y64

1) Нулі функції: х = –3 ; х = 6;

2) у > 0, якщо –3 < х < 6;

3) у < 0, якщо х < –З або х > 6.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 9

1. Чи залежить площа квадрата від довжини його сторони? Чи є площа квадрата функцією від довжини сторони квадрата? Як можна задати цю функцію, якщо сторона квадрата дорівнює а?

Площа квадрата залежить від довжини його сторони. Ця залежність є функцією, яку можна задати формулою S = а², де а — сторона квадрата.

2. Функції задано формулами. Заповніть таблицю, обчисливши відповідні значення функції:

a) у = x + 2x - 3;якщо х = –4 , то у = -4 + 2-4 - 3 = 27;якщо х = –2, то y = -2 + 2-2 - 3;якщо х = 0, то у = 0 + 20 - 3 = –23;якщо х = 2, то у = 2 + 22 - 3 = –4;якщо х = 4, то у = 4 + 24 - 3 = 6;

б) g = x - 45;якщо х = –4, то g = -4 -45 = –1,6;якщо х = –2, то g = -2-45 = –1,2;якщо х = 0, то g = 0 - 45 = –0,8;якщо х = 2, то g = 2 - 45 = –0,4;якщо х = 4, то g = 4 - 45 = 0.

x	–4	–2	0	2	4
y	27	0	–23	–4	6
g	–1,6	–1,2	–0,8	–0,4	0

3. Із села до міста, відстань між якими дорівнює 48 км, вирушив велосипедист зі швидкістю 14 км/год. Задайте формулою залежність змінної s від змінної t, де s — відстань, яку велосипедисту залишилося проїхати до міста (у км), a t — час його руху (у год). За формулою знайдіть:

s = 48 – 14t.

1) Якщо t = 1,5,то s = 48 – 14 ∙ 1,5 = 48 – 21 = 27;

2) якщо s = 13, то: 13 = 48 – 14t; 14t = 48 – 13; 14t = 35; t = 2,5.

4. Знайдіть область визначення функції:

1) у = 129x2 - 17x. 9х² – 17х = 0; х(9х – 17) = 0; х = 0 або

9х – 17 = 0; х = 0 або х = 179.

Областю визначення функції є всі числа, крім 0 і 179, при яких знаменник перетворюється в нуль;

2) у = x│x│-1. │x│ – 1 = 0; │x│ = 1; x = 1 або x = – 1 . Областю визначення функції є всі числа, крім –1 і 1, при яких знаменник перетворюється в нуль;

3) у = x│x│+ 5. Областю визначення функції є всі числа;

4) у = 93 -│x-1│. 3 – |x –1| = 0; |х – 1| = 3; х – 1 = 3 або х – 1 = –3; х = 4 або х = –2.

Областю визначення функції є всі числа, крім –2 і 4, при яких знаменник перетворюється в нуль;

5) у = 15│2x-3│-5. |2х – З|– 5 = 0; |2х – З| = 5; 2х – 3 = 5 або

2х – 3 = –5; 2х = 8 або 2х = –2; x = 4 або х = –1. Областю визначення функції є всі числа, крім –1 і 4, при яких знаменник перетворюється в нуль;

6) у = 21- 1x. 1 – 1x = 0; 1x = 1; x = 1. Областю визначення функції є всі числа, крім чисел 0 і 1, при яких знаменники перетворюються в нуль.

5. Функцію задано формулою у = 2х – 3, де –2 ≤ х ≤ 3. Заповніть таблицю і побудуйте графік функції.

у = 2х – 3, де –2 ≤ х ≤ 3.

1)

x	–2	–1,5	–1	–0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	–7	–6	–5	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3

2)

6. На малюнку 25 зображено графік функції. За графіком знайдіть: 1) значення у, якщо х = –3; х = –1,5; х = 0; х = 1,5; х = 3; 2) значення х, яким відповідає у = –1,5; у = 2; у = 3; 3) область визначення функції; 4) область значень функції; 5) нулі функції; 6) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 7) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

1) Якщо x = –3, то y = –1,5; якщо х = –1,5, то у = –0,5; якщо х = 0, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 3,5; якщо х = 3, то у = 2;

2) y = –1,5, якщо х = –2 або х = –3, або х = 4; у = 2, якщо х = 0,5 або х = 3; у = З, якщо х = 1 або х = 2,5;

3) областю визначення функції є всі значення х, такі, що

–4 ≤ х ≤ 4;

4) областю значень функції є всі значення у, такі, що –2 ≤ у ≤ 4;

5) х = –0,5 і х = 3,5 — нулі функції;

6) функція набуває додатних значень, якщо –0,5 < х < 3,5;

7) функція набуває від’ємних значень, якщо –4 ≤ х < –0,5 і

3,5 < х ≤ 4.

7. Побудуйте графік функції:

1) у = │х│, де –2 ≤ х ≤ 4; у =1) у = │х│, де –2 ≤ х ≤ 4; у = –x, якщо х < 0,

х, якщо х ≥ 0,

y = –x, –2 ≤ x < 0x–2–1y21

y = x, 0 ≤ x ≤ 4x04y04

2) у = |х + 3|, де –5 ≤ x ≤ 3. За означенням модуля:

у =у = –x –З, якщо х + 3 < 0, тобто х < –3,

х + 3, якщо х + 3 ≥ 0, тобто х ≥ –3.

y = –x – 3, –5 ≤ x < –3x–5–4y21

y = x + 3, –3 ≤ x ≤ 3x–33y06

8. Які з даних функцій є лінійними? Які з них є прямою пропорційністю:

Функції: 1) у = –Зх; 2) у = –Зх + 4; 4) у = –3; 6) у = –13х — лінійні;

функції: 1) у = –Зх; 6)у = –13х — задають пряму пропорційність.

9. Побудуйте графік функції:

1) y = 2x

x02y04

2) y = 1 – x

x02y1–1

3) y = 2

x02y22

4) y = 4x – 1

x01y–13

5) y = –3x

x01y0–3

4) y = 12x + 2

x02y23

10. Побудуйте графік прямої пропорційності у = –34x. Знайдіть за графіком: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює –4; 0; 8; 2) значення аргументу, для якого значення функції дорівнює –6; 3; 6; 3) нулі функції; 4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

y = –34x
x	0	4
y	0	–3

1) Якщо х = –4, то у = 3; якщо х = 0, то у = 0;

якщо х = 8, то у = –6;

2) якщо у = –6, то x = 8; якщо у = З, то х = –4; якщо у = 6, то х = –8;

3) якщо у = 0, то х = 0 — нуль функції;

4) функція набуває додатних значень, якщо

х < 0;

5) функція набуває від’ємних значень, якщо х > 0.

11. Графіки функцій y = kx i y = 2x + ι перетинаються в точці А(–2; 6). Знайдіть k і ι.

Якщо графік функції у = kх проходить через точку А(–2; 4), то:

4 = k ∙ (–2); k = –2.

Якщо графік функції у = 2х + ι теж проходить через точку А(–2; 4), то: 4 = 2 ∙ (–2) + b; b = 8.

12. На малюнках 2 і 3 зображено два графіки. Один з них описує процес наповнення резервуара водою, а другий – процес спорожнення резервуара від води. Який з малюнків відповідає кожному із вказаних процесів? По кожному з графіків знайдіть: 1) скільки літрів води було в резервуарі в початковий момент часу; 2) скільки літрів води буде в резервуарі через 1 хв; через 6 хв; через 8 хв від початку процесу; 3) через скільки хвилин від початку процесу в резервуарі буде 25 л води; 4) скільки літрів води надходить (виливається) щохвилини? Задайте формулою залежність об’єму води V у резервуарі від часу t для кожного із цих двох процесів.

1) На мал. 1 в баку спочатку було 50 л води, а на мал. 2 — 15 л;

2) через 1 хв в баку на мал. 1 було 45 л, а на мал. 1 — 15 л; через 6 хв у баку на мал. 2 було 20 л, а на мал. 2 — 30 л; через 8 хв в баку на мал. 2 було 10 л, а на мал. 24.9 — 35 л;

3) у баку на мал. 1 було 25 л води через 5 хв, а у баку на мал. 2 — через 4 хв;

4) мал. 1 відображає процес витікання води з бака, а мал. 2 — наповнення водою;

5) щохвилини з баку на мал. 1 виливається 5 л, а в бак на мал. 2 щохвилини наливається 2,5 л;

6) графік, зображений на мал. 1 є частиною прямої і проходить через точки (0; 50) і (10; 0).

Якщо графік функції у = kx + b проходить через точку (0; 50), то:

50 = k ∙ 0 + b; b = 50.

Якщо графік функції у = kх + 50 проходить через точку (10; 0), то:

0 = k ∙ 10 + 50; 10k = –50; k = –5.

Формула залежності має вигляд: у = –5х + 50, де 0 ≤ х ≤ 10.

Графік, зображений на мал. 2, є частиною прямої і проходить через точки (0; 15) і (2; 20).

Якщо графік функції у = kx + b проходить через точку (0; 15), то:

15 = k ∙ 0 + b; b = 15.

Якщо графік функції у = kх + 15 проходить через точку (2; 20), то:

20 = k ∙ 2 + 15; 2k = 5; k = 2,5.

Формула залежності має вигляд: у = 2,5х + 15, де 0 ≤ х ≤ 10.

13. Побудуйте графік функції.

1) у = 2|x|;x02–2y044	2) у = 5|x| + х;x02–2y0128
3) у = x-3x2;x02–2y0–24	4) у = |х| + |–2x|.x02–2y066