Відповіді на вправи ЧАСТИНА 2: 37.43

37.43. Тарас і Яна живуть в одному під’їзді на одному поверсі і навчаються в одній школі. Тарас пішки витрачає на дорогу до школи 12 хвилин, а Яна – 18 хв. Через 3 хвилини після виходу Яни до школи вирушив і Тарас. Через який час після свого виходу він наздожене Яну?

За 12 хв свого ходу Тарас ліквідовує 18 – 12 = 6 (хв) відставання від Яни. Оскільки Тарас вирушив до школи через 3 хв після Яни, то йому слід ліквідувати лише 3 хв відставання. Тоді трихвилинне відставання він ліквідує у 6 : 3 = 2 (рази) швидше, ніж шестихвилинне, тобто за 12 : 2 = 6 (хв).

Домашня самостійна робота № 7

1. Якому многочлену тотожно дорівнює вираз (m – n)²?

(m – n)² = m² – 2mn + n².

Відповідь: Г).

2. Знайдіть добуток

(а – х)(а + х) = а² – х².

Відповідь: Б).

3. Подайте вираз х² + 2ху + у² у вигляді квадрата двочлена.

x² + 2ху + y² = (х + у)².

Відповідь: Г).

4. Перетворіть вираз (5x – 1)² на многочлен.

(5х – 1)² = 25x² – 10x + 1.

Відповідь: В).

5. Розкладіть двочлен –16 + 9а² на множники.

–16 + 9а² = 9а² – 16 = (3а + 4)(3а – 4).

Відповідь: В).

6. Подайте вираз m³ + 64 у вигляді добутку.

m³ + 64 = m³ + 4³ = (m + 4)(m² – 4m + 16).

Відповідь: А).

7. Розв’яжіть рівняння: х(х + 2) – (х – З)² = 7.

х(х + 2) – (х – 3)² = 7; x² + 2х – x² + 6х – 9 = 7; 2х + 6х = 7 + 9; 8х = 16; х = 2.

Відповідь: Г).

8. Спростіть вираз:

(m² + 2р)(m⁴ – 2m²р + 4p²) = (m²)³ + (2р)³ = m⁶ + 8p³.

Відповідь: Б).

9. Розкладіть многочлен на множники.

3аb – 3b + 6а – 6 = 3b(а – 1) + 6(а – 1) = (3b + 6)(а – 1) = 3(6 + 2)(а – 1).

Відповідь: Г).

10. Якого найменшого значення набуває вираз?

x² + 4х + 3 = x² + 4х + 4 – 1 = (х + 2)² – 1. Вираз (х + 2)² – невід’ємний, тому найменше значення виразу (х + 2)² – 1 дорівнює –1.

Відповідь: В).

11. Розв’яжіть рівняння

x³ + 2х² – х – 2 = 0; x²(х + 2) – (х + 2) = 0; (x2 – 1)(х + 2) = 0; (х – 1)(х + 1)(х + 2) = 0; х – 1 = 0 або х + 1 = 0 або х + 2 = 0; х = 1 або х = –1 або х = –2.

Відповідь: А).

12. Розкладіть вираз на множники.

(b – 2)³ – b³ = (b – 2 – 6)((b – 2)² + b(b – 2) + b²) = –2(b² – 4b + 4 + b² – 2b + b²) = –2(3b² – 6b + 4).

Відповідь: В).

13. Установіть відповідність між виразом (1–3) та його значенням, якщо х = 1,4 (А–Г).

1. 25х² – 70х + 49 = (5х – 7)² = (5 • 1,4 – 7)² = (7 – 7)² = 0.

2. (5х – 1)(25х² + 5х + 1) – 125х³ = 125х³ + 1 – 125х³ = 1.

3. 72 – 120х + 50х² = 2(25х² – 60х + 36) = 2(5х – 6)² = 2(7 – 6)² = 2.

1 – Б; 2 – В; 3 – Г.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §32 – §37

1. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (р + а)² = р² + 2ра + а²; 2) (с – m)(с + m) = с² – m².

2. Розкладіть на множники:

1) t² – 2tb + b² = (t – b)²; 2) d² – n² = (d – n)(d + n).

3. Які з рівностей є тотожностями:

1) (р – а)² = р² – 2ра + a² ≠ p² – ра + а² — не тотожність;

2) р³ + q³ = (p + q)(p² – pq + q²) — тотожність;

3) m² – c² = (m – с)(m + с) — тотожність;

4) d³ – t³ = (d – t)(d² + dt + t²) ≠ (d – t)(d² + 2dt + t²) — не тотожність.

4. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 5)² = 9a²– 30а + 25; 2) (7 + 2b)(2b – 7) = 4b²– 49.

5. Розкладіть многочлен на множники:

1) а² + 6а + 9 = (а + З)²;

2) – 25 + 36х² = (6х – 5)(6х + 5);

3) b³ + 64 = (b + 4)(b² – 4b + 16);

4) 7c² – 7d² = 7(с – d)(c + d).

6. Спростіть вираз та знайдіть його значення.

(2х + З)² + (7 – 2х)(7 + 2х) = 4x² + 12x + 9 + 49 – 4x² = 12х + 58.

Якщо х = –112, то 12х + 58 = 12 ∙ (–112) + 58 = –1 + 58 = 57.

7. Розв’яжіть рівняння:

1) 2x3 – 50x = 0;2х(х2 – 25) = 0;2х(х – 5)(х + 5) = 0;х = 0 або х – 5 = 0 або х + 5 = 0;х = 0 або x = 5 або х = –5;Відповідь: –5; 0; 5;

2) x3 – 10x2 + 25x = 0;x(x2 – 10x + 25) = 0;х(х – 5)2 = 0;х = 0 або х – 5 = 0;х = 0 або х = 5.Відповідь: 0; 5.

8. Спростіть вираз:

1) (–4а + 3b)² + (–4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb = 9b² – 24аb + 16а² + 25b² – 16а² + 24аb = 34b²;

2) (а – 2)(а² + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3) = а³ – 8 – а(а² – 9) = а³ – 8 – а³ + 9а = 9а – 8.

9. Доведіть, що при будь–якому значенні змінної х вираз x² + 8х + 17

набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває

цей вираз і при якому значенні х?

x² + 8x + 17 = x² + 8х + 16 + 1 = (х + 4)² + 1. (х + 4)² ≥ 0,1 > 0, тому (х + 4)² + 1 ≥ 1.

Отже, вираз набуває лише додатних значень. Найменшого значення 1 вираз (х + 4)² + 1 набуває, якщо х + 4 = 0; х = –4.

10. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (а + 3)³ = (а + 3)²(а + 3) = (а² + 6а + 9)(а + 3) = a³ + 3а² + 6а² + 18а + 9а + 27 = а³ + 9а² + 27а + 27;

2) (2m – 5)³ = (2m – 5)²(2m – 5) = (4m² – 20m + 25)(2m – 5) = 8m³ – 20m² – 40m² + 100m + 50m – 125 = 8m³ – 60m² + 150m – 125.

11. Знайдіть дві останні цифри числа 293³ – 93³.

293³ – 93³ = (293 – 93)(293² + 293 ∙ 93 + 93²) = 2 ∙ 100 ∙ (293² + 293 ∙ 93 + 93²).

Оскільки серед множників є число 100, то дві останні цифри числа — 0 і 0.

12. Розкладіть тричлен на множники.

х² + 6х – 7 = х² + 6х + 9 – 9 – 7 = (х +3 )² – 16 = (х + 3 – 4) ∙ (х + 3 + 4) = (x – 1)(х + 7).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 7

1. Піднесіть двочлен до степеня:

1) (х – р)2 = x2 – 2хр + р2;3) (b – k)2 = b2 – 2bk + k2;

2) (m + а)2 = m2 + 2mа + а2;4) (у + с)2 = у2 + 2ус + с2.

2. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (За – 7)² = 9а² – 42а + 49; 2) (2b + 5)² = 4b² + 20b + 25;

3) (10m – 5k)² = 100m² – 100mk + 25k²;

4) (4р + 9q)² = 16р² + 72pq + 81q²;

5) (0,1m – 5р)² = 0,01m² – mр + 25р²;

6) (16a + 6b)² = 136а² + 2аb + 36b².

3. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (а – 1)² – (а – 2)² = а² – 2а + 1 – (а² – 4а + 4) = а² – 2а + 1 – а² + 4а – 4 = 2а – 3.

Якщо а = 112, то 2а – 3 = 2 ∙ 112 – 3 = 2 ∙ 32 – 3 = 0;

2) (3b + 2)² + (3b – 2)² = 9b² + 12b + 4 + 9b² – 12b + 4 = 18b² + 8.

Якщо b = –13, то 18b² + 8 = 18 ∙(–13)² + 8 = 18 ∙ 1 + 8 = 10.

4. Знайдіть число, квадрат якого при збільшенні цього числа на 3 збільшується на 159.

Нехай шукане число дорівнює х, тоді квадрат цього числа — х². При збільшенні цього числа на 3, воно дорівнюватиме х + 3, а його квадрат — (х + З)². Рівняння: (х + З)² – x² = 159;

x² + 6х + 9 – x² = 159;

х² + 6х – х² = 159 – 9;

6x = 150; х = 25.

Відповідь: 25.

5. Чи є рівність тотожністю?

Нехай а – b ≥ 0, тоді |a – b| = a – b i |a – b|² = (а – b)².

Нехай а – b < 0, тоді |а – b| = –(а – b), |а – b|² = (–(а – b))² = (а – b)².

Отже, рівність (а – b)² = |a – b|² є тотожністю.

6. Подайте у вигляді многочлена:

1) ((x + у) + а)² = (х + у)² + 2(х + y) ∙ а + а² = x² + 2ху + у² + 2ах + 2ау + а²;

2) ((b – c ) – d)² = (b – c)² – 2(b – c) ∙ d + d² = b² – 2bс + с² – 2bd + 2сd + d²;

3) (m + n + 2)² = ((m + n) + 2)² = (m + n)² + 4 (m + n) + 4 = m² + 2mn + n² + 4m + 4n + 4;

4) (а + 3 – с)(а + 3 – с) = (а + 3 – с)² = ((а + 3) – с)² = (а + З)² – 2(а + 3)c + c² = а² + 6а + 9 – 2ас – 6с + с².

7. Подайте у вигляді квадрата двочлена:

1) m2 – 2mр + р2= (m – р)2; 3) а2 – 2 ∙ а ∙ 4 + 42 = (а – 4)2.

2) b2 + 2bу + у2 = (b + у)2;

8. Розкладіть на множники:

1) m2 + 20m + 100 = (m + 10)2;3) 0,09x2 + 0,6x + 1=(0,3x+ 1)2;5) 4х2 + 20x + 25 = (2х + 5)2;6) 4m2 –12mр + 9р2 = (2m –Зр)2.

2) 49 – 14b + b2 = (7 – b)2;4) 136 – 13p + p2 = (16 – p)2;

9. Знайдіть значення виразу:

1) –100m² + 20m – 1 = –(100m² – 20m + 1)) = –(10m – 1)².

Якщо m = 0,1, то –(10m – 1)² = –(10 ∙ 0,1 – 1)² = 0.

Якщо m = –0,9, то –(10m – 1)² = –(10 ∙(–0,9) – 1)² = –100;

2) –4х² – 12ху – 9у² = –(4x² + 12xу + 9у²) = – (2х + Зу)².

Якщо x = 0,03, у = –0,02 то

–(2x + Зу)² = –(2 ∙ 0,03 + 3 ∙ (–0,02) = 0.

10. Розв’яжіть рівняння:

1) 3x2 – 2x + 13 = 0│∙ 3;9x2 – 6x + 1 = 0;(3x – 1)2 = 0;3x – 1 = 0;x = 13.Відповідь: 13;

2) 5y2 + 2y + 15 = 0│∙ 5;25y2 + 10y + 1 = 0; (5y + 1)2 = 0;5y + 1 = 0;y = –15.Відповідь: –15.

11. Змініть один з коефіцієнтів многочлена так, щоб одержаний

тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена (знайдіть три різних розв’язки):

1) 100m² + 20mn + n² = (10m + n)²; 100m² + 40mn + 4n² = (10m + 2n)²;

400m² + 40mn + n² = (20m + n)²;

2) 25a² – 30ab + 9b² = (5a – 3b)²; 136a² – ab + 9b² = (16a – 3b)²;

25a² – ab + 1100b² = (5a – 110b)².

12. Доведіть, що при будь–яких значеннях змінних вираз набуває лише невід’ємних значень:

1) 4x(4x – 10) + 25 = 16x² – 40x + 25 = (4x – 5)² — набуває лише невід’ємних значень;

2) (а – 2)((а – 2) + 2m) + m² = (а – 2)² + 2(а – 2)m + m² = ((а – 2) + m)² — набуває лише невід’ємних значень;

3) (а + b)(a + b + 8) + 16 = (а + b)² + 2 ∙ 4(а + b) + 16 = (а + b + 4)² — набуває лише невід’ємних значень.

13. Які з рівностей є тотожностями:

Тотожностями є: 2) (с – d)(c + d) = c² – d²; 4) (p + q)(p – q) = p² – q².

14. Виконайте множення:

1) (c + 7)(7 – c) = (7 + c)(7 – c) = 49 – c²;

2) (0,5m – 3)(0,5m + 3) = 0,25m² – 9;

3) (3k + 7)(3k – 7) = 9k² – 49;

4) (2р – 9q)(9q + 2p) = (2p – 9q)(2p + 9q) = 4p² – 81q²;

5) (10m + 9n)(9n – 10m) = (9n + 10m)(9n – 10m) = 81n² – 100m²;

6) (23c – 45d)(23c + 45d) = (23c)² – (45d)² = 49c² – 1625d².

15. Подайте у вигляді многочлена:

1) 4(a – 1)(a + 1) = 4(a² – 1) = 4a² – 4;

2) b(b – 2)(b + 2) = b(b² – 4) = b³ – 4b;

3) 7p(p + 3)(p – 3) = 7p(p² – 9) = 7p³ – 63p;

4) –3x(x + 4)(x – 3) = (–3x² – 12x)(x – 3) = –Зх³ + 9x² – 12x² + 36x = –3x³ – 3x² + 36x.

16. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (1,9 x – 3)(3 + 1,9x) + 0,39x² = (1,9x)² – 3² + 0,39x² = 3,61x² – 9 + 0,39x² = 4x² – 9.

Якщо x = 2, тo 4x² – 9 = 4 ∙ 2² – 9 = 7;

2) 9,99 – (5y – 0,1)(5y + 0,1) = 9,99 – (25y² – 0,1²) = 9,99 – 25y² + 0,01 = 10 – 25y².

Якщо у = 15, тo 10 – 25y² = 10 – 25 ∙ 125 = 10 – 1 = 9;

3) (2х – Зу)(2х + 3у) + (Зх + 2у)(3х – 2у) = 4х² – 9у² + 9х²– 4у² = 13х² – 13у² = 13(х²– y²).

Якщо х= 1,8; у = –1,8, то 13(1,8² – (–1,8)²) = 13 ∙ 0 = 0;

4) (ab + 1)(ab – 1)(а²b² + 1) = (a²b² – 1)(a²b² + 1) = а⁴b⁴ – 1.

Якщо а = 5, у = 15 то а⁴b⁴ – 1 = 54 ∙ –1 = 1 – 1 = 0.

17. Обчисліть:

7⁴⁰ ∙ З⁴⁰ – (21²⁰ – 1)(21²⁰ + 1) = (7 ∙ З)⁴⁰ – ((21²⁰)² – 1) = 21⁴⁰ – 21⁴⁰ + 1 = 1.

18. Які з рівностей є тотожностями:

Тотожностями є:

1) m² – р² = (m + р)(m – р); 2) а² – 7² = (а – 7)(а + 7);

3) c² – d² = (с – d)(c + d).

19. Розкладіть на множники:

1) x2 – 49 = (х – 7)(х + 7);

2) 100 – p2 = (10 – р)(10 + р);

3) 0,04m² – n² = (0,2m – n)(0,2m + n);

4) 25х² – 36у² = (5х –6у)(5х + 6у);

5) 16а² – b²с² = (4а – bc)(4a + bс);

6) 121m²а² – 19b² = (11mа – 13b)(11mа + 13b).

20. Розв’яжіть рівняння, де х – змінна:

1) а2х2 – b2 = 0;(ах – b)(ах + b) = 0;ах – b = 0 або ах + b = 0;ах = b або ах = –b;х = ba або х = –ba.Відповідь: ba або х = –ba.

2) x2 – 0,09а2 = 0; (х – 0,3а)(x + 0,3а) = 0;х – 0,3а = 0 або х + 0,3а = 0;х = 0,3а або х = –0,3а.Відповідь: 0,3а або –0,3а.

21. Чи ділиться:

1) 138² – 136² = (138 – 136)(138+ 136) = 2 ∙ 274 = 4 ∙ 137 — ділиться без остачі на 4;

2) 349² – 347² = (349 – 347)(349 + 347) = 2 ∙ 696 — ділиться без остачі на 6.

22. Розкладіть вираз на множники:

1) 9 – (2х – 8)(3х + 2) – 2х(5х + 10) = 9 – (6х² + 4х – 24х – 16) – (10x² + 20х) = 9 – 6х² – 4х + 24х + 16 – 10x² – 20х = 25 – 16х² = (5 – 4х)(5 + 4х);

2) (Зх + 5)(4х – 5) – 2х(2,5 + 1,5x) = 12х² – 15х + 20х – 25 – 5х – Зх² = 9x² – 25 = (Зх – 5)(3х + 5).

23. Який з даних виразів є неповним квадратом суми виразів mn і n, а який – неповним квадратом їх різниці:

2) m² + mn + n² — неповний квадрат суми виразів m і n;

4) m² – mn + n² — неповний квадрат різниці виразів m і n.

24. Розкладіть на множники:

1) x³ – у³ = (х – у)(х² + ху + у²);

2) р³ + k³ = (р + k)(р² – рk + k²);

3) а³ – 64 = (а – 4)(а² + 4а + 16);

4) 1125 + b³ = (15 + b)(125 – 15b + b²);

5) 0,001m³ – 1 = (0,1m – 1)(0,01m² + 0,1m + 1);

6) 8x³ + 27p³ = (2x + 3p)(4x² – 6xp + 9p²).

25. Доведіть, що значення виразу З7³ + 13³ ділиться на 50.

37³ + 13³ = (37 + 13)(37² – 37 ∙ 13 + 13³) = 50(37² – 37 ∙ 13 + 13³) — ділиться на 50.

26. Доведіть тотожність:

x⁶ – у⁶ = (x³)² – (y)² = (х³ – у³)(х³ + у³) = (х – у)(x² + ху + у²)(х + у)(х² – ху + у²) = (х – у)(х + у)((х² + ху + у²)(х² – ху + у²) — тотожність доведена.

27. Закінчіть розкладання на множники:

1) уm² – 4y = у(m² – 4) = у(m² – 2²) = у(m – 2)(m + 2);

2) ca² + 2ас + с = c(a² + 2а + 1) = с(а + 1)².

28. Розкладіть на множники многочлен:

1) mр² – mq² = m(р² – q²) = m(р – q)(p + q);

2) 20а² – 5 = 5(4а² – 1) = 5(2а – 1)(2а + 1);

3) с – с³ = с(1 – с²) = с(1 – с)(1 + с);

4) 64а² – а⁴ = а²(64 – а²) = а²(8 – а)(8 + а);

5) 5х² – 10xy + 5у² = 5(х² – 2ху + у²) = 5(х – у)²;

6) 2b + 4bn + 2bn² = 2b(1 + 2n + n²) = 2b(n + 1)².

29. Подайте у вигляді добутку:

1) 9а³ – 9b³ = 9(а³ – b³) = 9(а – b)(а² + аb + b²);

2) 2mn – 26bn + 6bn – 6b = 2(mn – bn + 3bn – 3b);

3) 181p⁴ – 1 = (19p² – 1)(19p² + 1) = (13p – 1)(13p + 1)(19p² + 1);

4) m² – 4mn + 4n² – 25 = (m² – 4mn + 4n²) – 25 = (m – 2n)² – 5² = (m – 2n + 5)(m – 2n – 5);

5) b² – 36 + b – 6 = (b² – 36) + (b – 6) = (b – 6)(b + 6) + (b – 6) = (b – 6)(b + 6 + 1) = (b – 6)(b + 7);

6) m³ – 4m – m²n + 4n = (m³ – m²n) – (4m – 4n) = m²(m – n) – 4(m – n) = (m – n)(m² – 4) = (m – n)(m – 2)(m + 2).

30. Розкладіть на множники многочлен:

1) аm⁴ – m⁴ – аm² + m² = (аm⁴ – m⁴) – (аm² – m²) = m⁴(а – 1) – m²(а – 1) = (a – 1)(m⁴ – m²) = m²(m² – 1)(а – 1) = m²(m – 1) ∙ (m + 1)(а – 1);

2) a³b – a³ – ab + a = а³(b – 1) – а(b – 1) = (b – 1)(а³ – а) = а(b – 1)

∙ (а² – 1) = а(а – 1)(а + 1)(b – 1);

3) b³ + 1 – b² – b = (b³ + 1) – (b² + b) = (b + 1 )(b² – b + 1) – b(b + 1) = (b + 1)(b² – b + 1 – b) = (b + 1)(b² – 2b + 1) = (b + 1) ∙ (b – 1)²;

4) x³ – 27 + x⁴ – 9х² = (х³ – 27) + (х⁴ – 9х²) = (х – 3)(х² + Зх + 9) + х²(х² – 9) = (х – 3)(х² + Зх + 9) + х²(х – 3)(х + 3) = (х – 3)((х² + 3х + 9) + х²(х + 3)) = (х – 3)(х² + Зх + 9 + x³ + Зх²) = (х – З) ∙ (х³ + 4х² + Зх + 9).

31. Доведіть тотожність:

1) (а + 1)³ – 4(а + 1) = (а + 1)((а+ 1)² – 4 ) = (а + 1)(а + 1 – 2)(а + 1 + 2) = (а + 1)(а – 1)(а + 3) — тотожність доведена;

2) (m² + 9)² – 36m² = (m² + 9 – 6m)(m² + 9 + 6m) = (m – 3)²(m + З)² — тотожність доведена.