Вправи: 886

886. Радіуси двох кіл — 3 см і 5 см. Чи перетинаються кола, якщо відстань між їх центрами дорівнює: а) 1 см; б) 3 см; в) 8 см;

г) 10 см?

Спочатку кут АОВ ділимо на дві рівні частини:∠АОС і ∠СОВ ділимо навпіл: ∠AON = ∠NOC = ∠COM = ∠MOB.

Стор.201 Задачі за готовими рисунками

1.

а) ∆АВО = ∆CDO за двома сторонами і кутом між ними: АО = СО = ВО = DO – як радіуси, ∠АОВ = ∠СОD – як вертикальні.

Із рівності трикутників маємо ∠АВО = ∠CDO.

Із рівності трикутників маємо ∠АВО = ∠CDO.

Оскільки ∠АВО і ∠CDO – внутрішні різносторонні кути при прямих АВ і СD та січній АС і ∠АВО = ∠СDO, то AB ∥ CD.

б) ∆АВО – рівносторонній, оскільки АО = ВО – як радіуси і ∠А = ∠В = 60°, тоді ∠АОВ = 180° – 60° – 60° = 60°. Отже, АО = ВО = АВ = 8 см.

∆OKD – прямокутний із кутом 30° і OD = 8 см, тоді ОК = 12OD = 12 • 8 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

2.

а) r₁ = О1О2• 22+3 = 15 • 25 = 6, r₂ = О1О2• 32+3 = 15 • 35 = 9.

Відповідь: r₁ = 6, r₂ = 9.

б) Нехай О₂А = х, тоді О₁А = 3х і О₁А = О₁О₂ + О₂А, то маємо рівняння 3х = 10 + х. Звідси 2х = 10, х = 5. Отже, О₂А = 5, О₁А = 15.

Відповідь: О₂А = 5, О₁А = 15.

3.

а) Нехай ОА = х, тоді ОВ = 3х і АВ = ОВ – ОА або 18 – 3х – х, тоді

2х = 18, х = 9. Отже, ОА = 9, ОВ = 3 • 9 = 27.

Відповідь: ОА = 9, ОВ = 27.

б) ОА₁ = 2 • ОВ₁ = 2 • 5 = 10, тоді СО₂ = 12АО₂ або СО₂ = 12(АО₁ + 5 + СО₂). Звідси 2СО₂ = 15 + СО₂, тоді СО₂ = 15.

Відповідь: СО₂ = 15.

4.

а) Р∆_АВС = 2(АВ – ВК) + 2ВК + 2СК, 24 = 2(АВ – 7) + 2 • 7 + 2 • 2, звідси 2(ВК – 7) = 6, тоді АВ – 7 = 3, АВ = 10.

Відповідь: 10.

б) Р∆_AMN = 12, тоді АМ + МР + PN + AN = 12. Враховуючи, що PM = MB, PN = NC, тоді АМ + МВ + NC + AN = 12, (AM + MB) + (NC + AN) = 12, OC + OB = 12, 2OB = 12, OB = 6.

Відповідь: 6.

5.

а) ∠А = 60°, тоді ∠ВАО = 30°, оскільки ОВ = 5, тоді АО = 10, АК = АО – КО = 10 – 5 = 5.

Відповідь: АК = 5.

б) ∠ВАС = 60°, тоді ∠ВАО = 30°, оскільки ОВ = 6, то АО = 2 • 6 = 12.

∠ОВК = ∠АВО – ∠АВК = 90° – 60° = 30°. Із трикутника ВКО маємо

КО = 12ВО = 12 • 6 = 3.

АК = АО – КО = 12 – 3 = 9.

Відповідь: 9.

6.

а) ВМ = BN = 5, KC = NC = 3, тоді ВС = ВА = 5 + 3 = 8, тоді АМ = ВА – ВМ = ВС – ВМ = 8 – 5 = 3, тоді АК = АМ = 3. Р∆_АВС = АВ + ВС + АС = 8 + 8 + 6 = 22.

Відповідь: 22.

б) МВ = BN = 3, MA = AK = 5, тоді КС = NC = 12(P∆_АВС – 2BN – 2AM),

KC = NC = 12 • (30 – 2 • 3 – 2 • 5), KC = NC = 7, тоді ВС = BN + NC = 3 + 7 = 10, AC = AK + KC = 5 + 7 = 12.

Відповідь: ВС = 10, АС = 12.

7.

а) r = АС+ВС-АВ2 = 7+24-252 = 62 = 3.

Відповідь: r = 3.

б) Нехай AN = AM = 3x, NB = BP = 2x, PC = MC = 4, тоді

Р∆_АВС = 2AN + 2BN + 2PC, або 48 = 2 • 3х + 2 • 2х + 2 • 4, звідси 10х = 40, х = 4. Тоді AN = AM = 12, NB = BP = 8. Отже,

АВ = BN + AN = 12 + 8 = 20, AC = AM + MC = 12 + 4 = 16,

BC = BP + PC = 8 + 4 = 12.

Відповідь: АВ = 20, АС = 16, ВС = 12.

8.

а) ∠АВС = 90° – 60° = 30°, АВ = 2АС = 2 • 10 = 20, тоді АС = 12АВ = 12 • 20 = 10.

Відповідь: 10.

б) ∠ВАС = ∠ВСА = 180°-120°2 = 30°,

ВО ⊥ АС, тоді ВО – бісектриса кута АВС, тоді ∠АВО = 60°, ∠АОВ = 60°, тоді АВ = АО = ВО = 7.

Відповідь: АВ = 7.

Стор.204 Тестові завдання

1. Діаметр кола дорівнює 6 см. Довжина кола дорівнює: а) 6 см.

2. Центр кола, вписаного в трикутник, лежить у точці перетину: г) серединних перпендикулярів.

3. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині: в) гіпотенузи.

4. Сторони прямокутного трикутника дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. Знайдіть радіус вписаного кола. г) 2 см.

5. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть радіус описаного кола. б) 6 см.

6. Із точки А до кола проведено дотичні AB і AC (В і C — точки дотику). Яке я тверджень правильне? a) AB = AC.

7. Кола радіусів 3 см і 7 см дотикаються зовні. Знайдіть відстань між центрами цих кіл. в) 10 см;

8. Знайдіть ширину кільця, утвореного концентричними колами радіусів 3 см і 5 см. б) 2 см.

9. 3 точки А до кола з центром 0 проведено дотичну AB (В — точка дотику). Тоді ∠ABO: б) прямий.

10. Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від даної точки, є: а) коло.

Стор.205 Типові задачі для контролю

2. Навколо трикутника ABC з кутами ∠A = 30° і ∠B = 60° описано

коло. Знайдіть його радіус, якщо AB = 10 см.

Нехай АВ = а, тоді провівши промінь AD і відклавши ВС = АВ, CD = АВ

будемо мати AD = 3AB.

5. Два кола мають зовнішній дотик, а відстань між їх центрами дорівнює 16 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як

3 : 5.

Нехай О1О2 = 16 см, О1А : АО2 = 5 : 3.О1А = О1О2 • 55 + 3 = 16 • 58 = 10 (см), АА2 = О1О2 • 35+3 = 16 • 38 = 6 (см)

Відповідь: 6 см.

7. З точки А до кола з центром O проведемо дотичні AM і AN (M і N —

точки дотику). K — точка перетину відрізків MN і AO. Знайдіть AK

і KO, якщо OM = 8 см і ∠MON = 120°.

Оскільки ∠А = 30°, ∠В = 60°, то ∠С = 180° – ∠А – ∠В = 180° – 60° – 30 = 90°.Оскільки ∆АВС – прямокутний, то АО = ОВ = ОС = АВ2 = 102 = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

9. Доведіть, що якщо два кола з центрами O і O₁ перетинаються в точках А і B, то AB ⊥ OO₁ (мал. 22.9).

∆ОАО₁ = ∆ОВО₁ – за трьома сторонами (ОА = ОВ – як радіуси, О₁А = О₁В – як радіуси, ОО₁ – спільна сторона). Із рівності цих трикутників ∠АОО₁ = ∠ВОО₁, тобто ОО₁ – бісектриса кута АОВ.

Оскільки в рівнобедреному трикутнику АОВ (ОА = ОВ – як радіуси), ОО₁ – бісектриса кута АОВ, то ОО₁ ⊥ АВ.