Вправи: 683

683. Рівні відрізки AB і CD перетинаються в точці O так, що AO = CO, а кути трикутника AOD — пропорційні числам 2, 3 і 5. Знайди кути трикутника COB.

Оскільки АВ = CD і АО = СО, то ВО = DO. ∆AOD = ∆COB. Оскільки кути трикутника AOD пропорційні числам 2, 3 і 5, то і кути трикутника СОВ пропорційні числам 2, 3 і 5 і дорівнюють:180° • 22+3+5 = 36°, 180° • 32+3+5 = 54°, 180° • 52+3+5 = 90°.Відповідь: 36°, 54°, 90°.

Стор.157 Самостійна робота

Варіант 1

2. ∆ABC — прямокутний (AC = 90°). Знайдіть ∠A, якіцо ∠B = 70°.

∠А = 90° – ∠В = 90° – 70° = 20°.

Відповідь: 20°.

Варіант 2

2. ∆АВC — рівнобедрений (AВ = BC). Знайдіть ∠A, якщо ∠B = 70°.

∠А = 180°-∠В2 = 180°- 70°2 = 55°.

Відповідь: 55°.

3. Точки K і M лежать на основі AC рівнобедреного трикутника ABC,

∠BKA = ∠BMC. Доведіть, що AK = CМ.

Нехай АВ = ВС, ∠ВКА = ∠ВМС. Оскільки ∆АВС – рівнобедрений, то ∠А = ∠С.Оскільки ∠А = ∠С, ∠ВКА = ∠ВМС, то ∠1 = ∠2 = 180° – ∠А – ∠ВКА.∆АВК = ∆СВМ за другою ознакою рівності трикутників (АВ = ВС, ∠1 = ∠2, ∠А = ∠С). Із рівності цих трикутників маємо АК = МС.

Варіант 3

3. Точки K і М лежать на основі AC рівнобедреного трикутника ABC,

∠BKA = ∠BMC. Доведіть, що BK = BM.

Нехай АВ = ВС, ∠ВКА = ∠ВМС, тоді ∠ВКМ = ∠ВМК== 180° – ∠ВКА. Оскільки ∠ВКМ = ∠ВМК, то ∆АКМ – рівнобедрений і, отже, ВК = ВМ.

Варіант 4

2. ∆АВС — рівнобедрений (AВ = BC). Знайдіть ∠B y якщо ∠C = 50°.

∠В = 180° – 2∠С = 180° – 2 • 50° = 80°.

Відповідь: 80°.

Стор.158 Задачі за готовими рисунками

1.

а) Оскільки ∠А = 90° – ∠В = 90° – 60° = 30° і ВС = а, то АВ = 2 • ВС = 2а.

Відповідь: 2а.

б) ∠В = 90° – ∠А = 90° – 30° = 60°, ∠1 = ∠2 = ∠В2 = 60°2 = 30°.

∆АКВ – рівнобедрений, тоді АК = ВК = 10.

∆ВКС – прямокутний (∠С = 90°, ∠2 = 30°), тоді

КС = 12 ВК = 12 • 10 = 5.

2.

∠КАМ = ∠КВМ = 30°, оскільки АК = КВ = 8.

Із прямокутного трикутника АКМ маємо КМ = 12 АК = 12 • 8 = 4.

∠САВ = 90° – ∠В = 60°, ∠САК = 60° – ∠КАМ = 60° – 30° = 30°.

Із прямокутного трикутника АСК маємо СК = 12 АК = 12 • 4 = 2.

Тоді СВ = СК + КВ = 2 + 8 = 10.

Відповідь: СВ – 10, КМ = 4.

б) ∆ВАС = ∆DCB за трьома сторонами (АВ = СD – за умовою, АС = ВD

– за умовою, АС = ВD – спільна сторона), тоді ∠D = 30°.

Оскільки ∠АОD – зовнішній кут трикутника ОСD, тоді ∠АОD = ∠ОСD + ∠D = 60° + 30° = 90°.

Відповідь: 90°.

3.

а) ∆АВС = ∆СDA за трьома сторонами (АВ = СD – за умовою, ВС = АD – за умовою, АС – спільна сторона). Із рівності трикутників маємо

∠ВСА = ∠DАС і оскільки ці кути – внутрішні різносторонні при прямих ВС і АD та січній АС, то ВС ∥ АD.

б) Оскільки ∠1 = ∠2, то ∠АВМ = ∠АСМ, отже ∆АВС – рівнобедрений (АВ = АС) і АМ – його медіана (ВМ = МС), тоді АМ – висота і, отже, АМ ⊥ ВС.

4.

а) Оскільки ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, тоді ∠ВАD = ∠СDA = 180° – ∠1 – ∠4.

∆АВD = ∆DСА за другою ознакою рівності трикутників (АD – спільна сторона, ∠4 = ∠3 – за умовою, ∠ВАD = ∠CDA – за доведеним). Із рівності трикутників маємо АВ = СD.

∆AOB = ∆DCO за другою ознакою (АВ = СD – за доведеним, ∠1 =

= ∠2 – за умовою, ∠ВАО = ∠СDO = 180° – ∠1 – ∠АОВ).

б) ∆DAB = ∆DCB за другою ознакою рівності трикутників, оскільки

∠1 = ∠2 – за умовою, ∠3 = ∠4 – за умовою, ∠3 = ∠4 – за умовою, DВ – спільна сторона.

Із рівності цих трикутників маємо АВ = ВС. ∆АВС – рівнобедрений: АВ = ВС і ВО – бісектриса, тоді ВО – висота, отже, АС ⊥ ВD.

Стор.159 Тестові завдання

1. Периметр рівнобедреного трикутника з основою 6 см і бічною стороною 5 см дорівнює: б) 16 см.

2. Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 100°. Обчисліть інші кути трикутника. в) 40° і 40°.

3. Кут при вершині В рівнобедреного трикутника ABC (AB = BC) дорівнює 80°. Обчисліть кут між бічною стороною і медіаною, проведеною з вершини В . б) 40°.

4. Кут при основі рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює: а) 45°.

5. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 20 см, один із його кутів — 30°. Довжина меншого катета дорівнює: в) 10 см.

6. Кути трикутника пропорційні числам 4, 5 і 9. Даний трикутник: б) прямокутний.

7. Діагональ AC прямокутника ABCD розбиває його на два трикутники. Яке з тверджень — хибне? в) ∠ACB = ∠ACD.

8. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а прилеглий кут — 60°. Гіпотенуза трикутника дорівнює: а) 10 см.

9. У трикутник у ABC ∠A = 50°, ∠B = 70°. Який знак слід поставити замість * в записі: AB * BC? г) >.

10. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 60°, a сума найменшої і найбільшої його сторін — 6 см. Знайдіть довжину гіпотенузи. в) 4 см.

Стор.160 Типові задачі для контролю

1. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 112 см, а основа — 34 см. Знайдіть бічну сторону.

(112 – 34) : 2 = 39 (см).

Відповідь: 39 см.

6. Кути трикутника ABC пропорційні числам 1, 2 і 3. Знайдіть: а) кути ∆АВС; б) встановіть вид ∆АВС; в) знайдіть найбільшу сторону ∆АВС, якщо найменша його сторона дорівнює 4 см.

Нехай АВ = ВС = АС, тоді ∠А = ∠В = ∠С = 60°, АМ = МВ = NB = NC = CL = LA. ∆ABL = ∆BCM = = ∆CAN за першою ознакою рівності трикутників(АВ = ВС = СА – за умовою, AL = BM = CN – як половини рівних сторін, ∠А = ∠В = ∠С = 60°).Із рівності цих трикутників маємо BL = CM = AN.

8. Знайдіть міру кута COD, якщо AB = CD y BD = AC, ∠BDA = 35°.

Нехай АВ = А1В1, ВМ = В1М1, АС =А1С1, тоді АМ = А1М1 (як половини рівних сторін АС і А1С1).∆АВМ = ∆А1В1М1 за трьома сторонами. Із рівності цих трикутників маємо ∠А = ∠А1.

∆АВС = ∆А₁В₁С₁ за першою ознакою рівності трикутників, оскільки АВ = А₁В₁ – за умовою, ∠А = ∠А₁ – за доведеним.

9. BМ і B₁M₁ відповідно медіани трикутників ABC і A₁В₁C₁. AB = A₁В₁. AC = A₁C₁, BМ = B₁M₁. Доведіть, що ∆АВС = ∆A₁B₁C₁.

∆АВD = ∆DCA за трьома сторонами (АВ = СD – за умовою, ВD = АС – за умовою, АD – спільна сторона).

Із рівності цих трикутників маємо ∠BDA = ∠CAD = 35°.

∠COD – зовнішній кут трикутника AOD, тоді ∠COD = ∠ODA + ∠OAD = 5° + 35° = 70°.

Відповідь: 70°.