Вправи: 904

904. Доведіть, що геометричним місцем центрів кіл, які проходять через дві дані точки А і В, є серединний перпендикуляр до відрізка AB.

1) Оскільки О₁А = О₁В як радіуси, то трикутник О₁AB – рівнобедрений, тому кути при основі рівні: ∠О₁АВ = ∠О₁ВА. О₁С⊥AB, тому О₁С є висотою трикутника О₁AB, а значить, його медіаною, тобто О₁С – серединний перпендикуляр до відрізка AB. Аналогічна О₂С теж є серединним перпендикуляром до AB. Отже, О₁О₂ – середини перпендикуляр;

2) доведемо, що точки серединного перпендикуляра до відрізка AB є центрами кіл, які проходять через ці точки. Візьмемо на серединному перпендикулярі довільну точку К. Оскільки KC ⊥ AB, AC = BC, то

∆АСК = ∆ВСК як прямокутні трикутники за двома катетами, звідки

AK = BK. Тому точка К є центром кола радіуса AK = BK, тобто кола, яке проходить через точки A та В. Отже, серединний перпендикуляр до відрізка AB містить центри кіл, які проходять через ці точки.