Вправи: 815

815. Як скористатися властивістю катета, що лежить проти кута З0°, для вимірювання відстаней між двома пунктами на місцевості,

якщо між ними є перешкода, але до кожного з них можна підійти?

Нехай потрібно виміряти відстань між населеними пунктами В та С, між якими є перешкода. Знаходять на місцевості таку точку А, яка б із двома заданими утворила прямокутний трикутник з кутом ∠А = 30°, вимірюють відстань між точками А та С і використовують властивість про величину катета, який лежить проти кута 30° : BC = 12AC.

Стор.191 Тестові завдання до розділу

1. Два кути трикутника дорівнюють 80° і 25°. Чому дорівнює третій кут?

Третій кут дорівнює 180° – 80° – 25° = 75°.

Відповідь: Г).

2. Зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутами α і β, дорівнює 120°. Яка із співвідношень правильне?

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним тому α + β = 120°.

Відповідь: В).

3. У трикутників PQR і KLM: PR = KM, ∠P = ∠K, ∠R = ∠M. Чому дорівнює LM, якщо PQ = 3 см, QR = 5 см, PR = 7 см?

∆PQR = ∆KLM за стороною і двома прилеглими кутами (за ІІ ознакою рівності трикутників). Тому LM = QR = 5 см.

Відповідь: Б).

4. Рівнобедрвні трикутники ABC і KLM мають рівні основи с і m та рівні периметри. Чому дорівнює ∠A, якщо ∠M на 15° менший від ∠L?

Вважатимемо, що основами рівнобедрених трикутників АСВ і KML є відповідно АВ і KL. Нехай Р₁ – периметр трикутника АВС, Р₂ – периметр трикутника KML. За властивістю рівнобедреного трикутника АВС маємо: АС = СВ = (Р₁ – с) : 2. Аналогічно для трикутника KML KM = ML = (P₂ – m) : 2. Тому АС = СВ = КМ = ML. Отже, ∆АВС = ∆KML за трьома сторонами (за ІІІ ознакою рівності трикутників). Тоді з рівності трикутників і властивості кутів при основі рівнобедреного трикутника ∠А = ∠В = ∠К = ∠L. Нехай у трикутнику KML ∠K = ∠L = x, тоді ∠M = ∠L – 15° = x – 15°. Рівняння: х + х + х – 15° = 180°; 3х = 195°; х = 65°. Отже, ∠К = 65°, звідки ∠А = ∠К = 65°.

Відповідь: Б)

5. У трикутнику DEF медіани DK і FM рівні, причому KE = ME. Яке із співвідношень правильне?

Оскільки DK – медіана, то KE = KF; оскільки FM – медіана, то DM = ME. З того, що КЕ = МЕ маємо: KE = KF = DM = ME. Розглянемо трикутники DMF і FKD. У них FM = DK за умовою, DM = FK за доведеним вище, DF – спільна сторона. Отже, ∆DMF = ∆FKD за трьома сторонами (за ІІІ ознакою рівності трикутників). Тому ∠DMF = ∠DKF як відповідні елементи рівних трикутників.

Відповідь: А).