Вправи: 1005

1005. Для забезпечення водою двох населених пунктів, що розташовані з одного боку від каналу, потрібно на його березі побудувати водонапірну башту так, щоб сумарна довжина труб від неї до кожного з пунктів була найменшою. Як це зробити? Поясніть.

Нехай A та B – населені пункти, пряма а – річка. Проведу перпендикуляр AD з точки А до прямої а. Відкладаю від точки Р відрізок РА₁ = AP і сполучає точки А₁ та В, в результаті перетину відрізка А₁В з прямою а одержують точку О. Водонапірну башту слід будувати в точці О. Справді, відстань А₁ОВ є найкоротшою між точками А₁ та В, бо будь–яка інша точка О₁ прямої а утворить ламану А₁О₁В яка довша за відрізок А₁В. Оскільки трикутник АОА₁ рівнобедрений (AO = А₁О), найкоротшою є довжина ламаної АОВ.

Стор.233 Тестові завдання до розділу.

1. Навколо трикутника ABC описано коло з центром О і радіусом R. Яке із співвідношень правильне?

Якщо навколо трикутника ABC описано коло з центром О і радіусом R, то всі вершини трикутника лежать на колі, тому OC = R.

Bідповідь. Г).

2. У трикутник KLM вписано коло з центром O і радіусом r, яке дотикається до сторони KL у точці А, сторони LM — у точці В і сторони KM — у точці С. Яке із співвідношень правильне?

Радіус кола, вписаного в трикутник, проведений у точку дотику, перпендикулярний до сторони трикутника, тому ∠ОАК = 90°. Відповідь: Г).

3. У колі з центром O і радіусом 5 см проведено діаметри AN і CM, та хорду AM так, що утворився рівносторонній ∆АОМ. Яке із співвідношень правильне?

Оскільки трикутник AOM – рівносторонній, то всі його кути рівні й дорівнюють по 60°: ∠MOA = 60°. Kут CON – вертикальний до кута MOA, тому ∠CON = 60°.

Відповідь: Г).

4. Рівнобедрений трикутник ABC описаний навколо кола, центр O якого лежить на медіані BD. Чому дорівнює кут CBD, якщо ∠DAO = 25а?

Оскільки згідно умови центр О вписаного кола міститься на медіані BD, то медіана BD є бісектрисою трикутника ABC. Тоді трикутник ABC – рівнобедрений з основою AC. Центр вписаного в трикутник кола міститься у точці перетину бісектрис кутів трикутника. Тому АО – бісектриса кута А. За означенням бісектриси ∠DAO = ∠OAB = 25°; ∠DAB = ∠DAO + OAB = 25° + 25° = 50°. Kути при основі рівно–бедреного трикутника рівні, тому ∠DAB = ∠DCB = 50°. У рівно–бедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є його висотою, тому BD – бісектриса й висота. З прямокутного трикутника BDC ∠CBD = 90° – ∠DCB = 90° – 50° = 40°.

Відповідь: Б).

5. Прямокутний трикутник ABC вписаний у коло з центром O і радіусом R. До гіпотенуаи AC проведено медіану і висоту, кут між якими дорівнює меншому з кутів даного трикутника— ∠A Чому дорівнює відстань від основи висоти до вершини A?

Трикутник АОВ – рівнобедрений (AO = BO = R), тому ∠BAO = ∠ABO. Hехай ∠BAO = x, тоді ∠ABH = ∠ABO + ∠OBH = x + x = 2x. З прямо–кутного трикутника АНВ x + 2x = 90°; 3х = 90°; x = 30°. AC = 2R як діаметр. У прямокутному трикутнику ABC за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, BC = 12AC = R. Tоді трикутник OBC – рівно–сторонній, а отже, BH є його медіаною, тому OH = HC = 12R. Отже,

AH = AO + OH = R + 12R = 1,5 R.

Відповідь: В).

Повторення вивченого

1. Як за допомогою шнура, натертого крейдою, відмітити на класній дошці пряму? Як користуються шнуром для проведення прямої муляри і теслі?

Закріпити шнурок у двох точках на дошці, добре натягнувши його, відтягнути приблизно на середині і відпустити. Після цього на дошці залишиться слід прямої. Мулярі й теслі використовують шнурок, натягаючи його між двома опорами для проведення прямої.

2. Як, не користуючись лінійкою, перевірити, чи по прямій відрізано аркуш; картон; фанеру?

Необхідно подивитися вздовж лінії зрізу від його спочатку до кінця.

3. Поясніть зміст таких речень: 1) затемнення Сонця відбувається тоді, коли Місяць займає положення між Сонцем і Землею;

2) затемнення Місяця відбувається тоді, коли Земля займає поло–ження між Сонцем і Місяцем.

1) Усі три тіла розміщуються на одній прямій, до того ж Місяць розташовується між Землею і Сонцем; 2) усі три тіла розміщуються на одній прямій, до того ж Земля розташована між Сонцем і Місяцем.

4. Чи лежить точка C на відрізку АB, якщо: 1) AB = 10 см, AC = 45 мм, BC = 0,55 дм; 2) BC = 41 мм, AC = 0,5 дм, AB = 9,6 см?

1) АВ = 10 см = 100 мм, BC = 0,55 дм = 55 мм; AB = AC + CB; 100 =

= 45 + 55. Отже, точка С лежить на відрізку AB.

2) АС = 0,5 дм = 50 мм, AB = 9,6 см = 96 мм; AB = AC + CB; 96 ≠

≠ 50 + 41. Отже, точка С не лежить на відрізку AB.

5. Чи можуть точки A, В, C лежати на одній прямій, якщо: 1) AB = 3,7 см, BC = 42 мм; AC = 0,8 дм; 2) AC = 90 мм, BC = 3,8 см, AB = 0,52 дм?

1) AB = 3,7 см = 37 мм, AC = 0,8 дм = 80 мм 80 ≠ 37 + 42. Отже, точки A, В і C не лежать на одній прямій.

2) BC = 3,8 см = 38 мм, AB = 0,52 дм = 52 мм 90 = 38 + 52. Отже, точки A, В і C лежать на одній прямій.

6. Точки А, В, C i D послідовно розміщені на прямій, причому AB =

= CD. Доведіть, що відрізки AD і BC мають спільну середину.

Нехай точка К – середина відрізка BC. Тоді BK = KC. Оскільки AB =

= CD, то AB + BK = KC + CD; AK = KD, тобто точка K – середина відрізка AD.

7. Точки А, В і C лежать на прямій, точки M i N — середини відрізків AB i АС. Доведіть, що BC = 2MN.

BC = BN + NC = BN + AM + MB + BN = 2BN + 2MB = 2(MB + BN) =

= 2MN.

8. Точки A, В i С лежать на прямій, AB = 6 см, BC = 10 см. Якою може бути довжина відрізка AC? Для кожного з можливих випадків зробіть малюнок.

1) AC = AB + BC = 6 + 10 = 16 (см); 2) AC = BC – AB = 10 – 6 = 4 (см).

9. Нa прямій дано два відрізки OA = 8 см і OB = 4 см. Знайдiть:

1) відстань між точками А i В; 2) відстань між точкою O і серединою M відрізка AB.

І випадок. 1) AB = OA – OB = 8 – 4 = 4 (см); 2) якщо M – середина AB, то AM = BM = AB : 2 = 4 : 2 = 2 (см). Тоді OM = ОВ + BM = 4 +

+ 2 = 6 (см);

ІІ випадок. 1) AB = ОА + ОВ = 8 + 4 = 12 (см); 2) якщо М – середина AB, то AМ = BM = AB : 2 = 12 : 2 = 6 (см). Тоді OM = ОА –

– АМ = 8 – 6 = 2 (см).

10. Три школи розміщено по прямій лінії. Відстань між школами № 1

і № 2 – 5 км, а між школами № 1 і № 3 – 4 км. Якою може бути відстань між шкалами № 2 і № З?

І випадок. ДТ = ПД – ПТ = 5 – 4 = 1 (км);

ІІ випадок. ДТ = ПД + ПТ = 5 + 4 = 9 (км).

11. Від центра агрофірми до центра її відділення прокладають телефонну лінію. Для цього через кожні 50 м слід поставити стовп. Скільки потрібно заготовити стовпів, якщо довжина лінії становить 4 км?

Кількість стовпів буде на 1 більше, ніж кількість відрізків по 50 м, тому потрібно заготовити 40000 : 50 + 1 = 81 (ст.).

12. Через кожен метр 20–метрового прямого паркану закопано стовп. 1) Скільки закопано стовпів? 2) Яка відстань між першим стовпом від початку і п'ятим — від кінця? 3) Десятим — від початку і десятим — від кінця?

1) Закопано 21 стовп; 2) 5 стовпів від кінця відповідає 4 • 1 = 4 (м) паркану, тобто відстань дорівнює 20 – 4 = 16 (м); 3) 10 стовпів відповідають 9 м паркану, тому відстань дорівнює 20 – 9 – 9 = 2 (м).

13. На карті Києва, виконаній у масштабі 1 : 30 000, довжина кварталу: 1) між вулицями Хрещатик і Євгена Чикаленка дорівнює 2 см; 2) між вулицями Липською та Шовковичною дорівнює 1,5 cм. Яка довжина цих кварталів?

Масштаб 1 : 30 000 вказує, що 1 см на карті відповідає 30 000 см =

= 300 м на місцевості. Тому:

1) довжина кварталу між вулицями Хрещатик і Євгена Чикаленка дорівнює 2 • 300 = 600 (м);

2) довжина кварталу між вулицями Липською і Шовковичною дорівнює 1,5 • 300 = 450 (м).

14. Майстерня має довжину 44 м і ширину — 24 м. Посередині коротшої стіни розташовано двері шириною 4 м, а довша стіна має п'ять вікон з рівними простінками між ними. Ширина кожного вікна дорівнює 4 м. Накресліть план майстерні в масштабі 1:400.

Див. рис.

15. Вимірявши два відрізки в деяких одиницях довжини, ви дістали, що один з них довший за другий удвічі. Потім вирішили порівняти їх довжини точніше і для цього зменшили одиницю довжини в 10 разів (наприклад, замість 1 см взяли 1 мм). Чи досягли ви мети?

Ні.

16. На аркуші паперу позначено дві точки А і В. Як треба зігнути цей аркуш, щоб поділити відрізок AВ навпіл?

Аркуш слід зігнути по прямій, яка містить відрізок AB, а потім зігнути так, щоб точки A та В сумістилися, тоді лінія згину буде серединним перпендикуляром, який ділить відрізок AB навпіл.

17. Із 3– і 4 –метрових колод однакової товщини потрібно заготовити машину дров, розпилявши колоди на куски довжиною до 1 м. Які колоди вигідніше розпилювати?

Вигідніше розпилювати колоди завдовжки 3 м бо, наприклад,

4 (колоди) • 3 = 12 однометрових кусків і потрібно виконати 2 • 4 =

= 8 (розпилів), а 3 (колоди) • 4 = 12 однометрових кусків і потрібно виконати 3 • 3 = 9 (розпилів).

18. Як можна швидко визначити приблизну кількість аркушів

паперу, складеного у великий стос?

Спочатку слід виміряти висоту невеликого стосу паперу (наприклад, 1 см) і порахувати кількість аркушів у ньому. Потім виміряти висоту великого стосу і визначити пропорційно кількість аркушів у ньому.

19. Потрібно виміряти лінійкою діаметр дуже тонкого дроту. Запропонуйте спосіб вимірювання.

Можна щільно намотати виток до витка, наприклад, на олівець, підрахувати кількість витків і виміряти довжину відрізка, яку вони складають. Поділивши довжину одержаного відрізка на кількість витків, одержу товщину одного витка, а це є діаметр дроту.

20. Вам потрібно виміряти діагональ цеглини (відстань між найбільш віддаленими її вершинами). Запропонуйте спосіб вимірювання діагоналі лінійкою.

Вимірюю висоту цегли і діагональ основи, зображую у натуральну величину прямокутник з одержаними вимірами на аркуші паперу і вимірюють діагональ цього прямокутника.

21. Виріжте із цупкого паперу смужку. Згинанням поділіть її на 3; 4; 6 рівних частин.

Щоб поділити смужку на 3 частини, необхідно зігнути її у вигляді літери “Z”; щоб поділити смужку на 4 частини, достатньо зігнути її двічі навпіл; щоб поділити смужку на 6 частин, спочатку її слід поділити на 3 частини, a потім зігнути ще раз навпіл.

22. Як від куска тканини довжиною 8 м відрізати, не відмірюючи,

5 м?

Згинаю кусок навпіл, одержують дві частини по 4 м кожна, потім

одну частину згинають двічі навпіл, її довжина становитиме 1 м. Після цього достатньо взяти частину завдовжки 4 м і одну частину завдовжки 1 м, одержую 4 + 1 = 5 (м).

23. Чи проходить промінь OC між сторонами кута AOB, якщо: 1) ∠AOC = 92°, ∠BOC = 43°, ∠AOB = 49°; 2) ∠AOC= 30°, ∠BOC = 65°, ∠AOB = 95°?

Якщо промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ, то має виконуватися рівність ∠АОС + ∠СОВ = ∠АОВ.

1) 92° + 43° = 135° ≠ 49° – не проходить;

2) 30° + 65° = 95°, 95° = 95° – проходить.

24. Як перевірити, чи є даний кут розгорнутим?

Достатньо прикласти до кута лінійку.

25. Якщо розгорнутий кут поділити на три рівні кути, то бісектриса середнього кута перпендикулярна до сторін розгорнутого кута. Доведіть.

∠АОС = ∠COD = ∠BOD= 180° : 3 = 60°. Якщо ОЕ – бісектриса кута COD, то ∠COE = ∠DOE = 60° : 2 = 30°. ∠EOB = ∠EOD + ∠DOE = 30°+

+ 60° = 90°. Отже EO ⊥ AB.

26. Вася і Ваня в зошитах провели відрізок AB, позначили на ньому точку O і побудували прямий кут KOM. Вася з’ясував, що сума кутів AOK і BOM, дорівнює 90°. Ваня ж наполягає на тому, що їх різни ця дорівнює 90°. Хто з них правий?

1) Вася виконав рисунок і показав, що ∠AOK + ∠BOM = 90°;

2) Ваня виконав рисунок і показав, що ∠AOK – ∠BOM = 90°.

Oбидва хлопці мають рацію.

27. На скільки градусів повернеться хвилинна стрілка за: 1) 20 хв; 2) 10 хв?

Якщо стрілка годинника пройде 1 хв, то вона повернеться на 360° : : 60 = 6°. Тому:

1) за 20 хв вона повернеться на 2 • 6° = 120°;

2) за 10 хв вона повернеться на 10 • 6° = 60°.

28. Від аркуша паперу відрізали один з кутів. Скільки кутів матиме аркуш?

Якщо відрізати від аркуша один кут, то аркуш із чотирикутника стане п'ятикутником.

29. Розгорнутий кут поділено на 3 рівні кути. Як за допомогою косинця провести бісектрису середнього iз цих кутів?

Якщо розгорнутий кут поділено на 3 рівних кути, то величина кожного з них дорівнює 180° : 3 = 60°. Бісектриса поділяє середній кут на два кути по 60° : 2 = 30°, 60° + 30° = 90°. Отже, достатньо за допомогою косинця провести з вершини розгорнутого кута промінь, перпендикулярний до його сторін.

30. Один iз суміжних кутів збільшується від O°до 180°. Як змінюватиметься другий кут?

Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, то інший кут зменшуватиметься від 180° до 0°.

31. Чи можуть на паралельних прямих лежати: 1) вершини трикутника; 2) сторони трикутника?

1) Так, якщо на одній з прямих розмістити одну сторону трикутника, а на іншій – третю вершину; 2) ні, бо дві сторони не матимуть спільної вершини.

32. Чи можуть на перепендикулярних прямих лежати: 1) вершини трикутника; 2) сторони трикутника?

1) Так, наприклад, вершини прямокутного трикутника; 2) так, принаймні два катети прямокутного трикутника.

33. Дві прямі перетинаються. Чи можна провести третю пряму, паралельну кожній з них? Поясніть відповідь.

Ні, бо тоді через точку перетину цих прямих проходить дві прямі, паралельні дані, що неможливо.

34. Прямі а і b паралельні прямій с. Доведіть, що пряма, яка перетинає пряму а, перетинає також і пряму b.

Доведемо спочатку, що а ∥ b. Нехай а ∥ c і b ∥ с. Припустимо, що прямі a та b не паралельні, тобто вони перетинаються у деякій точці А. Тоді одержуємо, що через точку А проходить дві прямі a та b, які паралельні до прямої с, що неможливо. Отже, наше припущення невірне, тому а ∥ b. Нехай деяка пряма d перетинає пряму а. Покажемо, що вона також перетинає й пряму b. Припустимо, що пряма d не перетинає пряму b. Тоді d ∥ b і a ∥ b, що неможливо. Отже, пряма, яка перетинає одну з двох паралельних прямих, перетинає також й іншу.

35. Дві паралельні прямі перетинає третя. Скільки при цьому може бути кутів: 1) гострих: 2) тупих: 3) прямих?

1) Може утворитися 4 гострих кути; 2) може утворитися 4 тупих кути; 3) може утворитися 8 прямих кутів.

36. За якої умови рівні всі кути, що утворені при перетині двох паралельних прямих третьою?

Якщо січна перпендикулярна до паралельних прямих.

37. Чи правильне твердження: якщо при перетині двох прямих третьою утворилося рівно два кути по 91°, то прямі не паралельні?

Так, бо при перетині паралельних прямих утвориться по чотири однакові кути.

38. Дві паралельні прямі перетинає третя так, що один із утворених кутів становить 113 прямого кута. Під яким кутом його бісектриса перетинає другу з паралельних прямих?

113 = 43; 43 • 90° = 120°; 120° : 2 = 60°. Отже, бісектриса цього кута перетинає обидві з паралельних прямих під кутом 60°.

39. Доведіть, що бісектриси двох кутів з паралельними сторонами паралельні або перпендикулярні між собою.

1) Нехай AB ∥ MN, BC ∥ NP. Pозглянемо кути ABC і MNP. ∠ABC = ∠ADP як кути при паралельних прямих BC і DP та січній AD. ∠ADP = ∠MNP як кути при паралельних прямих AD і MN та січній DP. Tому ∠ABC = ∠MNP. Oскільки BE та NO – бісектриси кутів ABC і MNP, то ∠ABE = ∠EBC = 12 ∠ABC і ∠MNO = ∠ONP = 12 ∠MNP, звідки ∠EBC = ∠ONP. Oскільки BC ∥ NP і ∠EBC = ∠ONP, то EB ∥ BE.

2) Hехай AB ∥ MN, BC ∥ NP. Tоді ∠ABC = ∠MNP (див. п. 1) ON ⊥ KN як бісектриси суміжних кутів. Tоді ON ⊥ BE.

40. З точки А виходять три промені. На одному з крайніх променів взято точку К, через яку проведено пряму, що перетинає середній промінь у точці М. Відомо, що KM = AK. За якої умови пряма KM буде паралельною іншому з крайніх променів?

Tрикутник АКМ – рівнобедрений (AK = KM), тому ∠KAM = ∠KMA. Якщо паралельні прямі AB та KM перетинає січна АМ, то внутрішні різносторонні кути повинні бути рівними, тобто ∠КМА = ∠ВАМ. Але ∠КАМ = ∠КМА. Тому повинна виконуватися рівність ∠ВАМ = ∠КАМ, тобто АМ має бути бісектрисою кута ВАК.

41. На одній стороні кута O відкладено відрізки OA₁ і A₁A₂, а на другій — відрізки OB₁ = OA₁ і B₁B₂ = A₁A₂. Доведіть, що A₁B₁ ∥ A₂B₂.

Оскільки ОА₁ = ОВ₁, то трикутник В₁ОА₁ – рівнобедрений, тобто ∠ОА₁В₁ = ∠ОВ₁А₁; так як А₁А₂ = В₁В₂, ОА₂ = ОВ₂ як суми рівних відрізків, то трикутник В₂ОА₂ – рівнобедрений, тобто ∠ОА₂В₂ = ∠ОВ₂А₂. Оскільки ∠А₁ = (180° – ∠О) : 2 і ∠А₂ = (180° – ∠О) : 2, то ∠ОА₁В₁ = ∠ОА₂В₂. Якщо при перетині двох прямих А₁В₁ і А₂В₂ січною ОА₂ відповідні кути рівні, то прямі паралельні.

42. Як виміряти кут, вершина якого лежить за межами аркуша паперу?

Достатньо провести пряму, паралельну одній зі сторін кута, яка б перетинала іншу сторону кута в межах доступного.

43. На аркуші паперу проведіть пряму і позначте точку, яка не лежить на прямій. Зігнувши аркуш, проведіть через дану точку пряму, перпендикулярну до даної прямої.

Спочатку згинаю аркуш по заданій прямій, а потім згинаю його під прямим кутом так, щоб лінія згину проходила через задану точку.

44. Як треба зігнути аркуш паперу, щоб провести через дану точку пряму, паралельну даній прямій?

Спочатку згинаю аркуш по заданій прямій, потім згинаю його під прямим кутом так, щоб лінія згинув проходила через задану точку, а після цього згинаю під прямим кутом до утвореної прямої.

45. Як треба зігнути кусок тканини, щоб переконатися в тому, що два його краї паралельні?

Необхідно зігнути кусок так, щоб кінці одного краю співпали. Якщо частини іншого краю накладуться, то ці краї будуть паралельними.

46. Які з наведених тверджень є аксіомами? 1) Через будь–які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.2) Сума суміжних кутів дорівнює 160°. 3) Із трьох будь–яких точок прямої одна і тільки одна точка лежить між двома іншими. 4) Вертикальні кути рівні. 5) Довжина відрізка дорівнює сум і довжин відрізків, на які він розбивається будь–якою його точкою.

Аксіомами є твердженням 1), 3) і 5).

47. Які з наведених тверджень є властивостями геометричних фігур, а які — їx ознаками? 1) Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений. 2) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. 3) Якщо при перетині двох прямих третьою внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні. 4) Якщо дві паралельні прямі перетинає третя, то відповідні кути рівні. 5) Якщо медіана трикутника дорівнює половині його сторони, до якої вона проведена, то такий трикутник прямокутний. 6) У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

Властивості: 2), 4) і 6); ознаки: 1), 3) і 5).

48. Накресліть трикутник. Проведіть три прямі, які перетинають дві його сторонни і паралельні третій. Скільки утворилося трикутників? Дайте відповідь на це саме запитання, якщо прямих проведена:

1) 4; 2) 5; 3) n.

Якщо провести три прямі, які паралельні одній стороні й перетинають дві інші сторони трикутника, то утвориться 4 трикутники.

1) Якщо провести чотири прямі, то утвориться 5 трикутників;

2) якщо провести п'ять прямих, то утвориться 6 трикутників;

3) якщо провести n прямих, то утвориться n + 1 трикутник.

49. Як зміниться периметр трикутника, якщо його сторони: 1) збільшити на 3 см; 2) збільшити у 3 рази; 3) зменшите в 1,5 раза; 4) зменшите на 1,5 см?

Нехай задано трикутник ABC. Р_АВС = AB + AC + BC.

1) Р₁ = А₁В₁ + А₁С₁ + В₁С₁ = (AB + 3) + (AC + 3) + (BC + 3) =

= Р_АВС + 9. Отже, периметр трикутника збільшиться на 9 см.

2) Р₂ = А₂В₂ + А₂С₂ + В₂С₂ = 3АВ + 3АС + 3ВС = 3P_ABC. Отже, периметр трикутника збільшиться утричі;

3) Р₃ = А₃В₃ + А₃С₃ + В₃С₃ = АВ1,5 + АС1,5 + ВС1,5 = РАВС1,5. Отже, периметр трикутника зменшиться у 1,5 разу;

4) Р₄ = А₄В₄ + А₄С₄ + В₄С₄ = (AB – 1,5) + (AC – 1,5) + (BC – 1,5) =

= Р_АВС – 4,5. Отже периметр трикутника зменшиться на 4,5 см.

50. Як зміниться довжина сторони рівностороннього трикутника, якщо його периметр: 1) збільшити на 6 cм; 2) збільшити у 2 рази: 3) зменшите в 4 рази; 4) зменшите на 2,7 см?

Оскільки сторони рівностороннього трикутника рівні, то а = Р3.

1) а₁ = Р13 = Р+63 = Р3 + 2 = a + 2. Отже, сторона збільшиться на 2 см;

2) а₂ = Р23 = 2Р3 = 2а. Отже, сторона збільшиться удвічі;

3) а₃ = Р33 = Р3 • 14 = а4. Отже, сторона зменшиться учетверо;

4) а₄ = Р43 = Р-2,73 = Р3 – 0,9 = a – 0,9. Отже, сторона зменшиться на 0,9 см.

51. Довжини сторін трикутника виражаються цілими числами. Знайдіть сторону трикутника, якщо дві інші сторони дорівнюють 1 і

2 см.

Сторона трикутника має дорівнювати 2 см, оскільки за інших цілих значень не виконуватиметься умова нерівності трикутника.

52. Сума двох будь–яких сторін трикутника дорівнює 10 см. Знайдіть периметр трикутника.

a + b = 10;

З умови задачі маємо: b + c = 10; Додамо по частину усі рівняння:

а + с = 10.

2(a + b + c) = 30; а + b + c = 15; Р = 15 (см).

Відповідь: 15 см.

53. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см. Доведіть, що його периметр більший, ніж 40 cм.

Щоб існував трикутник, довжина двох його сторін має бути більшою за 20 см, тому його периметр має бути більшим за 20 + 20 = 40 см.

54. Бічна сторона рівнобедрвного трикутника дорівнює 10 cм. Доведіть, що його периметр менший, ніж 40 см.

Щоб існував рівнобедрений трикутник, сума довжин бічних сторін якого дорівнює 10 + 10 = 20 (см), його основа має бути меншою за 20 см, тому периметр трикутника має бути меншим за 40 см.

55. Виріжте з паперу трикутник. За допомогою перегинання трикутника проілюструйте, що сума його кутів дорівнює 180°.

Нехай вирізали трикутник ABC. Знайду точки Е та F як середини сторін AB та BC. Bиконаю згини таким чином, щоб усі вершини трикутника ABC опинилися в точці B₁. Cума кутів A, B та C дасть розгорнутий кут, тобто дорівнює 180°.

56. Доведіть, що серед кутів трикутника принаймні один не менший, ніж 60°.

Якби усі кути трикутника були меншими за 60°, то сума кутів трикутника виявилася би меншою за 180°, що неможливо. Отже, серед кутів трикутника є принаймні один кут, не менший за 60°.

57. Чи існує трикутник, у якого один а кутів дорівнює різниці двох інших кутів?

Так, існує. Цим трикутником може бути будь–який прямокутний трикутник.

58. Чи можна який–небудь трикутник розрізати на два гострокутні трикутники?

Ні, не можна, оскільки принаймні один з утворених трикутників буде прямокутним чи тупокутним, бо розрізатиметься розгорнутий кут (сторона), а з двох суміжних кутів принаймні один буде не гострим.

59. Визначте вид трикутника, у якого сума двох кутів: 1) менша від третього; 2) дорівнює третьому; 3) більша за третій.

1) Тупокутний; 2) прямокутний; 3) гострокутний.

60. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо ∠A + ∠В = 103°, ∠A –∠B =

= 63°.

∠А + ∠В = 103°;

Складаю систему рівнянь: ∠А – ∠В = 63°; 2∠А = 166°; ∠А = 83°,

тоді ∠В = 103° – 83° = 20°; ∠c = 180° – (∠А + ∠В) = 180° – 103° = 77°.

Відповідь: 83°, 20°, 77°.

61. Чи існує трикутник, у якого перпендикулярні: 1) бісектриси двох його кутів; 2) висоти, проведені з двох його вершин?

1) З ∆АОВ α2 + β2 = 90°, звідки α + β = 180°. Трикутник не існує, бо якщо бісектриси двох кутів перпендикулярні, то сума цих кутів має дорівнювати 180°, що неможливо; 2) так, це може бути, наприклад, у прямокутному трикутнику.

62. У якому трикутнику кожен зовнішній кут удвічі більший за кут трикутника: 1) суміжного з ним; 2) не суміжного з ним?

1) У рівносторонньому, бо кожен кут такого трикутника дорівнює по 60°, а зовнішній – 120°; 2) у рівносторонньому.

63. Які кути утворюються при перетині двох бісектрис рівносторон–нього трикутника?

Оскільки всі кути рівностороннього трикутника дорівнюють по 60°, то кожна бісектриса поділяє їх на два кути по 30°. З трикутника АОВ ∠АОВ = 180° – (30° + 30°) = 120°; ∠AON = 180° – 120° = 60° як суміжний з кутом AOB; ∠NOM = ∠AOB = 120° як вертикальні; ∠MOB = ∠NOA = 60° як вертикальні.

Bідповідь: 120°, 60°, 120°, 60°.

64. Паперовий трикутник ABC перегнули так, що вершина C опинилася на стороні AB, а з непокритих частин утворилися два рівнобедрені трикутники з вершинами А і В. Знайдіть кут С.

∠A = 180° – 2α, ∠B = 180° – 2β; ∠C = 180° – ∠A – ∠B = 180° – (180° – 2α) – (180° – 2β) = 2α – 2β – 180°. З рівності ∠DCK = ∠C складає–мо рівняння: 180° – α – β = 2α – 2β – 180°; 3α + 3β = 360°; α + β = 120°. Отже, ∠C = 180° – 120° = 60°.

65. Крокви даху будинку утворюють між собою кут 130°. Під яким кутом нахилені крокви до горизонту?

Крокви даху є бічними сторонами рівнобедреного трикутника, тому з горизонтом вони утворюють кути (180° – 130°) : 2 = 25°.

66. Знайдіть висоту даху, крокви якого мають форму рівнобедрвного прямокутного трикутника, якщо його основа дорівнює 7 м.

У рівнобедреному трикутнику ABC висота CK є його медіаною і бісектрисою. Тому АК = KB = 7 : 2 = 3,5 (м); ∠АСК = ∠ВСК = 90° :

: 2 = 45°. З трикутника АКС ∠А = 90° – 45° = 45°, отже, трикутник АКС є рівнобедреним, AK = KC дорівнює 3,5 (м).

67. Плоский напилок має перехресну насічку. Одна насічка утворює з ребром напилка кут 35°, а друга — 74°. Знайдіть кут між насічками, якщо сторонни цих кутів — доповняльні промені.

∠DAC = 180° – (∠CAB + ∠DAM) = 180° – (35° + 74°) = 180° – 109° =

= 71°.

Bідповідь: 71°.

68. Для вимірювання висоти AВ пагорба відійшли від нього по прямій і відмітили точку D так, щоб пагорб було видно під кутом 30°. Потім відійшли ще раз і відмітили точку С, з якої пагорб видно під кутом 15°. Яку відстань треба виміряти, щоб знайти висоту пагорба? Зробіть малюнок.

За властивістю прямокутного трикутника його гіпотенуза удвічі більша за катет, який лежить проти кута 30°, тому BD = 2АВ. Оскільки ∠ADB = 30°, то ∠BDC = 180° – 30° = 150°. Tоді ∠DBC = 180° – (∠C + ∠BDC) = 180° – (15° + 150°) = 180° – 165° = 15°, тому трикутник BDC – рівнобедрений (BD = DC). Отже, щоб визначити висоту пагорба AB, достатньо виміряти відстань DC і розділити її навпіл.

69. Дві сторони рівнобедрвного трикутника дорівнюють 40 і 18 см. Яка з них є основою?

Oсновою є сторона завдовжки 18 см, бо в іншому випадку неможливо було б побудувати трикутник: 18 см + 18 см < 40 см.

70. Знайдіть сторони рівнобедрвного трикутника, у якого одна сторона дорівнює 10 см, а один з кутів — 60°.

Якщо один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то цей трикутник є рівностороннім. Отже, усі сторони цього трикутника дорівнюють по 10 см.

71. Якого виду трикутник утворюють бісектриси кутів при основі рівнобедреного трикутника з основою цього трикутника?

Кути А та В при основі рівнобедреного трикутника рівні й менші за 90°. Тоді кути ОАВ і ОВА, утворені їх бісектрисами, рівні між собою, як половини рівних кутів, і менші за 45°. Якщо у трикутнику ОАВ кожний з кутів ОАВ і ОВА менший за 45°, то їх сума менша за 90°, отже, кут АОВ, утворений бісектрисами цих кутів, має бути більшим за 90°, тобто трикутник ОАВ рівнобедрений тупокутний.

72. У рівнобедреному трикутнику точка перетину бісектрис кутів при основі рівновіддалена від кінців основи. Доведіть.

Кути OAD і OBD, утворені бісектрисами кутів при основі, рівні між собою як половини рівних кутів. Tоді трикутник AOB – рівнобедрений і точка перетину бісектрис рівновіддалена від кінців основи.

73. Доведіть, що коли медіана трикутника ділить його на два

трикутники з рівними периметрами, то даний трикутник

рівнобедрений або рівносторонній.

Hехай CD – медіана, проведена до сторони AB, P_ACD = P_BCD. Oскільки AD = BD, CD – спільна сторона трикутників ACD і BCD і P_ACD = P_BCD, то AC = BC. Отже, трикутник ABC – рівнобедрений або рівносторонній.

74. Яким має бути кут при основі рівнобедреного трикутника, щоб трикутник був: 1) гострокутним; 2) прямокутним; 3) тупокутним?

1) Більшим за 45°, але меншим за 90°; 2) дорівнювати 45°;

3) меншим за 45°.

75. Вам потрібно відпиляти кінець дошки з паралельними краями під кутом 45°. Як ви це зробите?

Від однієї з вершин краю дошки відкладаю відстань, яка дорівнює ширині дошки, і сполучу одержану точку з іншою вершиною краю дошки. Утворений трикутник буде прямокутним рівнобедреним трикутником з кутом 45°.

76. Кусок тканини має форму трикутника. Як, перегинаючи тканину, встановити, чи є цей трикутник рівностороннім або хоча б рівнобедреним?

Зігнути так, щоб сумістилися дві вершини. Якщо лінія згину міститиме третю вершину, то такий трикутник рівнобедрений. Якщо виконати таку ж операцію з двома парами вершин, то трикутник буде рівностороннім.

77. Як за допомогою перегинання аркуша паперу дістати: 1) рівнобедрений трикутник; 2) рівносторонній трикутник?

1) Зігнути аркуш по бісектрисі прямого кута, тоді одержаний трикутник буде прямокутним рівнобедреним; 2) зігнути аркуш так, як зображено на рисунку, в результаті чого розгорнутий кут (край аркуша) поділиться на три рівні частини й утвориться кут 60° і вершина А рівностороннього трикутника. Трикутник ABC буде рівностороннім якщо рівнобедрений трикутник з кутом 60°.

78. Накресліть рівнобедрений трикутник AВC, на його основі AC позначте точку X і проведіть відрізок BX. 1) Доведіть, що коли відрізок AX більший за відрізок CX, то периметр ∆АВХ більший за периметр ∆ВСХ. Сформулюйте і доведіть обернене твердження.

2) Знайдіть різницю периметрів трикутників ABX і BCX i якщо AX –

– CX = 2. 3) Знайдіть різницю відоізків АХ і CX, якщо різниця периметрів трикутників ABX і BCX дорівнює m.

1) Оскільки трикутник ABC – рівнобедрений, то AB = BC. Р_АВХ = AB + ВХ + AX, Р_ВСХ = BC + ВХ + CX. Оскільки AB = BC, ВХ – спільна сторона трикутників АВХ і СВХ і AX > CX, то Р_АВХ > P_BCX. Oбернене твердження: якщо периметр трикутника ABX більший за периметр трикутника BCX, то відрізок AX більший за відрізок CX. Доведемо це. Нехай Р_АВХ > P_BCX. P_ABX = AB + BX + AX, P_BCX = BC +

+ BX + CX. Oскільки AB = BC, BX – спільна сторона трикутників ABX і CBX, то AX > CX.

2) P_ABX – P_BCX = (AB + BX + AX) – (BC + BX + CX) = (AB – BC) + (BX – BX) + (AX – CX) = AX – CX = 2;

3) P_ABX – P_BCX = m; (AB + BX + AX) – (BC + BX + CX) = m; (AB – BC)+ + (BX – BX) + (AX – CX) = m; AX – CX = m.

79. У рівносторонньому трикутнику проведено всі медіани, бісектриси і висоти. Які висновки можна зробити?

Висота, бісектриса та медіана рівностороннього трикутника, проведені до однієї сторони, збігаються. Отже, у рівносторонньому трикутнику проведено всього три відрізки.

80. Якщо в трикутнику ABC медіана m дорівнює половині сторони а,

то кут А дорівнює сумі кутів В і С. Доведіть.

Нехай m_а = AD. Якщо AD = DC, то трикутник ADC – рівнобедрений, тому ∠C = ∠DAC; якщо AD = DB, то трикутник ADB – рівнобедрений, тому ∠B = ∠DAB. Tоді ∠A = ∠DAB + ∠DAC = ∠B + ∠C.

81. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює

28 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Oскільки трикутник ABC – прямокутний і рівнобедрений, то ∠C = ∠A = 45°. Bисота BD трикутника ABC, проведена з його вершини, є одночасно медіаною бісектрисою, тому ∠CBD = ∠ABD = 45°. Отже, трикутник BCD – рівнобедрений (∠DCB = ∠DBC = 45°), звідки BD = DC = 28 : 2 = 14 (см).

Відповідь: 14 см.

82. На гіпотенузі рівнобедреного прямокутного трикутника ABC

(∠B = 90°) відклали відрізок AM = AB. Через точку M провели пряму, перпендикулярну до AC. Вона перетнула катет BC в точці T.

Доведіть, що: 1) ∆ВMТ — рівнобедрений: 2) BT = MC.

1) Трикутник АВМ – рівнобедрений (AB = АМ), тому ∠АВМ = ∠AMB, звідки ∠МВТ = ∠ВМТ як різниця прямого і рівних кутів. Тому трикутник ВМТ – рівнобедрений;

2) оскільки трикутник ВМТ – рівнобедрений, то BТ = MT. Але трикутник ТМС теж рівнобедрений, бо ∠С = 45°, ∠MTC = 90° – 45° = 45°, тому МТ = МС. Отже, BT = MC.

83. Кут ВАС дорівнює 30°. З точки D на стороні AB проведено перпендикуляр DE до сторони AC. З точки E проведено перпен–дикуляр EF до сторони AB, а з точки F — перпендикуляр FM до сторони AC. Знайдіть довжину відрізка FM, якщо DE = 10 см.

З прямокутного трикутника DAE з кутом 30° маємо: AD = 2DE = 2 •

• 10 = 20 (см). У прямокутному трикутнику DFE ∠DEF = 30°, бо

∠ADE = 60°. DE = 10 см, тоді FD = 12DE = 12 • 10 = 5 (см). Tоді AF =

= AD – FD = 20 – 5 = 15 (см). З прямокутного трикутника AFM FM =

= 12AF = 12 • 15 = 7,5 (см).

Bідповідь: 7,5 см.

84. Бісектриси двох внутрішніх або зовнішніх односторонніх кутів при двох паралельних прямих та січній перпендикулярні між собою. Доведіть.

Нехай а ∥ b, BD – бісектриса кута CBM, звідки ∠CBD = ∠DBM = 12 ∠CBM; ∠CBM = 2∠CBD; CD – бісектриса кута BCN, звідки ∠NCD = ∠DCB = 12 ∠BCN; ∠BCN = 2∠BCD. Tоді ∠CBM + ∠BCN = 180°;

2∠CBD + 2∠BCD = 180°; 2(∠CBD + ∠BCD) = 180°; ∠CBD + ∠BCD =

= 90°. З трикутника BCD ∠BDC = 180° – 90° = 90°, тобто бісектриси внутрішніх односторонніх кутів перпендикулярні між собою;

2) Hехай а ∥ b, AD і BM – бісектриси зовнішніх односторонніх кутів. Tоді їх продовження AE і BE є бісектрисами внутрішніх односторонніх кутів. Отже, ED ⊥ EM.

85. У прямокутному трикутнику з вершини прямого куга проведено висоту, бісектрису і медіану. Знайдіть гострі кути трикутника, якщо:

1) кут між висотою і бісектрисою дорівнює 10°; 2) кут між бісектрисою і медіаною дорівнює 15°; 3) кут між висотою і медіаною дорівнює 20°.

1) Hехай ∠HBL = 10°. Oскільки BL – бісектриса прямого кута, то

∠ABL = ∠LBC = 45°. Tоді ∠ABH = ∠ABL – ∠HBL = 45° – 10° = 35°. З прямокутного трикутника АНВ ∠А = 90° – ∠АВН = 90° – 35° = 55°. З прямокутного трикутника ABC ∠C = 90° – ∠А = 90° – 55° = 35°. Відповідь: 35°, 55°;

2) нехай ∠MBL = 15°. Oскільки BL – бісектриса прямого кута, то

∠ABL = ∠LBC = 45°. Tоді ∠MBC = ∠LBC – ∠MBL = 45° – 15° = 30°. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому трикутник BMC – рівнобедрений, тому

∠МСВ = ∠МВС = 30°. З прямокутного трикутника ABC ∠А = 90° –

– ∠С = 90° –30° = 60°.

Відповідь: 30°, 60°;

3) нехай ∠HBM = 20°. З прямокутного трикутника ВНМ ∠НМВ = 90°–

– ∠HBM = 90° – 20° = 70°. Тоді ∠BMC = 180° – ∠НМВ = 180° – 70° =

= 110° як суміжний з кутом ∠НМВ. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому трикутник BMC – рівнобедрений, тому ∠МСВ = ∠МВС = (180° – ∠BMC) : 2 = (180° – 110°) : 2 = 70° : 2 = 35°. З прямокутного трикутника ABC ∠A = 90° – ∠C = 90° – 35° = 55°.

Відповідь: 35°, 55°.

86. У прямокутному трикутнику з вершини прямого кутa проведено висоту, бісектрису і медіану. Один з гострих кутів трикутника дорівнює 40°. Знайдіть: 1) кут між висотою і бісектрисою: 2) кут між бісектрисою і медіаною; 3) кут між висотою і медіаною. Порівняйте кути між висотою і бісектрисою та бісектрисою і медіаною. Зробіть висновок.

1) нехай ∠С = 40°, тоді ∠А = 90° – ∠C = 50°. Оскільки BL – бісектриса прямого кута, то ∠ABL = ∠LBC = 45°. Tоді з прямокутного трикутника AHB ∠ABH = 90° – ∠A = 90° – 50° = 40°, ∠HBL = ∠ABL – ∠ABH = 45° – 40° = 5°.

Bідповідь: 5°;

2) нехай ∠C = 40°, тоді ∠А = 90° – ∠C = 50°. Oскільки BL – бісектриса прямого кута, то ∠ABL = ∠LBC = 45°. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому трикутник BMC – рівнобедрений і ∠МСВ = ∠МВС = 40°. Тоді ∠LBM = ∠LBC – ∠MBC = 45° – 40° = 5°.

Bідповідь: 5°.

3) нехай ∠C = 40°, тоді з прямокутного трикутника BHC ∠HBC =

= 90° – 40° = 50°. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому трикутник BMC –рівнобедрений, звідки ∠МСВ = ∠МВС = 40°. Тому ∠НВМ = ∠НВС –

– МВС = 50° – 40° = 10°.

Відповідь: 10°.

Кути між висотою і бісектрисою та бісектрисою і медіаною рівні між собою.

87. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює α. Знайдіть зовнішній кут при його вершині. Як використати цей результат 1) для поділу кута навпіл; 2) для подвоєння кута?

У рівнобедреному трикутнику ABC кути при основі (А та C) рівні, тому їх сума дорівнює α + α = 2α. Зовнішній кут DBC трикутника ABC дорівнює сумі внутрішніх несуміжних з ним кутів, тому ∠DBC = ∠A + ∠C = 2α.

1) Щоб поділити кут навпіл: будую кут ∠DBC = α; продовжу сторону BD, одержує промінь BA; з точки B відкладаю однакові відрізки BC та ВА; сполучають точки A та C. Трикутник ABC – рівнобедрений, тому ∠ВАС = ∠ВСА = α2;

2) щоб подвоїти кут: будую рівнобедрений трикутник ABC, кути при основі якого дорівнюють α; продовж бічну сторону AB, одержую промінь BD; одержує ∠CBD = 2α.

88. Зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює α. При яких значеннях α трикутник буде: 1) рівностороннім; 2) прямокутним?

1) Зовнішній кут DBC трикутника ABC дорівнює сумі внутрішніх не суміжних з ним кутів, тому α = ∠A + ∠C. Kути рівностороннього трикутника рівні між собою і дорівнюють по 60°. Отже, трикутник буде рівностороннім якщо α = 120°;

2) кут при вершині рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 90°, тому й зовнішній кут має дорівнювати 180° – 90° = 90°.

89. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 40°.1) Знайдіть зовнішній кут при основі трикутника. 2) Знайдіть кут між бісектрисами зовнішнього кута при основі та зовнішнього кута при вершині. 3) Розв'яжіть цю задачу, якщо кут при вершині дорівнює α.

1) Якщо кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 40°, то кути при основі дорівнюватимуть по (180° –40°) : 2 = 140° : 2 = 70°, тоді зовнішній кут при основі дорівнює ∠ВСЕ = 180° – 70° =

= 110°;

2) ∠DBC = 180° – ∠ABC = 180° – 40° = 140°, ∠A = ∠C = (180° – 40°) : 2 = 70°, ∠BCE = 180° – ∠BCA = 180° – 70° = 110°. Оскільки BF – бісектриса зовнішнього кута DBC, то ∠DBF = ∠FBC = 140° : 2 = 70°; так як CF – бісектриса зовнішнього кута BCЕ, то ∠BCF = ∠FCE = 110° : 2 = 55°. З трикутника BFC ∠F = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – (70° + 55°) = 180° – 125° = 55°;

3_1) якщо кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює α, то кути при основі дорівнюватимуть по (180° – α) : 2 = 90° – α2, тоді зовнішній кут дорівнює ∠BCE = 180° – 90° + α2 = 90° + α2;

3_2) ∠DBC = 180° – ∠ABC = 180° – α; ∠A = ∠c = (180° – α) : 2 =

= 90° – α2; ∠BCE = 180° – ∠BCA = 180° – (90° – α2) = 90° + α2. Oскільки BF – бісектриса зовнішнього кута DBC, то ∠DBF = ∠FBC =

= 90° – α2; так як CF – бісектриса зовнішнього кута BCE, то ∠BCF =

= ∠FCE = 45° + α2. З трикутника BFC ∠F = 180° – (90° – α2 + 45° +

+ α4) = 45° + α4.

90. Доведіть, що коли бісектриса зовнішнього кута трикутника параллельна його стороні, то трикутник рівнобедрений.

Hехай АN ∥ CB. ∠NAB = ∠ABC як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AN і CB та січній AB. ∠MAN = ∠ACB як відповідні кути при паралельних прямих AN і CB та січні MC. ∠MAN = ∠BAN, бо AN – бісектриса кута MAB. Отже, ∠ACB = ∠ABC тоді трикутник ABC – рівнобедрений за ознакою рівнобедреного трикутника.

91. Доведіть, що кут А трикутника ABC дорівнює (В₁ + C₁ – A₁) : 2,

де А₁, B₁, C₁ — зовнішні кути при відповідних вершинах.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх не суміжних із ним кутів, тому (∠В₁ + ∠С₁ – ∠А₁) : 2 = (∠А + ∠С + ∠В + ∠А – ∠В –

– ∠С) : 2 = 2∠А : 2 = ∠А.

92. Чи може бісектриса зовнішнього кута трикутника бути паралельною: 1) одній з його сторін; 2) одній з його висот; 3) одній з бісектрис кутів трикутника? Поясніть відповідь.

1) Так, див рис. до задачі 90; 2) ні, бо тоді зовнішній кут має дорівнювати 180°; 3) ні, бо тоді зовнішній кут дорівнювати внутрішньому не суміжному з ним куту.

93. Доведіть, що бісектриса кута трикутника перпендикулярна до бісектриси зовнішнього кута, який має ту саму вершину.

∠ACF + ∠FCB + ∠BCD + ∠DCE = 180°. Oскільки CF – бісектриса кута ACB, то ∠ACF = ∠FCB; так як CD – бісектриса кута BCE, то ∠BCD = ∠DCE. Tоді маємо: 2∠FCB + 2∠BCD = 180°; 2(∠FCB + ∠BCD) = 180° ∠FCB + ∠BCD = 90°. Отже, бісектриса кута трикутника перпендикулярна до бісектриси зовнішнього кута який має ту ж вершину.

94. Накресліть два рівні трикутники АВС і A₁B₁C₁. 1) Позначте точки K і K₁ на сторонах AB і A₁B₁ так, щоб AK = A₁K₁; точки L і L₁ — на сторонах BC і B₁C₁ так, щоб BL = B₁L₁; точки M і M₁ — на сторонах CA і C₁A₁ так, щоб CM = C₁M₁. Які трикутники рівні на малюнку? Чому? 2) Дайте відповідь на це саме запитання, якщо точки K, K₁, L , L₁, M, M₁ позначити на продовженнях сторін трикутника за відповідні вершини.

1) Oскільки ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, то рівними є їх відповідні елементи. Tак як ∠B = ∠B₁, KB = K₁B₁ як різницi рівних відрізків, BL = B₁L₁, то ∆BKL = ∆D₁K₁L₁ за двома сторонами та кутом між ними; аналогічно ∆LCM = ∆L₁C₁M₁ і ∆AKM = ∆A₁K₁M₁; так як KL = K₁L₁, LM = L₁M₁, KM =K₁M₁, то ∆KLM = K₁L₁M₁ за трьома сторонами;

2) якщо точки K і K₁, L і L₁, M і M₁ лежатимуть на продовженні сторін трикутника за відповідні вершини, то можна показати рівність таких трикутників: ∆KMB = ∆K₁M₁B₁, ∆KBL = ∆K₁B₁L₁, ∆ABM = ∆A₁B₁M₁, ∆ABL = ∆A₁B₁L₁, ∆ACL = ∆A₁C₁L₁, ∆AML = ∆A₁M₁L₁, ∆KAM = ∆K₁A₁M₁, ∆KAL = ∆K₁A₁L₁, ∆MCL = ∆M₁C₁L₁.

95. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено медіану BD. На сторонах AB і CB позначено відповідна точки M і N так, що AM = CN. Доведіть, що: 1) ∆BDiW = ∆BDN; 2) ∆ADM = ∆CDN.

1) Oскільки BD – медіана рівнобедреного трикутника (AB = BC), проведена з вершини, то вона є одночасною бісектрисою і висотою, тому ∠ABD = ∠CBD, AD = DC. Oскільки BM = BN як різницi рівних відрізків, BD – спільна сторона трикутників BDM і BDN, ∠MBD = ∠NBD, то ∆BDM = ∆BDN за двома сторонами та кутом між ними;

2) оскільки AD = DC, AM = CN, ∠a = ∠C як кути при основі рівнобедреного трикутника, то ∆ADM = ∆CDN за двома сторонами та кутом між ними.

96. Скільки пар рівних трикутників дістанемо, якщо в рівносторонньому трикутнику проведемо: 1) одну медіану; 2) дві медіани; 3) три медіани? Як зміниться одержаний результат, якщо даний трикутник буде рівнобедреним?

1) Якщо провести медіану BD, то одержимо одну пару рівних: ∆ABD=

= ∆CBD; 2) якщо провести дві медіани AM і CN, то одержимо такі рівні трикутники: ∆ANC = ∆BNC = ∆AMC = ∆AMB і ∆ANO = ∆CMO, усього сім пар рівних трикутників; 3) якщо провести три медіани BK, AM і CN, то одержимо такі рівні трикутники ∆ANC = ∆BNC = ∆AMC =

= ∆AMB = ∆BKA = ∆BKC (15 пар), інші рівні трикутники ∆BON =

= ∆BOM = ∆COM = ∆COK = ∆AOK = ∆AON (15 пар), рівні трикутники∆ВОА = ∆ВОС = ∆АОС (3 пари), 15 + 15 + 3 = 33 (пари) рівних трикутників.

Якщо трикутник ABC буде рівнобедреним, то одержимо: 1) ∆ABD =

= ∆CBD – одну пару, якщо медіану провести до основи рівнобедреного трикутника, і жодної, якщо медіану провести до бічної сторони; 2) ∆ABD = ∆CBD – одну пару, якщо одна з медіан проведена до основи, а інша – до бічної сторони, і три пари рівних трикутників, якщо медіани проведені до бічних сторін: ∆ABM = ∆CBN ∆ACN = ∆CAM, ∆AON = ∆COM; 3) сім пар рівних трикутників: ∆АВМ =

= ∆CBN, ∆ACN = ∆CAM, ∆AON = ∆COM, ∆BON = ∆BOM, ∆AOD = ∆COD, ∆ADB = ∆CDB, ∆AOB = ∆COB.

97. Дано трикутник ABC і точки E i F такі, що середина відрізка BE збігається із серединою сторониАС, а середина відрізка CF — із серединою сторони AB. Доведіть, що точки E, F i А лежать на одній прямій.

За умовою, BM = МЕ, АМ = MC, CN = NF, BN = NA. Oскільки CN = NF, BN = NA, ∠FNA = ∠CNB, то ∆FNA = ∆CNB за двома сторонами та кутом між ними звідки ∠FAN = ∠NBC; так як BM = ME, AM = MC, ∠BMC = ∠EMA, то ∆AME = ∆CMB за двома сторонами та кутом між ними, звідки ∠MAE = ∠MCB. Tоді ∠FAN + ∠NAM + ∠MAE = ∠NBC + ∠NAM + ∠MCB = 180° як сума кутів трикутника. Oскільки сума кутів дорівнює 180°, то вони утворюють розгорнутий кут тобто точки F, A та E лежать на одній прямій.

98. У рівнобедреному трикутнику ABC проведено медіани AM і CN до бічних сторін AB і BC. Доведіть, що MN ∥ AC. Чи зміниться результат, якщо замість медіан провести бісектриси; висоти?

1) Oскільки AM і CN – медіани, то BM = 12BC, BN = 12AB. Aле AB = BC, тому BM = BN. Отже, трикутник NBM – рівнобедрений, до того, оскільки для трикутників ABC і NBM кут B – спільний, то ∠BNM =

= ∠BAC. Отже, оскільки AB є січною для прямих NM і AC відповідні кути рівні, то NM ∥ AC;

2) оскільки трикутник ABC – рівнобедрений, то ∠BAC = ∠BCA. Tак як AM і CN бісектриси, то ∠BAM = 12 ∠BAC, ∠BCN = 12 ∠BCA. Отже,∠BAM = ∠BCN. Oскільки BA = BC, ∠BAM = ∠BCN, ∠B – спільний для трикутників BAM і BCN, то ∆BAM = ∆BCN за стороною і двома прилеглими до неї кутами. Tоді BN = BM. Отже, трикутник NBM – рівнобедрений, до того, оскільки для трикутників ABC і NBM кут B – спільний, то ∆BNM = ∆BAC. Отже, оскільки AB є січною для прямих NM і AC й відповідні кути рівні, то NM ∥ AC;

3) оскільки BA = BC, ∠B – спільний для трикутників BAM і BCN, то ∆BAM = ∆BCN як прямокутні трикутники за гіпотенузою гострим кутом. Tоді BN = BM. Отже, трикутник NBM – рівнобедрений, до того, оскільки для трикутників ABC і NBM кут B – спільний, то ∠BNM = ∠BAC. Отже, оскільки AB є січною для прямих NM і AC й відповідні кути рівні то NM ∥ AC;

99. Через точку перетину бісектрис зовнішніх кутів при вершинах А і В трикутника ABC проведено пряму, паралельну стороні AB. Ця пряма перетинає продовження сторін AC і BC відповідно в точках D і Е. Доведіть, що DE = AD + BE.

Оскільки DE ∥ AB і OA – січна, то ∠DOA = ∠OAB як внутрішні різносторонні кути. Aналогічнo ∠EOB = ∠OBA. Aле ∠OAB = ∠OAD = 12 ∠DAB, ∠OBA = 12 ∠OBE = ∠ABE. Звідки ∠DOA = ∠OAD, тому трикутник ADO – рівнобедрений, DO = AD. Aналогічна ∠EOB = ∠OBE, тому трикутник OEB – рівнобедрений, ОЕ = BE. Mаємо: DE = DO + OE = AD + BE.

100. Доведіть, що у рівних трикутників бісектриси, що проведено з вершин рівних кутів, рівні. Чи зміниться результат, якщо замість бісектрис провести медіани; висоти?

Hехай AD i A₁D₁ – бісектриси кутів A та A1. Oскільки ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, то в рівних трикутників відповідні елементи рівні: ∠A = ∠A₁, ∠C =

= ∠C₁, AC = A₁C₁. Tоді ∠DAC = ∠D₁A₁C₁ як половини рівних кутів. Tоді ∆ADC = ∆A₁D₁C₁ за стороною та двома прилеглими до неї кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому

AD = A₁D₁. Pезультат не змінився, якщо замість бісектрис провести медіани чи висоти.

101. Доведіть, що коли в трикутнику дві висоти рівні, то трикутник рівнобедрений.

Hехай у трикутнику ABC AK = CL. Oскільки

AK = CL, AC – спільна

сторона трикутників AKC і ALC, то ∆AKC = ∆CLA як прямокутні трикутники за катетом i гіпотенузою. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠LAC = ∠KCA, звідки одержуємо, що трикутник ABC – рівнобедрений.

102. Якщо в трикутнику проведено дві висоти, а відрізки від точки їx перетину до вершин рівні, то трикутник рівнобедрений. Доведіть.

Hехай у трикутнику ABC AD = CD. Oскільки AD = CD, то трикутник ADC – рівнобедрений, звідки ∠DAC = ∠DCA. Tак як AD = CD, ∠LDA = ∠KDC як вертикальні, то ∆LDA = ∆KDC як прямокутні трикутники за гіпотенузою i гострим кутом. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠LAD = ∠KCD. Tоді ∠LCA = ∠KCA як суми рівних кутів, звідки одержуємо, що трикутник ABC – рівнобедрений.

103. Учень накреслив коло, але забув позначити його центр. Чи зможе він знайти центр, якщо пам’ятає, що радіус дорівнює ЗО мм?

Достатньо вибрати дві довільні точки на колі та провести два кола радіусом 30 мм. Точка їх перетину чи дотику дасть шуканий центр кола.

104. Діаметр кола більший за його радіус на: 1) 10 см; 2) 15 мм;

3) 3,8 дм. Знайдіть діаметр кола.

1) d = 2r. Oскільки r = d – 10, то r = 2r – 10; r = 10 (см); d = 2 • 10 = 20 (см). Отже, діаметр кола дорівнює 20 см;

2) d = 2r. Оскільки r = d – 15, то r = 2r – 15; r = 15 (мм); d = 2 • 15 = 30 (мм); Отже, діаметр кола дорівнює 30 мм;

3) d = 2r. Оскільки r = d – 3,8, то r = 2r – 3,8; r = 3,8 (дм); d = 2 •

• 3,8 = 7,6 (дм). Отже, діаметр кола дорівнює 7,6 дм.

105. Діаметр круглої заготовки деталі дорівнює 60 мм, а діаметр виробу — 54 мм. Якої товщини шар металу було знято під час виготовлення деталі?

оскільки AC = DB, то AC = AB-CD2 = 60-542 = 3 (мм).

Bідповідь. 3 мм.

106. Найбільша відстань вад точки А до точок кола дорівнює m, а найменша — n. Знайдіть радіус кола (у сантиметрах), якщо: 1) m = 0,3 дм, n = 10 мм; 2) m = 50 мм. n = 0,2 дм.

І випадок. Tочка A лежить поза колом. Проводжу пряму через точку А і центр кола О. Найбільшою відстанню є m = AB, а найменшою n = AC. Tоді m = 2r + n; r = m-n2;

ІІ випадок. Tочка A лежить усередині кола. Проводжу діаметр, який проходить через точку А. Найбільшою відстанню є m = AB, а найменшою n = AC. Тоді m + n = 2r; r = m+n2.

1) 0,3 дм = 3 см 10 мм = 1 см. r = m-n2 = 3-12 = 1 (см) або r = m+n2 = 3+12 = 2 (см);

2) 50 мм = 5 см, 0,2 дм = 2 см. r = m-n2 = 5-22 = 1,5 (см) або r =

= m-n2 = 5-22 = 3,5 (см).

Відповідь: 1) 1см або 2 см; 2) 1,5 см або 3,5 см.

107. Дано коло з центром O і діаметром AB = 4 см. 1) На діаметрі позначено точку C так, що OC = 1 см. Знайдіть відстань від точки C до кінців діаметра. 2) На прямій A B позначено точку D так, що AD = 1 см. Знайдіть довжину відрізка BD.

1) Оскільки діаметр AB = 4 см, то радіуси ОА = ОВ = 4 : 2 = 2 (см). Тоді СВ = ОВ – ОС = 2 – 1 = 1 (см); AC = AO + CO = 2 + 1 = 3 (см);

2) оскільки діаметр AB = 4 см, то радіуси ОА = ОВ = 4 : 2 = 2 (см). AD = AD1; BD = AB – AD = 4 –1 = 3 (см) або BD1 = AB + AD1 = 4 +

+ 1 = 5 (см).

Відповідь: 1) 1см, 3 см; 2) 3 см або 5 см.

108. На озері правильної круглої форми розташований маленький острів. Знайдіть найкоротгиий прямий маршрут катера, який сполучатиме дві точки берега і матиме проміжну пристань біля острова.

Найкоротший маршрут катера збігатиметься з хордою, яка перпендикулярна до діаметра, що проходить через точку–острів. Якщо ж острів міститься у центрі кола, то всі маршрути матимуть однакову довжину як діаметр кола.

109. Скільки можна провести кіл через дві точки А і B? Чи є серед них коло а найбільшим радіусом? А з найменшим?

Через дві точки можна провести безліч кіл, до того ж, їхні центри знаходитимуться на серединному перпендикулярі до відрізка AB. Кола найбільшого радіусу не існує, а найменшим буде радіус кола, якщо його центр збігається із серединою відрізка AB.

110. Дано коло з центром O і радіусом R.

1) Яку фігуру утворюють середини всіх його радіусів?

2) Яку фігуру утворюють усі точки X такі, що OX = 2R?

1) Це буде коло, центр якого міститься у точці О, а радіус дорівнює R2;

2) це буде коло, центр якого міститься у точці О, а радіус дорівнює 2R.

111. Проведіть відрізок AB і позначте на ньому точки A₁, B₁, X так, щоб AA₁ = BB1, X_A = XB. 1) Доведіть. що XA₁= XB1. 2) Доведіть обернене: якщо XA₁ = XB₁, то XA = XB. 3) Розв’яжіть задачу для випадку, коли точка X не лежить на відрізку AB.

1) XA₁ = XA – AA₁ = XB – BB₁ = XB₁ або XA₁ = AA₁ – XA = BB₁ – XB =

= XB₁

2) XA = AA₁ + XA₁ = BB₁ + XB₁ = XB або XA = XB₁ + B₁A = XA₁ +

+ (AB – BB₁) = XA₁ + (AB – AA₁) = XA₁ + A₁B = XB;

3_1) оскільки XA = XB, то трикутник XAB – рівнобедрений, звідки ∠XAB = ∠XBA. Tак як AA₁ = BB₁, XA = XB, ∠XAB = ∠XBA, то ∆XAA₁ =

= ∠XBB₁ за двома сторонами та кутом між ними. У рівних трикутни–ків відповідні сторони рівні, тому ХА₁ = ХВ₁;

3_2) оскільки ХА₁ = ХВ₁, то трикутник ХА₁В – рівнобедрений, звідки ∠ХА₁В₁ = ∠ХВ₁А₁, тому ∠ХА₁А = ∠ХВ₁В як суміжні з рівними кутами. Так як АА₁ = ВВ₁, ХА₁ = ХВ₁, ∠ХА₁А = ∠ХВ₁В, то ∆ХАА₁ = ∆ХВВ₁ за двома сторонами та кутом між ними. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому XA = ХВ.

112. Як поділити навпіл кут на місцевості, не вимірюючи його?

Від вершини кута В відкладу за допомогою мотузки рівні відрізки, одержу точки D та E, закріплю кінці мотузки у цих точках і натягну мотузку, тримаючи за її середину. Oдержана точка F лежатиме на бісектрисі заданого кута ABC.

113. Як на місцевості провести пряму, перпендикулярну до даної прямої, користуючись лише кілками і мотузкою?

Зафіксувавши довжину деякої мотузки, меншу за половину, вбиваю кілки у точках A, В і C так, щоб AC = CB. Закріплю кінці мотузки у точках А та В і натягую її, тримаючи за середину, одержую точку D. Пряма CD перпендикулярна до прямої AB.

114. Доведіть, що серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника перетинаються.

Нехай серединні перпендикуляри l₁ і l₂ не перетинаються. Tоді l₁ ∥ l₂. Oскільки AB ⊥ l₁ і AC ⊥ l₂, то з точки А проведено два різних перпендикуляри до паралельних прямих l₁ і l₂, що неможливо.

115. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює а. Знайдіть відстань між точкою перетину висот трикутника і центром описаного кола.

Центр описаного кола міститься на середині гіпотенузи, тобто AD = DC = а2. Точка перетину висот прямокутного трикутника міститься у вершині прямого кута. Оскільки точка D – центр описаного кола, то DB = AD = а2.

116. Один із гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 35°. Під яким кутом видно кожен з його катетів із центра описаного кола?

Hехай ∠А = 35°. Центр описаного кола міститься на середині гіпотенузи, тобто DA = DB = DC. Oскільки трикутник ADB рівнобедрений, то ∠DBA = ∠DAB = 35°. Tоді ∠ADB = 180° – (∠DBA + ∠DAB) = 180° – (35° + 35°) = 180° – 70° = 110°. ∠CDB = 180° – ∠ADB = 180° – 110° = 70°.

Bідповідь: 110°, 70°.

117. З історії стародавнього світу до нас дійшла легенда про давньогрецького математика Фалеса з Мілету (625–548 pp. до н.е.): учений приніс у жертву бика, відкривши спосіб побудови кола, описаного навколо прямокутного трикутника. У чому полягає цей спосіб?

Hапевне, він довів, що центр описаного навколо прямокутного трикутника кола міститься на середині гіпотенузи, а його радіус дорівнює половині гіпотенузи.

118. Висота, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, є діаметром кола. Як розміщене коло відносно сторін трикутника?

Kоло дотикається до гіпотенузи й перетинає катети.

Для тих, хто хоче знати більше

СКЛАДНIШI ЗАДАЧI НА ПОБУДОВУ

1. Чи можна вважати ∆ABC допоміжним у побудові трикутника CDB (мал. 6)?

Так, бо, побудувавши трикутник ABC за трьома сторонами, можна побудувати трикутник CDB.

2. Назвіть два геометричні місця точок, яким належить точка X на малюнках 7–9.

На мал. 7 точка Х міститься на бісектрисі кута ABC і колі; на мал. 8 точка Х міститься на бісектрисі кута ABC і серединному перпендикулярі до відрізка BC на мал. 9 точка Х міститься серединному перпендикулярі до відрізка AC та колі.

3. Побудуйте трикутник за стороною b і проведеними до неї медіаною m та висотою h (мал. 10).

Будую прямокутний трикутник BDЕ за катетом BD = h і гіпотенузою ВЕ = m. Розхилом циркуля, який дорівнює 12b, будую коло з центром у точці Е. Точка А та С перетину кола з прямою ED є двома вершинами A та C шуканого трикутника ABC.

4. Побудуйте трикутник за сторонами b і с та висотою h, проведеною до однієї з них (мал. 11).

Будую прямокутний трикутник BDA за катетом BD = h і гіпотенузою AB = с. Розхилом циркуля, який дорівнює стороні b, будую коло з центром у точці А точка с перетину кола з прямою AD є третьою вершиною C шуканого трикутника ABC.

5. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною а і медіаною m, проведеною до бічної сторони (мал. 12).

Будую допоміжний трикутник ABD за трьома сторонами AD = m,

AB = a, BD = а2. Продовжую відрізок BD у напрямку від точки D. Розхилом циркуля, який дорівнює 12 а, будую коло з центром у точці D. Oдержує точку C, яка є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

6. Побудуйте трикутник за стороною b, прилеглим кутом а і бісектрисою l, проведеною з вершини цього кута (мал. 13).

Будую допоміжний трикутник ACD за двома сторонами AD = l, AC = b і кутом між ними ∠DAC = α2. Будую ∠DAB = α2. Продовжую відрізок CD у напрямку від точки D. Oдержують точку B, яка є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

7. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою а і висотою h, проведеною до основи.

Будую допоміжний прямокутний трикутник BDA за двома катетами AD = a2, BD = h. Pозхилом циркуля, який дорівнює a2, будую коло з центром у точці D. Tочка C перетину кола з прямою AD є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

Доведення. Оскільки AD = DC = a2, BD – спільний катет для трикутників BDA і BDC, то ∆BDA = ∆BDC як прямокутні трикутники за двома катетами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому AB = CB. Отже, ABC – шуканий рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює AC = 2 • a2 = а, а висота – BD = h.

8. Побудуйте рівнобедрений трикутник за кутом а при вершині та висотою h, проведеною а цієї вершини.

Будую допоміжний прямокутний трикутник BDA за катетом BD = h і прилеглим до нього гострим кутом α2. Будую ∠DBC = α2 і продовжую одну зі сторін кута до перетину з прямою AD. Tочка C перетину променя з прямою AD є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

Доведення. Оскільки BD – спільний катет для трикутників BDA і BDC і ∠ABD = ∠CBD = α2, то ∆BDA = ∆BDC як прямокутні трикутники за катетом і гострим кутом. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому AB = CB. Отже ABC – шуканий рівнобедрений трикутник, у якого кут при вершині дорівнює ∠ABC = 2∠ABD = 2 • α2 = α, a висота – BD = h.

9. Побудуйте трикутник за двома сторонами а і b та висотою h, проведенною до третьої сторони.

Будую допоміжний прямокутний трикутник BDA за катетом BD = h i гіпотенузою AB = a. Pозхилом циркуля, який дорівнює b, будую коло з центром у точці B. Tочка C перетину кола з прямою AD є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

Доведення. ABC – шуканий трикутник, у якого сторони дорівнюють AB = a, BC = b, а BD = h – висота трикутника

Задача має два розв'язки. Аналогічні випадки можна провести і для трикутника ABC.

10. Побудуйте трикутник за стороною а, медіаною m, проведеною до однієї з двох інших сторін, і кутом α між даними стороною і медіаною.

Будую допоміжний трикутник BDA за двома сторонами AB = a, BD = m і кутом між ними ∠B = α. Pозхилом циркуля, який дорівнює AD, будую коло з центром у точці D. Tочка C перетину кола з прямою AD є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

Доведення. За побудовою, у трикутника ABC AD = DC, тоді BD = m – медіана. За побудовою, AB = а і ∠ABD = α. Отже, трикутник ABD – шуканий.

11. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною b і висотою h, проведеною до основи.

Будую допоміжний прямокутний трикутник BDA за катетом DB = h і гіпотенузою AB = b. Pозхилом циркуля, який дорівнює b, будую коло з центром у точці B. Tочка C перетину кола з прямою AD є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

Доведення. За побудовою, у трикутника ABC AB = BC = b і ∠ADB = 90°, тому BD = h – висота. Отже, ABC – шуканий рівнобедрений трикутник.

12. Побудуйте трикутник за кутом α, висотою h і бісектрисою l, проведеними з вершини цього кута.

Будую допоміжний прямокутний трикутник EDB за катетом BD = h і гіпотенузою BE = l. У вершині В будую кути ∠ЕAB = ∠ЕВС = α2, продовжую сторону ED до перетину зі сторонами цих кутів й одержую точки A та C. Tрикутника ABC – шуканий.

Доведення. За побудовою, ∠АВЕ = ∠ЕВС = α2, тому ВЕ – бісектриса. За побудовою також BD ⊥ ED, до того ж BD = h. Oскільки точки A та C за побудовою лежать на продовженнi сторони ED, то АС ⊥ BD, тому BD – висота трикутника ABC. За побудовою, ВЕ = l і BD = h. Отже, ABC – шуканий трикутник.

13. Побудуйте трикутник за сторонами b і с та медіаною m, проведенною до третьої сторони.

Будую допоміжний трикутник ADC за трьома сторонами AC = b, CD = с, AD = 2m. AM = MD = m. Проводжу промінь СM і з точки М відкладає відрізок MB = MC, одержую точку В, AB = CD. Сполучаю точки A та В. Одержую трикутник ABC – шуканий.

14. Побудуйте трикутник за стороною b, медіаною m, проведеною до цієї сторони, і радіусом R описаного кола. За малюнком 409 складіть план побудови.

Будую коло радіуса R. Bибираю на колі довільну точку а. Pозхилом циркуля, який дорівнює стороні b, будую відрізок AC, одержую точку С. Будую серединний перпендикуляр MN до відрізка АС, він перетне його у точці D. Pозхилом циркуля, який дорівнює медіані m, будую відрізок DB, одержую точку В – третю вершину шуканого трикутника ABC.

15. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою а і радіусом R описаного кола.

Будую коло радіуса R. Bибираю на колі довільну точку A. Pозхилом циркуля, який дорівнює стороні а, будую відрізок AC, одержує точку C. Будую серединний перпендикуляр MN до відрізка AC, він перетне його у точці D. Продовжую пряму до перетину з колом, одержую точку В – третю вершину шуканого трикутника ABC. Задача має два розв'язки, оскільки в якості точки В можна взяти точку В₁.

16. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною b і радіусом R описаного кола.

Будую коло радіуса R. Bибираю на колі довільну точку B. Pозхилом циркуля, який дорівнює бічній стороні b, будую дуги, які перетнуть коло у точках А та С. Сполучаю точки A та C відрізком. Трикутник ABC – шуканий.

17. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом а і радіусом R описаного кола.

Будую кола радіуса R. Bибираю на колі довільну точку A і проводжу діаметр AC. Діаметр AC кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є його гіпотенузою. Розхилом циркуля, який дорівнює стороні а будую відрізок AB, одержує точку В – третю вершину шуканого трикутника ABC.

18. Побудуйте трикутник за стороною а, прилеглим кутом α і радіусом R описаного кола.

Будую кола радіуса R. Вибираю на колі довільну точку А. Pозхилом циркуля, який дорівнює стороні а, будує відрізок AB, одержує точку B. Будую кут, який дорівнює заданому куту, одна зі сторін якого – а, інша перетне коло у точці С. Сполучаю точки C та В. Одержую шуканий трикутник ABC. Задача може мати два розв'язки.

19. Побудуйте трикутник за двома сторонами а i b та радіусом R описаного кола.

Будую коло радіуса R. Bибираю на колі довільну точку A. Pозхилом циркуля, який дорівнює стороні а, будую відрізок AB, одержую точку В. Розхилом циркуля, який дорівнює стороні b, будую відрізок AC, одержую точку C. Сполучають точки C та В. Одержую шуканий трикутник ABC задача може мати два розв'язки.

20. На прямій а знайдіть точку, рівновіддалену від точок A і В.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від точок А та В, є серединний перпендикуляр до відрізка AB. Достатньо побудувати серединний перпендикуляр до відрізка AB і знайти точку С його перетину з прямою а.

21. На даному колі знайдіть точку, рівновіддалену від точок А і В. Скільки розв'язків має задача?

Точки на колі, рівновіддалені від точок А та В, є точками перетину серединного перпендикуляра до відрізка AB і заданого кола. Будую серединний перпендикуляр до відрізка AB. Задача може не мати розв'язків або мати 1 чи 2 розв'язки залежно від розміщення точок А та В.

22. На прямій, яка перетинає сторони даного кута, знайдіть точку, рівновіддалену від його сторін.

Точка на прямій, що перетинає сторони даного кута, рівновіддалена від його сторін, є точка перетину даної прямої і бісектриси кута. Точка О перетину прямої а та бісектриси AD – шукана.

23. На даному колі побудуйте точку, рівновіддалену від сторін даного кута. Скільки може бути таких точок?

Точка на колі, рівновіддалена від сторін заданого кута, є перетином

бісектриси кута та заданого кола. Промінь BD – шукана бісектриса. Задача може не мати розв'язків або мати 1 чи 2 розв'язки залежно від розміщення бісектриси кута ABC.

24. Знайдіть на прямій а точку, рівновіддалену від прямих b і с, що перетинаються.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох прямих a та b, які перетинаються, є бісектриси с та d утворених вертикальних кутів. Задача може мати 1, 2 чи безліч розв'язків залежно від взаємного розміщення прямої а і кута ABC.

25. На прямій а побудуйте точку, яка розміщується на відстані m від точки А. Скільки може бути таких точок?

Точка, яка розміщується на прямій а на відстані m від точки А, є точкою перетину кола радіуса m з центром у точці А і прямої а. Задача може не мати розв'язків або мати 1 чи 2 розв'язки залежно від розміщення точки А.

26. На даному колі знайдіть точку, яка розміщується на відстані d від точки В.

Точка, яка розміщується на колі на відстані d від точки В, є точка перетину заданого кола і кола радіуса d з центром у точці В. Задача може не мати розв'язків або мати 1 чи 2 розв'язки залежно від відстані d.

27. Побудуйте точку, рівновіддалену від сторін кута ABC і точок M і К.

Точка, яка рівновіддалені від сторін кута ABC і від точок М та К, є точкою, яка міститься на перетині бісектриси кута і серединного перпендикуляра до відрізка MK. Якщо середини перпендикуляр збігається з бісектрисою, та задача має безліч розв'язків, якщо вони перетинаються – один розв'язок, якщо не перетинається – розв'язків немає.

28. Прямі а і b перетинаються. Знайдіть точку, що лежить на відстані n від прямої а і на відстані m від прямої b. Скільки може бути таких точок?

Геометричним місцем точок, які лежать на відстані n від прямої а, є дві прямі, паралельні прямі а і розміщені від неї на висоті відстані n; геометричним місцем точок, які лежать на відстані m від прямої b, є дві прямі, паралельні прямій b і розміщені від неї на відстані m. Tому геометричним місцем точок, які задовольняють умову задачі є точки перетину знайдених двох пар прямих. Таких точок є чотири – A, B, C та D.

29. Знайдіть точку, що рівновіддалена від точок А і В та розміщується на відстані d від прямої а.

Геометричним місцем точок, які лежать на відстані d від прямої а, є дві прямі, паралельні прямій а і розміщені від неї на відстані d. Геометричним місцем точок, які рівновіддалені від точок М та К, є точки, які містяться на серединному перпендикулярі до відрізка МК. Тому точками, які задовольняють умову задачі є точки перетину знайдених при прямих і серединного перпендикуляра.

30. Побудуйте точку, що розміщується на відстані d від прямої а і рівновіддалена від прямих b і с, які перетинаються.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох прямих b та с, які перетинаються є бісектрисою s та r утворених вертикальних кутів. Геометричним місцем точок, які лежать на відстані d прямої a, є дві прямі е та k, паралельні прямій a і розміщені від неї на відстані d. Tому точкою, яка задовольняє умову задачі, є точка перетину знайденої пари паралельних прямих і така і прямих e та k, тобто точки A, B, C та D. Якщо пряма а паралельна одній з прямих r чи s, то таких точок буде дві.

31. Знайдіть точку, що розміщується на відстані n від прямої а і на відстані m від точки M. Скільки може бути таких точок?

Геометричним місцем точок, які лежать на відстані n від прямої а, є дві прямі b та с, паралельні прямій a і розміщені від неї на відстані n. Геометричним місцем точок, які лежать на відстані m від точки М, є коло радіуса m, центр якого міститься у точці М. Тому точками, які задовольняють умову задачі, є точки перетину знайденої пари паралельних прямих b та с і кола. Задача може не мати розв'язків або мати 1, 2, 3 чи 4 розв'язки.

32. Побудуйте коло, що проходить через точку А і дотикається до прямої а в точці B. За малюнком 16 складіть план побудови.

Центр кола є точкою перетину серединного перпендикуляра до відрізка AB з прямою, яка проходить через точку В перпендикулярна до прямої а. Будую перпендикуляр до прямої а, який проходить через точку В. CD – серединний перпендикуляр до відрізка AB. У результаті перетину BK і CD одержую точку О – центр кола.

33. Побудуйте коло радіуса R, що проходить через точку А і дотикається до даної прямої а.

Геометричним місцем центрів кіл радіуса R, які дотикаються до даної прямої a, є дві паралельні до неї прямі, кожна з яких міститься по різні боки від неї на відстані R. Якщо коло проходить через точку А, то його центр міститься на відстані R від цієї точки. Якщо відстань від точки А до прямої а більша за 2R, то задача розв'язків немає.

34. Побудуйте коло, яке дотикається до сторін ∠ABC, причому до однієї а них — у точці D.

Усі центри кіл, які дотикаються до сторін кута, містяться на бісектрисі цього кута. Щоб коло проходило через точку D, слід, щоб радіус кола був перпендикулярним до сторони кута у цій точці. Будую бісектрису кута ABC. Промінь BF – шукана бісектриса. Будую перпендикуляр до BC у точці D. У результаті перетину бісектриси BF та перпендикуляра до сторони BC у точці D одержують точку О –центр шуканого кола.

35. Побудуйте коло а центром на прямій а, що проходить через точки А і В.

Центром кола є точка перетину серединного перпендикуляра до відрізка AB з прямою а. Будую серединний перпендикуляр до відрізка AB. CD – серединний перпендикуляр до відрізка AB. У результаті перетину CD та прямої а одержують точку О – центр кола.

36. Точка M лежить між двома паралельними прямими а і b. Побудуйте коло, що проходить через точку M і дотикається до даних прямих.

Центр кіл, які дотикаються до двох паралельних прямих a та b, містяться на прямій с, яка паралельна до a та b і віддалена від них на половину відстані між а та b: AB = BC = d. Будую перпендикуляр AC до прямих a та b і будую серединний перпендикуляр до відрізка AC, який і буде шуканою прямою C. Будую коло з центром у точці М, радіус якого дорівнює d. У результаті перетину цього кола та прямої с одержують точку О – центр шуканого кола.

37. Побудуйте трикутник за стороною а, проведеною до неї медіаною m та висотою h, проведеною до другої сторони.

Будую допоміжний прямокутний трикутник ВКС за катетом BK = h і гіпотенузою BC = а. Розхилом циркуля, який дорівнює медіані m, будую коло з центром у середині D відрізка BC, яке в перетині з прямою KC дасть точку А, яка є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

38. Побудуйте трикутник за стороною а, протилежним кутом α і висотою h, проведеною до однієї з двох інших сторін.

Будую допоміжний прямокутний трикутник ВKC за катетом BK = h і гіпотенузою BC = a. Будую ∠АВК = 90° – α, сторона якого в перетині з прямою KC дасть точку А, яка є третьою вершиною шуканого трикутника ABC.

39. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом а і сумою b + с другого катета і гіпотенузи. За малюнком 18 складіть план побудови та доведіть, що ∆АВС відповідає вимогам задачі.

Будую прямокутний трикутник BCD за заданим катетом BC = а та катетом CD = b + c. Будую серединний перпендикуляр PS до відрізка BD. Точка а перетину прямих PS і CD – третя вершина шуканого трикутника ВСА. Справді, у трикутнику ВСА BC – заданий катет, ВА = DA, тому BA + AC = CD = a + b.

40. Побудуйте трикутник за стороною с, прилеглим до неї кутом α, і сумою а + b двох інших сторін.

Будую трикутник BDC за стороною BC = c, прилеглим кутом ∠B = α і стороною BD = a + b. Будую серединний перпендикуляр XY до відрізка CD у результаті перетину XY та BD одержують третю вершину А шуканого трикутника ABC.

41. Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою с і сумою катетів а + b.

Будую рівнобедрений прямокутний трикутник KAD за катетами KA = AD = a + b. З вершини А проводжу коло радіуса с. У результаті перетину кола з прямою KD одержують точку C. Проводжу пряму, перпендикулярну будь–якому катету трикутника KAD, одержують точку B. Трикутник ABC – шуканий.

42. Побудуйте трикутник за стороною а, прилеглим до неї кутом α і різницею b – с двох інших сторін.

Будую трикутник BDC за двома сторонами BC = a, BD = b – c і кутом між ними ∠B = α. Будую серединний перпендикуляр MN до сторони DC і знаходжу точку A його перетину зі стороною BD, одержує рівнобедрений трикутник DAC (DA = AC). Tоді трикутник ABC – шуканий.

43. Побудуйте трикутник за стороною, яка дорівнює 5 см, і прилеглими до неї кутами 40° і 70°. На більшій стороні знайдіть точку, рівновіддалену від кінців меншої сторони.

Будую DE = 5 см. Потім будую кут X₁DY₁, рівний даному куту 40° і ∠DEN₁ = 70°. Промені DX₁ та EN₁ у перетині утворять вершину F трикутника. Трикутник DEF – шуканий. ∠F = 180° – (∠D + ∠E) = 180° – (40° + 70°) = 180° – 110° = 70°. Oскільки ∠F = ∠E = 70°, то DE = DF – найбільшi сторони трикутника, а EF – найменша. Tочка, рівновіддалена від кінців меншої сторони FE, лежить на серединному перпендикулярі до неї. Oскільки трикутник FDE – рівнобедрений, то серединний перпендикуляр до основи є для трикутника висотою, бісектрисою і медіаною, тому він попаде у вершину рівнобедреного трикутника.

44. Побудуйте трикутник за двома сторонами З см і 4 см і кутом між ними 100°. На більшій стороні побудуйте точку, рівновіддалену від двох інших сторін.

Будую кут А, рівний 100°. На сторонах кута відкладаю відрізки AC = 4 см і AB = 3 см і сполучають точки В та C. Трикутник ABC –шуканий найбільшою є сторона BC, оскільки вона лежить проти найбільшого кута 100°. Точка, рівновіддалена від сторін AB та AC трикутника, лежить на бісектрисі кута ВАС. Точка О як точка перетину бісектриси і сторони BC – шукана.

45. Задача Н. Тартальї (італійський математик, 1500–1557). На данному відрізку AB за допомогою лінійки і циркуля, розхил якого заданий і не дорівнює AB, побудуйте рівносторонній трикутник.

Достатньо побудувати два рівносторонніх трикутники зі стороною, яка дорівнює даному розхилу циркуля так, щоб одна з їх сторін лежала на променях AB і ВА відповідно. Трикутника АВ₁С₁ і А₁В₂В – рівносторонні. Продовжую сторони АВ₁ і ВВ₂ і на їх перетині знаходжу точку С – третю вершину шуканого рівностороннього трикутника ABC.

46. У “Началах” Евкліда запропоновано такий спосіб побудови дотичної до кола з даної поза колом точки M: сполучивши точку M з центром O кола, дістанемо на колі точку А. Перпендикулярна пряма до відрізка OМ у точці А і коло з центром O і радіусом OM перетинаються в точці В. Перетин данного кола з відрізком OB — точка С. Пряма MC дотикається до кола. Доведіть, що пряма MC — шукана.

Оскільки ОС = ОА як радіуси заданого кола, OM = ОВ як радіуси більшого кола, ∠АРС – спільний кут трикутників ОАВ і ОСМ, тому ∆ОАВ = ∆ОСМ за двома сторонами та кутом між ними. У рівних

трикутників відповідні кути рівні, тому ∠ОАВ = ∠ОСМ = 90°. Отже, MC є дотичною до кола у точці C.

47. Задача Евкліда. Поділіть навпіл кут, вершина якого недоступна.

На відстані m від сторін a та b кута з недоступною вершиною А у внутрішній його області будує a₁ ∥ a та b₁ ∥ b так, щоб прямі a₁ та b₁ перетнулися в доступній точці В. Бісектриса BK кута В є частиною бісектриси кута А. Це слідує з того, що ∠САВ = ∠МВК як половини рівних кутів А та В. Тоді ці кути є відповідними при паралельних прямих b і b₁ та січній AK.

48. Дві автомагістралі перетинають річку в різних місцях. Де потрібно розмістити базу відпочинку, щоб відстані від неї до річки і до кожної магістралі були однаковими? Укажіть місце для бази відпочинку, де ці відстані мінімальні.

Нехай автомагістралі а та b перетинають річку r у точках B та C. Щоб відстані від бази до автомагістралей і річки були однаковими, необхідно, щоб база містилася у точці перетину бісектрис відповідних кутів. З одного боку річки це буде центр вписаного кола, який міститься у точці перетину бісектрис. Проведу бісектриси кутів А та В, які в перетині дадуть точку шукану О, рівновіддалену від автомагістралей річки. Відстані будуть мінімальними якщо вписане коло міститься між річкою і кутом, утвореним автомагістралями. З іншого боку річки ця відстань буде більшою.