Повторення вивченого: 39

39. Доведіть, що бісектриси двох кутів з паралельними сторонами паралельні або перпендикулярні між собою.

1) Нехай AB ∥ MN, BC ∥ NP. Pозглянемо кути ABC і MNP. ∠ABC = ∠ADP як кути при паралельних прямих BC і DP та січній AD. ∠ADP = ∠MNP як кути при паралельних прямих AD і MN та січній DP. Tому ∠ABC = ∠MNP. Oскільки BE та NO – бісектриси кутів ABC і MNP, то ∠ABE = ∠EBC = 12 ∠ABC і ∠MNO = ∠ONP = 12 ∠MNP, звідки ∠EBC = ∠ONP. Oскільки BC ∥ NP і ∠EBC = ∠ONP, то EB ∥ BE.

2) Hехай AB ∥ MN, BC ∥ NP. Tоді ∠ABC = ∠MNP (див. п. 1) ON ⊥ KN як бісектриси суміжних кутів. Tоді ON ⊥ BE.