Вправи: 543

543. Коник–стрибунець може переміщуватися вздовж даної прямої на 4 см або 6 см (у будь–який бік). Чи зможе він за кілька стрибків опинитися в точці, що знаходиться від початкової на відстані: 1) 2024 см; 2) 2025 см?

Оскільки коник–стрибунець стрибає по заданій прямій тільки на

4 см або 6 см, то за будь–яку кількість кроків він може опинитися від початкової точки на х см, де х — парне число.

1) Виконавши 506 стрибків на 4 см в одну зі сторін, коник–стрибунець потрапить в точку, що знаходиться на відстані 2024 см від початкової (бо 506 ∙ 4 = 2024).

2) Коник–стрибунець не може опинитися на відстані 2025 см від початкової (див. вище), бо 2025 — непарне число.

Відповідь. 1) Так; 2) ні.

Домашня самостійна робота №4 (§17 – §20)

1. Три кути трикутника можуть дорівнювати...

А) 20° + 20° + 150° = 190°;В) 50° + 60° + 70° = 180°;

Б) 30° + 100° + 40° = 170°;Г) 60° + 60° + 61° = 181°.

Відповідь. В) 50°; 60°; 70°.

2. У ΔABC AB > АС. Порівняйте ∠B і ∠C цього трикутника.

Оскільки AB > АС , то ∠C > ∠B.

Відповідь. A) ∠B < ∠C.

3. Знайдіть другий гострий кут прямокутного трикутника, якщо перший дорівнює 40°.

90° – 40° = 50°.

Відповідь. В) 50°.

4. Один з кутів трикутника дорівнює 72°. Знайдіть суму двох

інших кутів трикутника.

∠A + ∠B = 180° – 72° = 108°.

Відповідь. Б) 108°.

5. Зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника

дорівнює 140°. Знайдіть кут при основі цього трикутника.

∠В = ∠С = 140°2 = 70°.Відповідь: Г) 70°.

6. Дві сторони трикутника дорівнюють 2,7 см і 4,2 см. Якому цілому числу сантиметрів НЕ може дорівнювати третя сторона трикутника?

Нехай третя сторона дорівнює х см.

Тоді |2,7 – 4,2∣ < x < 2,7 + 4,2;

1,5 < x < 6,9 .

Відповідь. Г) 8 см.

7. Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 30° менший від другого, а гіпотенуза трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть менший з його катетів.

1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 30°.2) Маємо x + x + 30° = 90°; 2x = 60°; х = 30°; ∠А = 30°; ∠B = 60°.3) ∠A < ∠B, тому BC < АС.4) AB = 8 см. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо CB = 82 = 4 (см).

Відповідь. Б) 4 см.

8. У трикутнику два кути дорівнюють 60° і 50°. Знайдіть кут між прямими, що містять бісектриси цих кутів.

1) Нехай у ∆АВС: ∠САВ = 60°; ∠СВА = 50°; AL і ВМ – бісектриси трикутника.2) ∠LАВ = ∠САВ 2 = 60°2 = 30°;∠МВА = ∠САВ 2 = 50°2 = 25°;

3) В ∆АОВ: ∠АОВ = 180° – (30° + 25°) = 125°.

4) ∠МОА = 180° – 125° = 55°.

Відповідь: Г) 55°.

9. Периметр трикутника дорівнює 16 см. Якою НЕ може бути довжина однієї з його сторін?

Нехай а; b; с — сторони трикутника. Оскільки a + b > с, то сума двох сторін має бути більшою за половину периметра, а відповідно третя сторона — менша за половину периметра.

Р 2 = 162 = 8 (см).

Отже, кожна зі сторін трикутника може бути меншою за 8 см.

Відповідь. А) 8 см.

10. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює основі цього трикутника. Знайдіть кут при основі цього трикутника.

1) Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AC = AB; CK – бісектриса. За умовою CK = CB.2) Позначимо ∠ACK = ∠KCB = х, тоді ∠ABC = 2х.3) Оскільки CKB — рівнобедрений з основою KB, то ∠CKB = ∠B = 2х.4) У ∆BCK маємо: х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°.

5) ∠B = 2 ∙ 36° = 72°.

Відповідь. Б) 72°.

11. Зовнішні кути трикутника відносяться як 3 : 5 : 7. Знайдіть

менший з внутрішніх кутів трикутника.

1) Оскільки сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при

кожній вершині, дорівнює 360°, то позначивши зовнішні кути Зх; 5х і 7х, маємо Зх + 5х + 7х = 360°; 15х = 360°; х = 24°.

2) Оскільки меншому із внутрішніх кутів трикутника відповідає більший зовнішній кут, то менший внутрішній кут трикутника дорівнює

180° – 7 ∙ 24° = 12°.

Відповідь. А) 12°.

12. У прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює 60°, а сума меншого катета і медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 10 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

1) Нехай у ∆ABC: ∠C = 90°; ∠B = 60°; CM — медіана.2) ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°, тому BC = х см – менший катет.3) За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BС = АВ2, тому AB = 2х (см).

4) За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, маємо

СМ = АВ2 = 2х2 = х (см).

5) За умовою CM + BC = 10; х + х = 10; 2х = 10; х = 5 (см).

6) Тоді AB = 2 ∙ 5 = 10 (см).

Відповідь. В) 10 см.

13. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 40°. Установіть відповідність між кутами (1–3) та їхніми градусними мірами (А–Г).

1. Кут, що утворює висота трикутника, проведена до гіпотенузи, із більшим катетом. – Б. 50°.

2. Менший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута з гіпотенузою. – Г. 85°.

3. Кут між прямими, що містять бісектриси прямого і меншого гострого кута трикутника. – В. 65°.

1 – Б; 2 – Г; 3 – В.

Завдання для перевірки знань №4 (§17 – §20)

1. Знайдіть третій кут трикутника, якщо два з його кутів дорівнюють 30° і 80°.

180° – (30° + 80°) = 70°.

2. Накресліть ΔPLK та його зовнішній кут при вершині Р.

∠KPM – зовнішній кут при вершині Р.

3. За якими елементами рівні між собою прямокутні трикутники,

зображені на малюнку? Запишіть відповідні рівності.

∆ABC = ∆DEF (за катетом та прилеглим гострим кутом).

4. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 71°.

Знайдіть кут при вершині цього трикутника.

∠A = ∠B = 71°; ∠C = 180° – 2 ∙ 71° = 38°.

5. На малюнку BP — висота трикутника ABC, ∠ABP = 32°, ∠PBC = 67°. Знайдіть кути трикутника ABC.

1) ∠ABC = 32° + 67° = 99°.

2) В прямокутному ∆ABP : ∠A = 90° – 32° = 58°.

3) В прямокутному ∆PBC : ∠C = 90° – 67° = 23°.

Відповідь. 99°; 58°; 23°.

6. Дві сторони трикутника дорівнюють 5,2 см і 6,3 см. Якому

найбільшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя сторона?

Нехай третя сторона дорівнює х см. Тоді ∣6,3–5,2∣ < х < 6,3 + 5,2;

1,1 < х < 11,5. х = 11 (см) — найбільше ціле число, якому може дорівнювати третя сторона.

Відповідь. 11 см.

7. Один з кутів трикутника вдвічі менший за другий і на 16° більший за третій. Знайдіть кути трикутника.

1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2х; ∠C = х – 16°.2) Маємо х + 2х + х – 16° = 180°; 4х = 196°; х = 196° : 4; х = 49°.3) Отже, ∠A = 49°; ∠B = 2 ∙ 49° = 98°;

∠C = 49 ° – 16° = 33°.

Відповідь. 49°; 98°; 33°.

8. Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 112°. Знайдіть

внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо вони відносяться як 3 : 5.

1) Нехай ∠KCB = 112° — зовнішній кут трикутника.2) Оскільки ∠B : ∠A = 3 : 5, то можна позначити ∠B = Зх; ∠A = 5х.3) Маємо за властивістю зовнішнього кута трикутника: Зх + 5х = 112°; 8х = 112°; х = 14°.

4) Отже, ∠B = 3 ∙ 14° = 42°; ∠C = 5 ∙ 14° = 70°.

Відповідь. 42°; 70°.

9. У прямокутному трикутнику BCD ∠C = 90°, BM — бісектриса

трикутника, ∠CBD = 60°. Знайдіть довжину катета CD, якщо CM = 8 см.

1) ∠CBM = ∠MBD = 60°2 = 30°.2) У ∆CBM за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BM = 2 ∙ CM = 2 ∙ 8 = 16 (см).

3) В ∆CBB: ∠B = 90° – 60° = 30°.

4) Трикутник BMD — рівнобедрений, оскільки ∠MBD = ∠D = 30°,

тому MD = MB = 16 (см).

5) CD = CM + MD = 8 + 16 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

10. Зовнішні кути трикутника відносяться як 4 : 5 : 6. Знайдіть

відношення внутрішніх кутів трикутника.

1) Нехай ∠KAB, ∠ABM, ∠NCA – зовнішні кути трикутника. ∠KAB : ∠ABM : ∠NCA = 4 : 5 : 6. Позначимо ∠KAB = 4х; ∠ABM = 5х; ∠NCA = 6х.2) Маємо 4х + 5х + 6х = 360°; 15х = 360°; х = 360° : 15; х = 24°.

3) Тоді ∠CAB = 180° – 4 ∙ 24° = 84°; ∠ABC = 180° – 5 ∙ 24° = 60°;

∠BCA = 180° – 6 ∙ 24° = 36°

4) ∠CAB : ∠ABC : ∠BCA = 84° : 60° : 36° = 7 : 5 : 3.

11. Чи існує трикутник з периметром 23 см, одна сторона якого на 3 см більша за другу і на 5 см менша від третьої?

1) Нехай AB = X см, тоді AC = (х – 3) см, BC = (х+ 5) см.2) Тоді х + х – 3 + х + 5 = 23; Зх = 23 – 5 + 3; Зх = 21; х = 7 (см).3) Отже, AB = 7 см, тоді AC = 7 – 3 = 4 (см), BC = 7 + 5 = 12 (см).

4) Оскільки 7 + 4 < 12, то трикутника не існує.

Відповідь. Не існує.

Вправи для повторення розділу З