Вправи: 515

515. Доведіть, що два рівнобедреник трикутники рівні, якщо

відповідно рівні їх бічні сторони і висоти, проведені до основ.

1) Нехай ABC і A1B1C1 — рівнобедрені трикутники із основами AC і A1C1; BK і B1K1 — висоти.2) AB = A1B1; BK = B1K1 (за умовою), тому ∆ABK = ∆A1B1K1 (за катетом і гіпотенузою). Тому AK = A1K1.

3) Оскільки BK — висота рівнобедреного трикутника, що проведена до основи, то BK є також медіаною. Тому AC = 2 ∙ AK. Аналогічно A₁C₁ = 2 ∙ A₁K₁. Оскільки AK = A₁K₁, то AC = A₁C₁.

4) AB = BC; A₁B₁ = B₁C₁ і AB =A₁B₁, тому BC = B₁C₁.

5) ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (за трьома сторонами), що й треба було довести.