Вправи: 797

797. Розв’яжіть задачу та прочитайте прізвище першого

президента незалежної України.

Промінь BK проходить між сторонами кута ABC.Знайдіть ∠ABK і ∠KBC, якщо ∠ABC = 120°.
Умова	∠ABK	∠KBC
∠ABK на 20° менший від ∠KBC	А	В
∠ABK утричі більший за ∠KBC	У	К
∠ABK : ∠KBC = 3 : 5	Р	Ч

1) ∠ABK = х; ∠KBC = х + 20°. х + х + 20° = = 120°; 2х = 100°; х = 50°. ∠ABK= 50°; ∠KBC = 70°. 2) ∠KBC = х; ∠ABK = 3x. x + 3x = 120°; 4х = 120°; х = 30°. ∠KBC == 30°; ∠ABK= 3 ∙ 30° = 90°. 3) ∠ABK = 3x; ∠KBC = 5х. Зх + 5х = 120°; 8х = 120°; х= 15°. ∠ABK= 3 ∙ 15° = 45°; ∠KBC= 5 ∙ 15° = 75°.

30°	45°	50°	70°	75°	90°	30°
К	Р	А	В	Ч	У	К

Домашня самостійна робота №5 (§21 – §26)

1. Знайдіть радіус кола, діаметр якого дорівнює 8 см.

r = d2 = 82 = 4 (см).

Відповідь. Б) 4 см.

2. З однієї точки до кола проведено дві дотичні. Відрізок однієї з дотичних дорівнює 7 см. Знайдіть відрізок другої дотичної.

Відповідь. В) 7 см.

3. Скільки точок містить геометричне місце точок, які рівно віддалені від сторін кута та належать його внутрішній області?

Відповідь. Г) безліч.

4. Радіус кола дорівнює 4 см. Як розміщені пряма а і коло, якщо відстань від центра кола до прямої дорівнює 3 см?

Відповідь. А) пряма перетинає коло у двох точках.

5. Точка O — центр кола, MN — його хорда. Знайдіть ∠MON, якщо

∠OMN = 70°.

Оскільки OM = ON (як радіуси), то ∆OMN – рівнобедрений. ∠MON = 180° – 2 ∙ 70° = 40°. Відповідь. Б) 40°.

6. Кола, радіуси яких 6 см і 2 см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між їх центрами.

O1O2 = r1 – r2 = 6 – 2 = 4 (см). Відповідь. Б) 4 см.

7. Точка O — центр кола, AB — його діаметр, BC — його хорда, ∠COA = 50°. Знайдіть ∠BCO.

1) ∠BOC = 180° – 50° = 130° (властивість суміжних кутів). 2) OB = OC (як радіуси), тому ∆OBC — рівнобедрений і ∠BCO = 180° - 130°2 = 50°2 = 25°.Відповідь. А) 25°.

8. Два кола мають зовнішній дотик, а відстань між їх центрами

дорівнює 14 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо радіус одного з них на 4 см більший за радіус другого.

1) Нехай r2 = x (см), тоді r1 = x + 4 (см). 2) Оскільки O1O2 = r1 + r2, то маємо рівняння х + 4 + х = 14; 2х = 10; х = 5 (см). 3) Отже, r2 = 5 см; r1 = 5 + 4 = 9 (см). Відповідь. Б) 9 см і 5 см.

9. Геометричним місцем центрів кіл, що дотикаються до даної

прямої в точці А, є...

Відповідь. В) пряма без однієї точки (див. задачу № 740).

10. З точки М, що лежить поза колом, проведено до кола дві

дотичні MA і MB; де А і В — точки дотику, ∠MBA = 60°. Знайдіть відстань від точки M до центра кола, якщо радіус кола дорівнює 10 см.

1) В ∆АВМ: AM = MB (за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки), тому ∆ABM — рівнобедрений і ∠AMB = 180° – 2 ∙ 60° = 60°. 2) OA⊥AM, OB⊥BM (за властивістю дотичної) 3) ∆OAM = ∆OBM (за двома катетами), тому

∠OMA = ∠OMB = ∠АМВ2 = 60°2 = 30°.

4) У прямокутному трикутнику OAM (∠A = 90°) за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо OA = ОМ2, тому

OM = 2 ∙ OA = 2 ∙ 10 = 20 (см).

Відповідь. В) 20 см.

11. Центр кола, описаного навколо трикутника, збігається із

серединою сторони в...

При доведенні теореми про кут, під яким видно діаметр з точки кола, було показано, що OA = OP = OB (див. cтop. 128). ∆APB — прямокутний, точка O — центр описаного кола. Отже, умові задачі відповідає прямокутний трикутник.

Відповідь. А) прямокутному трикутнику.

12. Три кола, радіуси яких 3 см, 4 см і 5 см, попарно дотикаються

зовні. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є центри цих кіл.

Р∆О1О2О3 = О1О2 + О2О3 + О3О1 = r1 + r2 + r2 + r3 + r3 + r1 = 2(3 + 4 + 5) = = 2 ∙ 12 = 24 (см). Відповідь. В) 24 см.

Завдання для перевірки знань №5 (§21 – §26)

1. Знайдіть діаметр кола, якщо його радіус дорівнює 26 мм.

d = 2r = 2 ∙ 26 = 52 (мм).

2. На якому з малюнків 437–439 пряма а є дотичною до кола, а на якому — січною?

На малюнку 439 пряма а є дотичною до кола, а на малюнку 437 — пряма а — січною.

3. На якому з малюнків 440–442 зображено коло, описане

навколо трикутника, а на якому — вписане у трикутник?

На малюнку 441 зображене коло, описане навколо трикутника, а на малюнку 440 — коло, вписане у трикутник.

4. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 4 см. Проведіть у ньому діаметр MN і хорду KL. Побудуйте за допомогою косинця дотичну до кола, що проходить через точку М.

Пряма а — дотична до кола.

5. Точка O — центр кола, AB — його хорда. Знайдіть ∠OAB,

якщо ∠AOB = 136°.

1) OA = OB (як радіуси кола), тому ∆AOB — рівнобедрений з основою AB. 2) ∠OAB = (180° – ∠O)∕2 = (180° – 136°)∕2 = 22°.

6. Накресліть відрізок FP завдовжки 5 см. Побудуйте геометричне

місце точок, рівновіддалених від його кінців.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка FP є серединний перпендикуляр l до цього відрізκa.

7. Два кола мають зовнішній дотик. Відстань між їх центрами

дорівнює 20 см. Знайдіть радіуси кіл, якщо один з них утричі

більший за інший.

Нехай r2 = х см, тоді r1 = Зх см. Маємо: O1O2 = r1 + r2; Зх + х = 20; 4х = 20; х = 5 (см). Отже, r2 = 5 см; r1 = 3 ∙ 5 = 15 (см). Відповідь. 15 см; 5 см.

8. Побудуйте рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює

55 мм, а кут при вершині — 50°.

План побудови.

1) AB = 66 мм; ∠C = 50°.

2) ∠A = ∠B = 180° - 50°2 = 65°.

3) ∠MAB = 65°.

4) ∠NBA = 65°.

5) Промені AM і BN перетинаються у точці С.

6) ∆ABC — шуканий.

9. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну

сторону на відрізки завдовжки 5 см і 2 см, починаючи від вершини,

що протилежна основі. Знайдіть периметр трикутника.

1) CB = AC = 5 + 2 = 7 (см). 2) За властивістю відрізків дотичних, проведених із однієї точки: BL = BK = 2 (см). 3) CL — бісектриса ∆ABC. Оскільки AC = CB, то CL є також і медіаною. Тому AB = 2 ∙ LB = 2 ∙ 2 = 4 (см). 4) P∆ = 2 ∙ 7 + 4 = 18 (см). Відповідь. 18 см.

10. З точки А, що лежить поза колом, проведено до нього дві

дотичні AB і АС, де В і C — точки дотику, ∠ВАС = 60°. Знайдіть

радіус кола, якщо відстань від точки А до центра кола

дорівнює 8 см.

1) За властивістю дотичної OB⊥BA і OC⊥CA. 2) ∆OBA = ∆OCA (за катетом і гіпотенузою). 3) Тоді ∠OAB = ∠OAC = ∠ВАС2 = 60°2 = 30°. 4) У прямокутному трикутнику OBA за властивістю катета, що лежить проти кута 30°,

маємо: OB = ОА2 = 82 = 4 (см).

Відповідь. 4 см.

11. Не користуючись транспортиром, побудуйте кут, що дорівнює 120°.

1) Побудуємо прямокутний трикутник, у якого катет AC удвічі менший від гіпотенузи AB (за планом задачі №746).

2) Оскільки AC = АВ2, то ∠B = 30°; a ∠A = 90° – 30° = 60°.

3) Кут BAK — зовнішній кут ∆ABC. Тоді ∠BAK = 180° – 60° = 120° — шуканий.

Вправи для повторення розділу 4