Вправи: 632

632. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°. На катеті AC побудуй-те точку D, яка віддалена від прямої AB на відстань CD.

Дано: ∆ABC — прямокутний.

∠C = 90°.

Побудувати: на AC точку D; CD = DM.

DM ⊥ AB.

Побудова:

Якщо точка D повинна бути віддалена від гіпотенузи AB на відстань CD, тому DM ⊥ AB. DM = DC. Отже, D — повинна бути центром кола вписаного у трикутник ABE, AC — бісектриса ∠EAB. ∠CAB = ∠CAE.

Тобто треба побудувати ∆EAB на основі сторони AB, кута B, та кута

∠EAB, який удвічі більший за ∠CAB.

Тобто спочатку треба побудувати на стороні AC ∠EAC = ∠CAB.

1) Будуємо коло з центром в точці А довільного радіуса.

2) Коло перетинає сторону AB в точці P і сторону AC в точці F.

3) Вимірюємо циркулем довжину відрізку PF.

4) Будуємо дугу з центром в точці F радіусом FP.

5) Точку перетину двох дуг позначаємо М.

6) Будуємо промінь AM.

7) Будуємо промінь BC.

8) Позначаємо точку перетину променів AM і BC Е.

Отримали ∆ЕАВ.

Щоб знайти центр кола вписаного у ∆ABE, треба побудувати бісектрису ∠B.

1) Будуємо коло з центром в точці В довільного радіуса.

2) Це коло перетинає сторону AB в точці X, сторону BC в точці Y.

3) Будуємо коло довільного радіуса з центром в точці X .

4) Будуємо коло того ж радіуса з центром в точці Y.

5) Позначаємо точку перетину цих кіл L.

6) Будуємо промінь BL, який перетинає сторону AC в точці D.

7) D — центр кола, вписаного у ∆АВЕ.

Отже, DC = DM (DM ⊥ AB). За властивістю дотичних до кола.