Вправи: 122

122. Доведіть, що коли бісектриси кутів AOB і BOC перпендикулярні,

то точки А, O і C лежать на одній прямій.

Дано: OP — бісектриса ∠AOB, ON — бісектриса ∠BOC, OP ⊥ ON.

Довести: А ∈ а, O ∈ а, C ∈ а.

Доведення: Якщо OP ⊥ ON, тоді ∠PON = 90°.

За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠PON = ∠POB + ∠BON.

За умовою OP — бісектриса ∠AOB.

За означенням бісектриси кута маємо: ∠AOP = ∠POB.

Аналогічно, якщо ON — бісектриса ∠BOC, тоді ∠BON = ∠NOC.

∠AOP + ∠NOC = ∠POB + ∠BON = 90°.

∠AOB + ∠POB + ∠BON + ∠NOC = (∠APO + ∠POB) + (∠BON + ∠NOC) =

= ∠AOB + ∠BOC = 180°. ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 180°.

∠AOC — розгорнутий, тоді A, O, C належать одній прямій. Доведено.