Вправи
Вправи: 1068
Готова відповідь до завдання 1068 з ГДЗ Алгебра 7 клас Тарасенкова 2024.
Алгебра, 7 клас · Вправи
Текстова відповідь
1068. Дарина й Сергій придумали гру: кидають два гральні кубики, і якщо сума очок дорівнює 11, то виграла Дарина, а якщо сума очок дорівнює 12, то виграв Сергій. У кого з дітей більше шансів виграти — у Дарини чи в Сергія?
У Дарини більша ймовірність виграти гру, оскільки для Сергія
сприятливих подій є дві (6 і 5, 5 і 6), а у Дарини — одна (6 і 6).
Відповідь: У Дарини.
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Розділ 2. Вирази і тотожності
1. Дано числа 4 і 2. Складіть вираз, який є: 1) сумою цих чисел; 2) різницею цих чисел; 3) добутком цих чисел; 4) часткою цих чисел; 5) степенем, у якого перше число є показником. Знайдіть значення цих виразів.
1) 4 + 2;
2) 4 – 2;
3) 4 • 2;
4) 4 : 2;
5) 42;
6) 24.
2. Знайдіть значення виразу:
1) 18 – 1056 • 11335 + 6514 = 18 – 656 • 4835 + 6514 = 18 – 1047 + 6514 = 24514 – 1467 = 24514 – 141214 = 231914 – 141214 = 9714 = 912 = 9,5;
2) 547 • 2913 – 123 : (429 – 256) = 397 • 3513 – 123 : (4418 – 21518) = 15 – 123 : (32218 – 21518) = 15 – 123 : 1718 = 15 – 53 : 2518 = 15 – 53 • 1825 = 15 – 65 = 15 – 115 = 1345 = 13,8;
3) (323 – 127 • 549) : (–2,5) = (323 – 97 • 499) : (–2,5) = (323 – 7) : (–2,5) = –313 : (–2510) = –103 • (–1025) = 10075 = 43 = 113;
4) 0,6 • 56 – (359 – 2215) : 9,6 = 610 • 56 – (32545 – 2645) : 9610 = 12 – 11945 : 9610 = 12 – 6445 • 1096 = 12 – 427 = 27-854 = 1954.
3. Обчисліть найбільш раціональним способом:
1) 1,64 • 4,8 + 4,8 • 3,36 = 4,8 • (1,64 + 3,36) = 4,8 • 5 = 24;
2) 5,32 • 3,1 – 3,32 • 3,1 • (5,32 – 3,32) = 3,1 • 2 = 6,2;
3) 325 • 2 37 • 5 • 7 = 175 • 5 • 177 • 7 = 17 • 17 = 289;
4) 35 + 434 + 125 + 414 = 35 + 75 + 194 + 174 = 105 + 364 = 2 + 9 = 11;
5) (3 + 23 – 12) • 6 = 18 + 4 – 3 = 19;
6) 6213 •516 + 51113 • 516 = 516 • (6213 + 51113) = 516 • 111313 = 316 • 12 = 62.
4. У 7–А класі навчається 20 учнів, у 7–Б класі — на 3 учні менше, ніж у 7–А класі, а в 7–В класі — на 5 учнів більше, ніж у 7–Б класі. Скільки всього учнів навчається у цих класах? Складіть числовий
вираз для розв’язування задачі та знайдіть його значення.
7 – A – 20 учн.
7 – Б – ?, на 3 учн. < ?
7 – В – ?, на 5 учн. >
20 + (20 – 3) + (17 + 5) = 20 + 17 + 22 = 59 (учн.)
Відповідь: 59 учнів.
5. На першій полиці стоїть 15 книжок, на другій — на 7 книжок менше, ніж на першій, а на третій — стільки книжок, скільки на першій і другій полицях разом. Скільки всього книжок стоїть на
трьох полицях? Складіть числовий вираз для розв’язування задачі та знайдіть його значення.
І – 15 кн.
ІІ – ?, на 7 кн. < ?
III – ? однаково
15 + (15 – 7) + (15 + 8) = 15 + 8 + 23 = 46 (кн.)
Відповідь: 46 книжок.
6. Яке число треба записати замість зірочки, щоб вираз не мав змісту:
| 1) 52- 2 •0,52 • * +4;* = –2. | 2) 2,4 :6-312- *:5;* = 12. |
7. Знайдіть значення виразу:
1) 12a – 4b + 5.
Якщо а = –123; b = 0,25, то 12 •(–123) – 4 • 0,25 = 12 • (–53) – 1 = –20 – 1 = –21;
2) 0,15c – 14d2 + 4,5.
Якщо с = –20; d = 12, то
0,15 • (–20) – 14 • (12)2 + 4,5 = –3 – 14 • 14 + 4,5 = –3 – 3,5 + 4,5 = –6,5 + 4,5 = –2.
8. Якими даними потрібно доповнити таблицю 1.
Таблиця 1
| x | 5 | –10 | 1,2 | 23 |
| y | 0,2 | 10 | –0,4 | –16 |
| x + y | 5,2 | 0 | 0,8 | 56 |
| 2x + 5y | 11 | 30 | 0,4 | 12 |
| y – x | –4,8 | 20 | –1,6 | –56 |
| y-2x | –0,36 | –0,8 | –2 | –314 |
23 – 16 = 46 – 16 = 56;
2 • 5 + 5 • 0,2 = 10 + 1 = 11;
2 • (–10) + 5 • 10 = –20 + 50 = 30;
2 • 1,2 + 5 • (–0,4) = 2,4 – 2 = 0,4;
2 • 23 + 5 • (–16) = 43 – 56 = 86 – 56 = 36 = 12;
–16 – 23 = –16 – 46 = –56;
0,2-25 = -1,85 = –0,36;
10-2-10 = 8-10 = –45 = –0,8;
-0,4-21,2 = -2,41,2 = –2;
(–16 – 2) : 23 = –216 • 32 = –136 • 32 = –134 = –314.
9. Чи всі значення змінних є допустимими для виразу:
1) 2a – b + 3c; a, b i c – будь–які числа.
2) 2x-5; x ≠ 5;
3) n-5n+2; n ≠ –2;
4) 2m+45; m – будь–яке число.
10. У числовому виразі 3 •5+0,5 :54 •5-12 замініть число 5 на букву а. Чи всі значення змінної а є допустимими для одержаного виразу?
| 3а+0,5 :а4а-12; | 4а – 12 ≠ 0;4а ≠ 12;а ≠ 3. |
11. Чи є цілим вираз:
Чи є цілим вираз:
| 1) 2х-43. Так.2) а+6а. Ні. | 3) 10m-2nm-3. Ні.4) 7c-dc+4(d-6). Ні. |
12. Одна сторона прямокутника дорівнює а см, а інша — на 4 см більша. Складіть вирази для знаходження периметра і площі прямокутника. Знайдіть значення цих виразів, якщо:
1) а = 5 см; 2) а = 2,5 см.
І – а
ІІ – ?, на 4 см >
P – ? S – ?
P = 2 • a + 2 • (a + 4) = 2a + 2a + 8 = 4a + 8.
S = a • (a + 4).
1) Якщо а = 5 см, то
Р = 4 • 5 + 8 = 28 (см);
S = 5 • (5 + 4) = 45 (см2).
2) Якщо а = 2,5 см, то
Р = 4 • 2,5 + 8 = 18 (см);
S = 2,5 • (2,5 + 4) = 2,5 • 6,5 = 16,25 (cм2).
Відповідь: 1) 28 см; 45 см2; 2) 18 см; 16,25 см2.
13. Складіть вираз для обчислення кількості учнів у сьомому класі, у якому навчається х хлопців та у дівчат. Знайдіть значення цього виразу за даними вашого класу.
х + у – кількість учнів у 7 класі.
14. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) 2,2(а + 5) – 0,4(а – 2,5);
Якщо а = –5, то
2,2 • (–5 + 5) – 0,4(–5 – 2,5) = 2,2 • 0 – 0,4 • (–7,5) = 3.
2) 13(6 – 35b) + 2(2,5b – 3,5) – 16(3,6 – 1,2b).
Якщо b = 4, то
13(6 – 35 • 4) + 2(2,5 • 4 – 3,5) – 16(3,6 – 1,2 • 4) = 13(6 – 125) + 2(10 – 3,5) – 16(3,6 – 4,8) = 13(6 – 225) + 2 • 6,5 – 16 • (–1,2) = 13 • 335 + 13 + 15 = 13 • 185 + 1315 = 65 + 1315 = 1425 = 14,4.
15. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:
1) 5(3x – 7) – 15(10x – 5) = 15x – 35 – 2x + 1 = 13x – 34;
2) 4,5x – 23(8x – 12) – 4 + 2x – 23(x – 6) = 4,5x – 163x + 8 – 4 + 2x – 23x + 4 = 6,5x – 183x + 8 = 6,5x – 6x + 8 = 0,5x + 8.
16. За даними значеннями а заповніть таблицю 2.
Таблиця 2
| a | 4 | –3,6 | 23 | –215 |
| a + 1 | 5 | –2,6 | 123 | 1315 |
| 1a | 14 | –518 | 1,5 | –7,5 |
| 4a | 16 | –14,4 | 223 | –815 |
| –3a + 8 | –4 | 18,8 | 6 | 8,4 |
| a-82 | –2 | –5,8 | –323 | –4115 |
1 : (–3,6) = 1 : (–3610) = 1 • (–1036) = –518;
–3,6 • 4 = –14,4;
–3 • (–3,6) + 8 = 10,8 + 8 = 18,8;
–3,6-82 = –11,62 = –5,8;
–3 • 23 + 8 = –2 + 8 = 6;
–3 • (–215) + 8 = 25 + 8 = 0,4 + 8 = 8,4;
(23 – 8) : 2 = –713 • 12 = –223 • 12 = –113 = –323;
(–215 – 8) : 2 = –8215 • 12 = –12215 • 12 = –6115 = –4115.
17. Дано вирази (Зx – 4) і (2х + 1). Складіть вираз, який є: 1) сумою цих виразів; 2) різницею цих виразів; 3) добутком цих виразів; 4) часткою цих виразів. Спростіть одержані вирази та знайдіть їх значення для х = –4.
1) (3x – 4) + (2x + 1) = 5x – 3.
Якщо х = –4, то
5 • (–4) – 3 = –20 – 3 = –23;
2) (3х – 4) – (2х + 1) = 3х – 4 – 2х – 1 = х – 5.
Якщо х = –4, то –4 – 5 = –9.
18. Знайдіть значення виразу, якщо х = –2, у = –0,4.
-0,6х2- 11-2у.
Якщо х = –2, у = –0,4, то
-0,6 •(-2)2- 11-2 •(-0,4) = -0,6 •4-11+0,8 = -2,4-11,8 = -3,41,8 = –3418 = –179 = –189.
19. Трицифрове число містить а сотень, b десятків і с одиниць. Складіть і спростіть вираз: 1) сума даного числа і числа, записаного тими самими цифрами у зворотному порядку; 2) різниця даного
числа і числа, записаного тими самими цифрами у зворотному порядку.
100a + 10b + c.
1) 100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 101a + 20b + 101c;
2) 100a + 10b + c – (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a = 99a – 99c.
20. Доведіть, що значення виразу не залежить від змінної х:
1) 5x + (3x – 8 (4 + x)) = 5x + 3x – 40 – 8x = –40;
2) 5(x – 12) + 4(6 – x) – (x – 2) = 5x – 60 + 24 – 4x – x + 2 = –34.
21. Доведіть тотожність за допомогою способу перетворення
лівої частини рівності:
1) 10a – (3a – 9b) = 7a + 9b;
Л.ч. 10a – (3a – 9b) = 10a – 3a + 9b = 7a + 9b.
Тотожність доведена.
2) (0,5c + d) – 2(0,5d – 0,3c) = 1,1c.
Л.ч. (0,5c + d) – 2(0,5d – 0,3c) = 0,5c + d – d + 0,6c = 1,1c.
Тотожність доведена.
22. Доведіть тотожність за допомогою способу перетворення
правої частини рівності:
1) 2y = –129(x – 9y) + 129x – 9y;
Пр.ч. –129(x – 9y) + 129x – 9y = –129x + 129 • 9y + 129x – 9y = 119 • 9y – 9y = 11y – 9y = 2y.
Тотожність доведенo.
2) 9m + 1 = 4(m + n) – 5(n – m) + (n + 1);
Пр.ч. 4(m + n) – 5(n – m) + (n + 1) = 4m + 4n – 5n + 5m + n + 1 = 9m + 1.
Тотожність доведенo.
23. Доведіть тотожність за допомогою способу перетворення обох частин рівності:
1) 10a – 2(3a – 2b) = (2a + b) – (–2a – 3b);
10a – 6a + 4b = 2a + b + 2a + 3b;
4a + 4b = 4a + 4b.
Тотожність доведенo.
2) (5c + 2) – 0,4(2d + 5) – 0,7d = 7(c – 17d) – 2(c + 14d);
5c + 2 – 0,8d – 2 – 0,7d = 7c – d – 2c – 12d;
5c – 1,5d = 5c – 1,5d.
Тотожність доведенo.
24. Доведіть тотожність за допомогою способу різницевого
порівняння:
1) 20x – 4(x – 0,5y) = 13x + 3(x – y) + 5y
20x – 4(x – 0,5y) – (13x + 3(x – y) + 5y) = 20x – 4x + 2y – (13x + 3x – 3y + 5y) = 16x + 2y – (16x + 2y) = 0.
Тотожність доведенo.
2) 5 + (123n – 2m) – 23n = (m + 13n + 2) – (3m – 23n – 3);
5 + 123n – 2m – 23n – (m + 13n + 2) + (3m – 23n – 3) = 5 + 123n – 2m – 23n – m – 13n – 2 + 3m – 23n – 3 = 0
Тотожність доведенo.
25. Доведіть тотожність:
1) (a + 1)(a + 2) – 2 = (a – 3)(a + 4) + 4;
a2 + 2a + a + 2 – 2 = a2 + 4a – 3a – 12 + 4;
3a = a – 8.
Не є тотожністю.
2) 2(3b + 1)(5 – b) + 3 = 50 – 2(b – 1,5)(3b – 1);
(6b + 2)(5 – b) + 3 = 50 – 2(3b2 – b – 4,5b + 1,5);
30b – 6b2 + 10 – 2b + 3 = 50 – 6b2 + 2b + 9b – 3;
28b + 13 = 11b + 47.
Не є тотожністю.
26. Запишіть у вигляді степеня з основою 6:
1) 36 • 36 = 62 • 62 = 64;
2) 6 • 36 • 216 = 61 • 62 • 63 = 66;
3) 36 • 6 • 36 • 36 = 62 • 61 • 62 • 62 = 67.
27. Запишіть вираз 2 • 4 • 64 • 8 у вигляді степеня з основою:
Запишіть вираз у вигляді степеня з основою:
1) 2;
2 • 4 • 64 • 8 = 8 • 8 • 64 = 64 • 64 = 26 • 26 = 212;
2) 4;
2 • 4 • 64 • 8 = 212 = (22)6 = 46;
3) 8;
2 • 4 • 64 • 8 = 212 = (23)4 = 84;
4) 16;
2 • 4 • 64 • 8 = 212 = (24)3 = 163;
5) 64.
2 • 4 • 64 • 8 = 212 = (26)2 = 642.
28. Запишіть вираз 25,6 : 0,25 • 40 у вигляді степеня з основою:
Запишіть вираз у вигляді степеня з основою:
1) 2;
25,6 : 0,25 • 40 = 4096 = 212;
2) 4;
25,6 : 0,25 • 40 = 212 = (22)6 = 46;
3) 8;
25,6 : 0,25 • 40 = 212 = (23)4 = 84;
29. Знайдіть: 1) суму квадратів чисел 0,4, –0,3 і –0,5; 2) квадрат суми чисел 0,4, –0,3 і –0,5; 3) різницю квадрата числа 4 і куба числа –2; 4) квадрат різниці кубів чисел –1 і 3.
1) 0,42 + (–0,3)2 + (–0,5)2 = 0,16 + 0,09 + 0,25 = 0,5;
2) (0,4 – 0,3 – 0,5)2 = (–0,4)2 = 0,16;
3) 42 – (–2)3 = 16 – (–8) = 16 + 8 = 24;
4) ((–1)3 – 33)2 = (–1 – 9)2 = (–10)2 = 100.
30. Якими даними потрібно доповнити порожні клітинки таблиці З?
Таблиця З
| a | 1 | –1,1 | 15 | –0,6 |
| a2 | 1 | 1,21 | 125 | 0,36 |
| a3 | 1 | –1,331 | 1125 | –0,216 |
31. Знайдіть значення виразу а2 • b3, якщо:
1) якщо a = 15; b = –15, то
152 • (–15)3 = 225 • (–1125) = –95 = –1,8;
2) якщо а = –16, b = –3, то
(–16)2 • (–3)3 = 136 • (–27) = –34 = –0,75;
3) якщо а = –0,9, b = 13, то
(–0,9)2 • (13)3 = 0,81 • 127 = 0,03.
32. Порівняйте значення виразів:
| 1) (–13)13 < 1212;2) (–7)3 < 73;3) (–1)21 < 112; | 4) 190 = 199;5) (–1)22 > 022;6) (–9)7 > (–9)9. |
33. Запишіть у вигляді степеня.
1) x4 • x7 • x12 = x23;
2) x4 • x6 • x12 • x4 • x = x27.
3) x5 • x7 • x21 : x12 : x1 • x = x33–16+1 = x18;
4) a • a4 • a6 • a • a5 = a17;
5) a6 • a24 • a2a11 • a7 •a = a32a19 = a13;
6) a6 • a54 : a36 • a : a8 = a60–36+1–8 = a17.
34. Запишіть у вигляді степеня з основою 8:
1) 168 : 28 = (16 : 2)8 = 88;
2) 23 • 43 = 23 • (22)3 = 23 • 26 = 29 = (23)3 = 83;
3) 210 • 210 • 210 = 230 = (23)10 = 810;
4) 565 : 75 = (56 : 7)5 = 85.
35. Запишіть у вигляді степеня:
1) 7 • 0,14 • 72 • 0,16 • 77 = 710 • 0,110 = 0,710;
2) (45)6 • (114)8 = (45)6 • (54)8 = (45 • 54)6 • (54)2 = 16 • 2516 = (54)2 = (114)2;
3) 113 • 118 • (12)5 • 0,515 • 119 = 1120 • 0,520 = (11 • 0,5)2 = 5,52;
4) (115)12 • (56)5 • 1,26 = (65)12 • (56)5 • (65)6 = (65)18 • (56)5 = (65 • 56)5 • (65)13 = 1 • 1,213 = 1,213.
36. Запишіть у вигляді степеня з показником 3:
1) 81 : 33 • 27 : 32 = 34 : 33 • 33 : 32 = 37–5 = 32;
2) 99 : 243 • 38 = (32)9 : 35 • 38 = 318 : 35 • 88 = 326–5 = 321;
3) 54 • 542 : 183 = 543 : 183 = 33;
4) 0,27 • 100 • 93 = 27 • 93 = 33 • (32)3 = 33 • 36 = 39.
37. Розв’яжіть рівняння:
| 1) x6 = 0;x = 0.Відповідь: 0.2) (х + 8)8 = 0;х + 8 = 0;х = –8;Відповідь: –8. | 3) (–x)7 = 0;x = 0.Відповідь: 0.4) (2 – 5х)3 = 0;2 – 5х = 0;5х = 2|: 5;х = 0,4.Відповідь: 0,4. |
5) (6 – х)6(х + 4)4 = 0;
(6 – х)6 = 0 або (х + 4)4 = 0;
6 – х = 0; х + 4 = 0;
х = 6. х = –4.
Відповідь: –4; 6.
6) (–3 – х)4(х + 3)4 = 0;
(–3 – х)4 = 0 або (х + 3)4 = 0;
–3 – х = 0; х + 3 = 0;
х = –3. х = –3.
Відповідь: –3.
38. Якою цифрою закінчується число:
1) (–555)4 + 651623 + 120125;
5 + 6 + 1 = 12;
Це число закінчується на 2.
2) 1234054 + 1234663 + 521;
0 + 6 + 5 = 11.
Це число закінчується на 1.
39. Обчисліть:
1) (27 • (–9)7 + (25)2) • (0,2 – 15)3 = (27 • (–9)7 + (25)2) • (0,2 – 0,2)3 = 0
2) (–93)5 : ((–35)3)2 = –915 : 330 = (–32)15 : 330 = –330 : 330 = –1;
3) –103 • (–5)2 : ((–25)3 • (–22)) • 40 = -103• 25 • 40-253• (-4) = –104252 = –10000625 = –16.
40. Спростіть вираз
1) (x4)2 • (x5)6 • x3x6 : (x3)10 = x8 • x30 • x9 : x30 = x8+30+9–30 = x17;
2) (aa5)4 : (a6a4)2 = (a6)4 : (a10)2 = a24 : a20 = a4;
3) (a7)4 • (a6 : a4)2 • (a5 : a4)3 = a28 • (a2)2 • a3 = a28 • a4 • a3 = a28+4+3 = a35;
4) (a44 : a)3 : (a5 : a3)50 = (a43)3 : (a2)50 = a129 : a100 = a29;
5) (a12a4)3 – (aa5)8 = (a16)3 – (a6)8 = a48 – a48 = 0;
6) a4 • ((x6)3)2 – (2x30)3 : (x2)25 = x4 • x36 – 8x90 : x50 = x40 – 8x40 = –7x40.
7) ((–y2)2 • x3)6 • x : (–x4 • y9) = (y4x3)6 • x : (–x4y9) = y24x18 • x : (–x4y9) = –x15y15.
8) (a2)4 • (a2)6 • (a8)4 : (a11)4 = a8 • a12 • a32 : a44 = a52 : a44 = a8;
9) (a5 • b2)3 • a23b • (a18: a8)3 = a15 • b6 • a23b • (a10)3 = a38 • b6b • a30 = a8b5;
10) a9 • (b5 • a11)4(b3 • a2)3 • a8 = a9 • b20 • a44b9 • a6 • a8 = a53 • b20a14 • b9 = a39b11.
41. За якого натурального значення змінної п виконується нерівність:
1) (10,25)3 < 4n ≤ –(–2)5 • (–3)2;
43 < 4n ≤ 32 • 9;
43 < 4n ≤ 16 • 18;
43 < 4n ≤ 16 • (16 + 2);
43 < 4n ≤ 16 • 16 + 32;
43 < 4n ≤ 44 + 32;
n = 4;
2) 12 ≤ 0,5n ≤ 303 : 63 : 500;
0,51 ≤ 0,5n ≤ 53 : 500;
0,51 ≤ 0,5n ≤ 0,25;
0,51 ≤ 0,5n ≤ 0,52;
n = 1; n = 2.
42. Обчисліть
4 • 24• 3 • 152• 6334 • 203 = 22• 24 • 3 • 52• 32 • 23 • 3334 • 23 • 23 • 53 = 29 • 36 • 5226 • 34 • 53 = 23 • 325 = 8 • 95 = 725 = 14,4.
Розділ 3. ОДНОЧЛЕНИ І МНОГОЧЛЕНИ
1. Зведіть одночлен до стандартного вигляду:
1) –0,4 • x15 • 5 • y2 • 2 • 0,3 • y = –1,2x15y3;
2) 23x3y3 • x • y10 • (–0,12) • x7 • y7 • 10 • x • y2 • y3 • y4 = –0,8x12y29.
2. Якими даними потрібно доповнити порожні клітинки таблиці 4?
Таблиця 4
| Одночлен | 2x2 | 4a | 2m | m2n2 | 2,8 | 9a |
| Одночлен | 0,5x2 | –3ab | –60m | 3n2 | 5a | 9b |
| Сумаодночленів | 2,5x2 | 7a – 3ab | –58m | m2n2+3n2 | 2,8 + 5a | 9a+9b |
| Різницяодночленів | 1,5x2 | 4a + 3ab | 62m | m2n2–3n2 | 2,8–5a | 9a–9b |
| Добутокодночленів | x4 | –12ab | –120m2 | 3m2n4 | 14a | 81ab |
3. Якими даними потрібно доповнити порожні клітинки таблиці 5?
Таблиця 5
| Одночлен | y2 | 5,6a | mnp | 3m2n3 | x3 |
| Одночлен | –yx2 | 4,4a | pnm | m3n2 | 5x6 |
| Сумаодночленів | y2–yx2 | 10a | 2mnp | –3m2n3+m3n2 | x3+5x6 |
| Різницяодночленів | y2+yx2 | 1,2a | 0 | –3m2n3–m3n2 | x3–5x6 |
| Добутокодночленів | –x2y3 | 24,64a2 | m2n2p2 | –3m5n5 | 5x9 |
| Одночлен | –16x2 | 0,02ya |
| Одночлен | –4x2 | 0,8yx |
| Сумаодночленів | –20x2 | 0,02ya+0,8yx |
| Різницяодночленів | –12x2 | 0,02y6a–0,8yx |
| Добутокодночленів | 64x4 | 0,016axy2 |
4. Якими даними потрібно доповнити порожні клітинки таблиці 6?
Таблиця 6
| A | –0,3x15y52 | –2a4c9b10 | 45xy | –12p4m12 |
| A2 | 0,09x30y104 | 4a8c18b20 | 1625x2y2 | 144p8m24 |
| A3 | 0,027x45y156 | –8a12c27b30 | 64125x3y3 | 1728p12m36 |
9n = 18;
n = 2.
2) x2 • x4n • (x2n)3 = x30 : (x • x • (x8)2);
x2 • x4n • x6n = x30 : x18;
2 + 4n + 6n = 30 – 18;
10n = 12 – 2;
10n = 10;
n = 1.
5. Піднесіть одночлен –а5b4с до степеня, що дорівнює:
1) (–a5b4c)2 = a10b8c2;
2) (–a5b4c)5 = –a25b20c5;
3) (–a5b4c)100 = a500b400c100.
6. Зведіть одночлени до стандартного вигляду та знайдіть їх
добуток:
1) 0,2x6y15 • (x2)3, –15z3 • 6xy5 i –zx15y2.
0,2x12y15 • (–9xy5z3) • (–x15y2z) = 1,8x28y22z4.
2) (–y2)5 • (–x4)2, –0,15xy9, –15x12y i –0,03(–x)5 • (–y)2.
–x8y10 • (–0,15xy9) • (–15x12y) • 0,03x5y2 = –0,0009x26y22.
7. Зведіть одночлени до стандартного вигляду та знайдіть їх добуток:
1) –x4ny4 • 5xy2n i 2(xn)2x;
–5x4n+1y4+2n • 2x2n+1 = –10x6n+2y2n+4;
2) (yn+1)8 • (–xn)2 i (–xy2)n;
x2n y8n+8 • (–1)n • xny2n = (–1)nx3ny10n+8.
8. Знайдіть значення n, за яких рівність є правильною:
1) a2n • a5n • (an)2 = (aa5)3;
2n + 5n + 2n = 18.
9. З аркуша паперу розмірами 2,4 • 102 х 2,4 • 102 мм вирізали розгортку куба (мал. 1). Знайдіть об’єм куба.
2,4 • 102 x 2,4 • 102 мм;
V – ?
a = 2,4 • 102 : 4 = 240 : 4 = 60 мм = 6 см;
V = a3; V = 63 = 216 см3.
Відповідь: 216 см3.
10. Спростіть вираз:
1) 2(a6)3 + (a2)9 – (5a5)2 • (–a2)4 = 2a18 + a18 – 25a10 • a8 = 3a18 – 25a18 = –22a18;
2) b • 281a3 • 93 + ab2 • ac – 18ba3 = 18a3b + a2b2c – 18a3b = 18a3b + a2b2c – 18a3b = a2b2c.
11. Зведіть подібні члени многочлена:
1) 5,85xy – 8,1x2 – 512xy – 0,9x2 – 0,35xy = –9x2;
2) 51xy2 + 13xy – 4yx + 13x2y – 9xy = 51xy2 + 13x2y;
3) 7a2 – 26b + 24a – b • 13 – 3a + (–67a) – 5,5a2 – 46a = 7a2 – 26b + 24a – 13b – 3a – 67a – 5,5a2 – 46a = 1,5a2 – 92a – 39b.
4) 14mn – 28mn3 – 3,6nm + (–n)3m = 14mn – 28mn3 – 3,5mn = mn3 = –29mn3 + 10,5mn.
12. Упорядкуйте за степенями членів многочлен:
1) 7x2 + 3 + x = 7x2 + x + 3; 2–й степень.
2) –4,5 – 2х2 + 67х = –2х2 + 67х = 4,5; 2–й степінь.
3) 4х + 6х3 + 1,8х5 + 3х2 – 2,9 = 1,8х5 + 6х3 + 3х2 + 4х – 2,9; 5–й степінь.
4) –9,8х4 + 13х5 + 5х3 – 0,7х2 – 6 = 13х5 – 9,8х4 + 5х3 – 0,7х2 – 6; 5–й степінь.
5) 6ab + 9,7b2a2 + 2b3a + 3,75a = 2b3a + 9,7b2a2 + 6ab + 3,75a;
4–й степінь
6) –а22b8 + 6,05b23a25 + 2b15a3 + 3 = 6,05a25b23 – a22b8 + 2a3b15 + 3;
48–й степінь.
13. Знайдіть суму одночлена і многочлена:
1) –m + m + 5m2 = 5m2;
2) 6k2 + k2 – 3 = 7k2 – 3;
3) –15mn + 4m + 0,2nm = 4m;
4) 6x2 + 5x + 0,01;
5) 0,2x – 5x2 + 15x + 1 = –5x2 + 15,2x + 1;
6) cd + 3 – d + c – 2cd + c – d + 3.
14. Знайдіть добуток двочленів:
1) (12 + x)(0,2x – 4) = 2,4x – 48 + 0,2x2 – 4x = 0,2x2 –1,6x – 48.
2) (x + 4,5) • (–x – 2) = –x2 – 2x 4,5x – 9 = x2 – 6,5x – 9;
3) (x2 + x) • (2x + x) = 3x3 + 3x2;
4) (x3 + x2) • (x – 1) = x4 – x3 + x3 – x2 = x4 – x2;
5) (10 + x) • (4x – 1) • (x – 10) = (x2 – 100)(4x – 1) = 4x3 – x2 – 400x + 100;
6) (x2 + 36) • (–x – 6)(–x + 6) = –(x2 + 36)(6 + x) •(6 – x) = –(x2 + 36) • (36 – x2) = (x2 + 36)(x2 – 36) = x4 – 1296;
7) (2 – x)(2x + 1) • (–0,5 + x) = (4x + 2 – 2x2 – x) • (x – 0,5) = (–2x2 + 3x + 2)(x – 0,5) = –2x3 + 3x2 + 2x + x2 – 1,5x – 1 = –2x3 + 4x2 + 0,5x – 1;
8) (x + 4)(x – 4)(x – 5) • (x + 2) = (x2 – 16) • (x2 + 2x – 5x – 10) = (x2 – 16)(x2 – 3x – 10) = x4 – 3x3 – 10x2 – 16x2 + 48x + 160 = x4 – 26x2 + 48x + 160.
15. Знайдіть значення виразів:
1) 5(a + 5) – a(a + 5);
Якщо а = 5, то 5(5 + 5) – 5(5 + 5) = 0.
2) (19b + 2) • 3b)2 – (b2 + 10)(–1 + b) – 19(b2 + 1) = (19b + 2) • 9b2 – (b2 + b3 – 10 + 10b) – 19b2 – 19 = b3 + 18b2 + b2 – b3 + 10 – 10b – 19b2 – 19 = –10b – 9.
Якщо b = 0,01, то –10 • 0,01 – 9 = –0,1 – 9 = –9,1.
3) (x – y)(2x + y) + (y + x)(–x + 2y) = 2x2 + xy – 2xy – y2 – xy + 2y2 – x2 + 2xy = x2 + y2 = 16,4.
16. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) 6a(a + 0,5) – 2(3a2 + a) = 6a2 + 3a – 6a2 – 2a = a = –2,234;
2) 3(5b2 + b) + 10b(b – 0,1) – (5b + 1)2 = 15b2 + 3b + 10b2 – b – 25b2 – 10b – 1 = –8b – 1
Якщо b = 38, то –8 • 38 – 1 = –3 – 1 = –4.
3) (x – y)(3x + y) – (y + x)(–x + 3y) + 4(y + x)(–x + y) = 3x2 + 3xy – 3xy – y2 – (–xy + 3y2 – x2 + 3xy) + 4(y2 – x2) = 3x2 + xy – 3xy – y2 + xy – 3y2 + x2 – 3xy + 4y2 – 4x2 = –4xy.
Якщо ху = 0,25, то –4ху = –4 • 0,25 = –1.
17. Якими даними треба доповнити порожні клітинки таблиці 7?
Таблиця 7
| Многочлен | x – 6 | a + 1 | 0,3 + m2 | a2bc2 – abc2 |
| Многочлен | x + 4 | a2 – a + 1 | m – 0,3 | –c2ba – a2bc2 |
| Сума | 2x – 2 | a2 + 2 | m2 + m | –2abc2 |
| Різниця | –10 | –a2 + 2a | m2 –m + 0,6 | 2a2bc2 |
| Добуток | x2 –2x –24 | a3 + 1 | m3 – 0,3m2 ++ 0,3m–0,09 | –a4b2c4+a2b2c4 |
18. Якими даними треба доповнити порожні клітинки таблиці 8?
Таблиця 8
| Многочлен | –x3 – y2 | –x2+2x–1 | y3–8y2 + 5 | a2 – 2 |
| Многочлен | x3+5x2+4y2–4 | x3 – x | –7y2 + 5 | a2 + 2 |
| Сума | 5x3 + 3y2 – 4 | x3–x2 +x– 1 | y3–15y2+10 | 2a2 |
| Різниця | –2x3–5x2–5y2+4 | –x2+2x–1 | –y2 + y3 | –4 |
| Добуток | –x6–5x5–5x3y2––5x2y2–4y4+4x3 + +4y2 | –x5+2x4–2x2+x | –7y5+56y4++5y3–75y2+ + 25 | a4 – 4 |
19. Перетворіть вираз у многочлен та спростіть його:
1) (18a2 + 5,6b2) + (2,09a2 – 3b2) – (3,5a2 + 1) – (1 + 0,1b2) – (5a2 – 3,1b2 – 2) = 1,8a2 + 5,6b2 + 2,09a2 – 3b2 – 3,5a2 – 1 – 1 – 0,1b2 – 5a2 + 3,1b2 + 2 = – 4,61a2 + 5,6b2; 2–й степінь;
2) (–24a2 + 0,5b2 + 6) – 2(4а2 – 212b2) + 3(–6a2 + 4 – 12b2) = –24a2 + 0,5b2 + 6 – 8a2 + 5b2 – 18a2 + 12 – 15b2 = –50a2 + 4b2 + 18; 2–й степінь;
3) a • a4 – 2a12 • a5 : a12 + a8 • a2 : a5 = a5 – 2a5 + a5 = 0; 0–й степінь;
4) (x4)n + (x2n)5 – (x2)3n • x4n + (xn)7 – (–x2)2n = x4n + x10n – x10n + x7n – x4n = x7n; 7n.
20. Перетворіть вираз у многочлен та спростіть його:
1) 3 • (–3b + 12a)(–b + 16a) – 0,25a(a – 12b) = (–9b + 32a)(–b + 16a) – 14a2 + 3ab = 9b2 – 32ab – 32ab + 14a2 – 14a2 + 3ab = 9b2 – 3ab + 3ab = 9b2;
2) (13x – 0,4y)(112x + 9y) – 6y(12x – 0,6y) = 12x2 + 3xy – 35xy – 185y2 – 3xy + 3,6y2 = 0,5x2 – 0,6xy;
3) (a2 + ab + b2)(a2 – ab + b2) – (a2 + b2) – (a2 + b2)2 + (ab – 1)(ab + 1) = a4 – a3b + a2b2 + a3b – a2b2 + ab3 + a2b2 – ab3 + b4 – a4 – 2a2b2 – b4 + a2b2 + ab – ab – 1 = –1;
4) a5n–2(a2+n)3 – (a2an)3 : an+3 – (–a4)2n+1 + a2na3 = a5n–2 • a6+3n – a6a3n : an+3 + a8n+4 + a2n+3 =a8n+4 – a3n+6 : an+3 +a8n+4 + a2n+3 = a8n+4 –a3n+6–n–3+ +a8n+4 + a2n+3 = 2a8n+4 – a2n+3 + a2n+3 = 2a8n+4.
21. Розв’яжіть рівняння:
1) (–x + 8) + (–x – 5) = 21;
–x + 8 – x – 5 = 21;
–2x = 21 – 8 + 5;
–2x = 18|: (–2);
x = –9.
2) (9x + 11) – (4x – 8) – (x – 1) = 27;
9x + 11 – 4x + 8 – x + 1 = 27;
4x = 27 – 11 – 8 – 1;
4x = 7|: 4;
x = 1,75.
3) 12 – 3(x – 2) = 4(3 + 2x);
12 – 3x + 6 = 12 + 8x;
–3x – 8x = –6;
–11x = –6;
x = 611.
4) 4(4x + 0,5x2) – (2x2 – 5) = 17;
16x + 2x2 – 2x2 + 5 = 17;
16x = 17 – 5;
16x = 12|: 16;
x = 0,75.
5) (3x + (–x)2 + 2,8) – (x2 + x3) – 12,2 = 2 – x3;
3x + x2 + 2,8 – x2 – x3 – 12,2 = 2 – x3;
3x = 2 – 2,8 + 12,2;
3x = 11,4|: 3;
x = 3,8.
6) (5 + x4 + 6,6x3) – (x4 – x2 – 3x + 8x3 – 2) = 7 + 3x + x2;
5 + x4 + 6,6x3 – x4 + x2 + 3x – 8x3 + 2 = 7 + 3x + x2;
–1,4x3 = 7 – 2 – 5;
–1,4x3 = 0|: (–1,4) ;
x3 = 0;
x = 0.
7) (x2 + 5x + 0,25) + (5x2 + 0,75) – (6x2 – 3x) = –1;
x2 + 5x + 0,25 + 5x2 + 0,75 – 6x2 + 3x = –1;
8x = –1 – 1;
8x = –2|: 8;
x = –0,25.
8) (4y2 – 5) – (3y2 – 1,25y + 10) – y2 = 2,5;
4y2 – 5 – 3y2 + 1,25y – 10 – y2 = 2,5;
1,25y = 2,5 + 5 + 10;
1,25y = 17,5|: 1,25;
y = 14.
22. Розв’яжіть рівняння:
1) 25x(0,3x – 2) = 4 + 0,12x2;
325x2 – 45x = 4 + 0,12x2;
–45x = 4|: (–45);
x = –5.
2) –0,125x(8x2 – 2) + x(x2 – 6,75) = 0;
–x3 + 0,25x + x3 – 6,75x = 0;
–6,5x = 0;
x = 0.
3) (x3 + 1)(x – 7) = (x+2)23;
13x2 – 73x + x – 7 = x2+ 4x+43;
13x2 – 42x – 7 = x2+ 4x+43| • 3;
x2 – 4x – 21 = x2 + 4x + 4;
–8x = 25|: (–8) ;
x = –3,125.
4) 2x2 + x – 4 – x-2(x-3)3 = –6;
2x2 + x – 4 + 6 = x2- 3x-2x+63;
2x2 + x + 2 = x2- 5x+63| • 3;
6x2 + 3x + 6 = x2 – 5x + 6;
6x2 – x2 + 3x + 5x = 0;
5x2 + 8x = 0;
x(5x + 8) = 0;
x = 0 або 5x + 8 = 0;
5x = –8|: 5;
x = –1,6.
Відповідь: 0; –1,6.
5) (0,1x – 12)(0,6x + 25) – (5 + 3x)(150x – 0,4) = 0;
0,06x2 + 125x – 310x – 15 – (110x – 2 + 350x2 – 1,2x) = 0;
0,06x2 + 0,04x – 0,3x – 0,2 – 0,1x + 2 – 0,06x2 + 1,2x = 0;
0,84x = 0,2 – 2;
0,84x = –1,8| • 100;
84x = –180|: 84;
x = –18084;
x = –157;
x = –217.
6) (116x – 0,7)(27x – 1) – 13(x2 – x + 2,1) = 0;
(76x – 0,7)(27x – 1) – 13x2 + 13x – 710 = 0;
13x2 – 76x – 15x + 710 – 13x2 + 13x – 710 = 0;
-42-5+1030x = 0;
4730x = 0;
x = 0.
23. Доведіть, що сума многочленів дорівнює 2 не залежно від значень змінних, що входять до нього.
(–0,125mn2 – 1112mn – 1,27) + (18mn2 + 156mn – 1m,23) + (–34mn + 4,5) = –18mn2 + 18mn2 + (–1312 + 116 – 34)mn – 1,27 – 1,23 + 45 = (–1312 + 2212 – 912) mn + 2 = 0 + 2 = 2.
24. Сума двох двоцифрових чисел, у яких однакове число десятків, дорівнює 90. Знайдіть ці числа, якщо число одиниць першого на 6 більше за число одиниць другого.
48 і 42 – шукані числа.
25. Двоцифрове число на 18 більше за суму його цифр. Знайдіть це число, якщо число одиниць на 2 менше від числа його десятків.
20 – шукане число.
26. Обчисліть, не користуючись калькулятором:
1) 1112 – 111 • 42 + 212 = (111 – 21)2 = 902 = 8100;
2) 8,672 + 3,672 – 3,67 • 17,34 = (8,67 – 3,67)2 = 52 = 25;
3) 2462 + 5542 + 246 • 1108 = (246 + 554)2 = 8002 = 640000;
4) 3,372 + 2,632 + 5,26 • 3,37 = (3,37 + 2,63)2 = 62 = 36.
27. Подайте у вигляді многочлена вираз:
1) 5x(–3x + 4y)2 = 5x(16y2 – 24xy + 3x2) = 80xy2 – 120x2y + 15x3;
2) 10ab(a – 0,1b)2 = 10ab(a2 – 0,2ab + 0,01) = 10a3b – 2a2b2 + 0,1ab;
3) 4x2y2(3y2 – 2x2)2 = 4x2y2(9y4 – 12x2y2 + 4x4) = 36x2y6 – 48x4y4 + 16x6y2;
4) 5c2(2 + 0,4c)2 = 5c2(4 + 1,6c + 0,16c2) = 20c2 + 8c3 + 0,8c4.
28. Спростіть вираз:
1) (3 + 2b)2 – 24b = 9 + 12b + 4b2 – 24b = 9 – 12b + 4b2 = (3 – 2b)2;
2) (5 + 2c)2 – 4c2 = 25 + 20c + 4c2 – 4c2 = 25 + 20c;
3) (5 – a)2 – 5(5 – 2a) = 25 – 10a + a2 – 25 + 10a = a2;
4) (4 + 3y)2 – (3y – 4)2 = 16 + 24y + 9y2 – 9y2 + 24y – 16 = 48y.
29. Розв’яжіть рівняння:
1) (4x – 3)2 = 16x2;
16x2 – 24x + 9 = 16x2;
–24x = –9;
x = 924;
x = 0,375.
2) (3 + 2x)2 = (2x – 1)(2x – 5);
9 + 12x + 4x2 = 4x2 – 10x – 2x + 5;
12x + 10x + 2x = 5 – 9;
24x = –4;
x = –16.
3) (1 + 5x)2 – 5x(2 + 5x) = 0;
1 + 10x + 25x2 – 10x – 25x2 = 0;
0x = 1;
коренів немає.
4) (7 + 4x)2 = 2x(8x + 3,5);
49 + 56x + 16x2 = 16x2 + 7x;
56x – 7x = –49;
49x = –49;
x = –1.
30. Доведіть тотожність:
(x2 + y2)2 = (x2 – y2)2 + (2xy)2;
(x2 + y2)2 – (x2 – y2)2 – (2xy)2 = x4 + 2x2y2 + y4 – x4 + 2x2y2 – y4 – 4xy = 0.
Тотожність доведено.
31. Задача Діофанта. Доведіть, що для будь–яких чисел а, b, с i d виконуються тотожності:
1) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (bc – ad)2;
(a2 + b2)(c2 + d2) – (ac + bd)2 – (bc – ad)2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 – a2c2 – 2acbd – b2d2 – b2c2 + 2abcd – a2d2 = 0.
Тотожність доведено.
2) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (bc + ad)2;
(a2 + b2)(c2 + d2) – (ac – bd)2 – (bc + ad)2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 – a2c2 + 2abcd – b2d2 – b2c2 – 2abcd – a2d2 = 0.
Тотожність доведено.
32*. Спростіть вираз:
(x2 + y – 4)2 – (x2 + y – 1)(x2 + y – 8).
Нехай x2 + y – 4 = m.
m2 – (m + 4 – 1)(m + 4 – 8) = m2 – (m + 3)(m – 4) = m2 – (m2 – 4m + 3m – 12) = m2 – m2 + m + 12 = m + 12.
m + 12 = (x2 + y – 4) + 12 = x2 + y + 8.
33*. Знайдіть значення виразу:
1) a + 1a = 4,5;
(a + 1a)2 = a2 + 1a2 + 2a • 1a;
4,52 = a2 + 1a2 + 2;
a2 + 1a2 = 20,25 – 2;
a2 + 1a2 = 18,25.
2) a – 1a = 4,5.
(a – 1a)2 = a2 + 1a2 – 2a • 1a.
4,52 = a2 + 1a2 – 2;
a2 + 1a2 = 20,25 + 2;
a2 + 1a2 = 22,25.
34. Обчисліть, не користуючись калькулятором:
1) 982 – 482 = (98 – 48)(98 + 48) = 50 • 146 = 7300;
2) 2,322 – 0,682 = (2,32 – 0,68)(2,32 + 0,68) = 1,64 • 3 = 4,92;
3) 67 • 73 = (70 – 3)(70 + 3) = 702 – 32 = 4900 – 9 = 4891.
35. Запишіть замість * такий одночлен, щоб утворилась тотожність:
1) 9a2b2 – 81 = (* – 9)(* + 9);
* = 3ab;
2) (57m + 7n)2 = * + 10mn + 49n2;
* = (57m)2 = 25x49m2;
3) (113c – 6d)2 = * – 16cd + 36d2;
* = (113c)2 = (43c)2 = 169c2 = 179c2.
4) (0,6ab – 0,5x)2 = 0,36a2b2 – * + 0,25x2;
* = 2 • 0,6ab • 0,5x = 0,6abx.
36. Розв’яжіть рівняння:
1) (11 + 5x)2 – (5x – 1)2 = 0;
121 + 110x + 25x2 – 25x2 + 10x – 1 = 0;
120x = –120;
x = –1.
2) (3 + x)3 – x3 = 9x2;
33 + 3 • 32 • x + 3 • 3x2 + x3 – x3 = 9x2;
27 + 27x + 9x2 = 9x2;
27x = –27;
x = –1.
3) (4x + 5)2 – (4x + 3)2 = 0;
16x2 + 40x + 25 – 16x2 – 24x – 9 = 0;
16x = –16;
x = –1.
4) (2 – 3x)3 = 9x2(6 – 3x);
23 – 3 • 22 • 3x + 3 • 2 • (3x)2 – (3x)3 = 54x2 – 27x3;
8 – 36x + 54x2 – 27x3 = 54x2 – 27x3;
–36x = –8;
x = 836;
x = 29.
37. Доведіть, що за будь–якого натурального n значення виразу:
1) (3 + 2n)2 – (2 + 3n)2 = (3 + 2n – 2 – 3n)(3 + 2n + 2 + 3n) = (1 – n)(5n + 5) = 5(n + 1)(1 – n) ⋮ 5.
2) (4 + 2n)3 – 8n3 = 43 + 3 • 42 • 2n + 3 • 4 • (2n)2 + (2n)3 – 8n3 = 64 + 96n + 48n2 + 8n3 = 64 + 96n + 48n2 = 4(16 + 24n + 12n2) ⋮ 4.
38. Спростіть вираз двома способами:
1) (x + 3)2 – (x – 3)2;
I (x + 3)2 – (x – 3)2 = (x + 3 – x + 3)(x + 3 + x – 3) = 6 • 2x = 12x;
II (x + 3)2 – (x – 3)2 = x2 + 6x + 9 – x2 + 6x – 9 = 12x.
2) (x + 2)3 – (x – 2)3;
I (x + 2)3 – (x – 2)3 = x3 + 3x2 • 2 + 3x • 23 + 23 – (x3 – 3x2 • 2 + 3x • 23 – 23) = x3 + 6x2 + 24x + 8 – x3 + 6x2 – 24x + 8 = 12x2 + 16 = 4(3x2 + 4);
II (x + 2)3 – (x – 2)3 = (x + 2 – x + 2) • ((x + 2)2 + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)2) = 4 • (x2 + 4x + 4 + x2 – 4 + x2 – 4x + 4) 4 • (3x2 + 4).
39. Доведіть, що: 1) різниця квадратів двох послідовних натуральних чисел є непарним числом; 2) різниця квадратів двох послідовних парних натуральних чисел ділиться на 4; 3) різниця квадратів двох послідовних непарних натуральних чисел ділиться на 8.
1) n; n + 1 – послідовні натуральні числа.
n2 – (n + 1)2 = n2 – n2 – 2n – 1 = –2n – 1 = –(2n + 1) – не парне.
2) 2n; 2n + 2 – послідовні парні натуральні числа;
(2n)2 – (2n + 2)2 = 4n2 – 4n2 – 8n – 4 = –8n – 4 = –4(2n + 1) ⋮ 4
3) 2n + 1; 2n + 3 – послідовні непарні натуральні числа.
(2n + 1)2 – (2n + 3)2 = 4n2 + 4n + 1 – n2 – 12n – 9 = –8n – 8 = –8(n + 1) ⋮ 8.
40. Площа квадрата дорівнює площі прямокутника, у якого одна сторона на 3 см менша від сторони квадрата, а інша — на 4 см більша за сторону квадрата. Знайдіть сторони квадрата і прямокутника.
Sкв = Sпр; a4 – сторона квадрата; апр. < a4 на 3 см; bпр. > a4 на 4 см.
апр. – ?, bпр. – ?, а4 – ?.
Розв’язання
1) Нехай а4 = х, тоді апр. = (х – 3) см; bпр. = (х + 4) см. Sкв = х2;
Sпр = (х – 3)(х + 4).
Складаємо рівняння:
(x – 3)(x + 4) = x2;
x2 + 4x – 3x – 12 = x2;
x = 12.
12 см – сторона квадрата;
2) 12 – 3 = 9 (см) – ширина прямокутника;
3) 12 + 4 = 16 (см) – довжина прямокутника.
Відповідь: 12 см; 9 см і 16 см.
41. Сторону квадрата зменшили на 3 см, при цьому його площа зменшилась на 39 см2. Знайдіть початкову сторону квадрата.
а см – сторона куба;
а1 = (а – 3) см;
S1 = (S – 39) см2.
а – ?
Розв’язання
S = a2; S1 = a12 = (a – 3)2;
Складаємо рівняння:
(а – 3)2 = а2 – 39;
а2 – 6а + 9 = а2 – 39;
–6а = –39 – 9;
–6а = –48;
а = 8.
8 см – сторона квадрата.
Відповідь: 8 см.
42. Ребро куба зменшили на 2 см, при цьому його об’єм зменшився на 218 см3. Знайдіть початкове ребро куба.
а см – ребро куба;
а1 = (а – 2) см;
V1 = (V – 218) cм3.
а – ?
Розв’язання
V = a3; V1 = a13 = (a – 2)3.
Складаємо рівняння:
(а – 2)3 = а3 – 218;
а3 – 3а2 • 3 + 3а • 22 – 23 = а3 – 128;
–6а2 + 12а + 210 = 0|: (–6);
a2 – 2a – 35 = 0;
a2 – 7a + 5a – 35 = 0;
a(a + 5) – 7(a + 5) = 0;
(a + 5)(a – 7) = 0;
a + 5 = 0 або а – 7 = 0;
а = –5; а = 7.
7 см – ребро куба.
Відповідь: 7 см.
43. Розкладіть на множники многочлен:
1) 2b5 + 6b + 3b4 + 9 = b4(2b + 3) + 3(2b + 3) = (2b + 3)(b4 + 3);
2) (5x + 1)3 – 64x3 = (5x + 1)3 – (4x)3 = (5x + 1 – 4x)((5x + 1)2 + (5x + 1) • 4x + (4x)2) = (x + 1)(25x2 + 10x + 1 + 20x2 + 4x + 16x2) = (x + 1)(61x2 + 14x + 1);
3) x5y2 – 5x3 + 35 – 7x2y2 = x2y2(x3 – 7) – 5(x3 – 7) = (x3 –7)(x2y2 – 5)
4) (–4a + 3xy)3 + 8x3y3 = (3xy – 4a)3 + (2xy)3 = (3xy – 4a+ 2xy)((3xy – 4a)2 – (3xy – 4a) • 2xy + 4x2y2) = (5xy – 4a)(9x2y2 – 24axy + 16a2 – 6x2y2 + 8axy + 4x2y2) = (5xy – 4a)(7x2y2 – 16axy + 16a2).
44. Дано три послідовні натуральні числа. Доведіть, що добуток першого і третього числа дорівнює квадрату другого числа, зменшеного на 1.
n; n + 1; n + 2 – натуральні числа.
n • (n + 2) = (n + 1)2 – 1;
n2 + 2n = n2 + 2n + 1 – 1;
n2 + 2n = n2 + 2n.
Тотожність доведено.
Розділ 4. ФУНКЦІЇ
1. Дано функції. Порівняйте:
f(x) = –3x2 + 5x + 1; g(x) = 2 + x2 + 3x;
1) f(1) < g(1).
f(1) = –3 • 12 + 5 • 1 + 1 = –3 + 5 + 1 = 3;
g(1) = 2 + 12 + 3 • 1 = 2 + 1 + 3 = 6.
2) f(2) < g(–2);
f(2) = –3 • 22 + 5 • 2 + 1 = –12 + 10 + 1 = –1;
g(–2) = 2 + 2 • (–2)2 + 3 • (–2) = 2 + 8 – 6 = 4.
3) f(–1) < g(0);
f(–1) = –3 • (–1)2 + 5 • (–1) + 1 = –3 – 5 + 1 = –7;
g(0) = 2 + 02 + 3 • 0 = 2 + 0 + 0 = 2.
2. Розв’яжіть рівняння
f(x) = 0;
1) f(x) = 5x + 1;
5x + 1 = 0;
5x = –1;
x = –0,2.
| 2) f(x) = 5|x| – 1;5|x| –1 = 0;5|x| = 1;|x| = 0,2;x = –0,2 або x = 0,2. | 3) f(x) = 5|x| + 1;5|x| + 1 = 0;5|x| = –1;|x| = –0,2. |
3. Розв’яжіть рівняння
f(x) = g(2) ;
1) f(x) = 2x – 3; g(x) = 3x – 1.
g(2) = 3 • 2 – 1 = 6 – 1 = 5;
2x – 3 = 5;
2x = 8;
x = 4.
2) f(x) = 2|x| + 1, g(x) = 5x – 7.
g(2) = 5 • 2 – 7 = 10 – 7 = 3;
2|x| + 1 = 3;
2|x| = 2;
|x| = 1.
x = –1 або x = 1.
4. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою:
1) y = –42x-5;
2x – 5 ≠ 0;
2x ≠ 5;
x ≠ 2,5.
Відповідь: х – будь–яке число, крім 2,5.
2) y = x2 + 4x + 2;
x ≠ 0.
Відповідь: х – будь–яке число, крім 0.
3) y = 5x+23 + 35x-2.
5x – 2 ≠ 0;
5x ≠ 2;
x ≠ 0,4
Відповідь: х – будь–яке число, крім 0,4.
5. Знайдіть область значень функції, заданої формулою:
1) y = –5x2;
x2 ≥ 0;
–5x2 ≤ 0;
y ≤ 0.
| 2) y = –x2 + 3;x2 ≥ 0;–x2 ≤ 0;–x2 + 3 ≤ 3;y ≤ 3. | 3) y = 4x2 – 2;x2 ≥ 0;4x2 ≥ 0;4x2 – 2 ≥ –2;y ≥ –2. |
6. Чи проходить через початок координат графік функції:
| 1) y = x2; (0; 0).0 = 02;0 = 0. Так. | 2) у = –6х + 1,4; (0; 0) ;0 = –6 • 0 + 1,4;0 ≠ 1,4. Ні. |
| 3) у = –8; (0; 0).0 ≠ –8. Ні. | 4) у = –411х;0 = –411 • 0;0 = 0. Так. |
7. Чи належить графіку функції точка:
у = –2х2 + 3х + 1.
1) А (–1; –4): –4 = –2 • (–1)2 + 3 • (–1) + 1;
–4 = –2 – 3 + 1;
–4 = –4. Так.
2) В(1; 0): 0 = –2 • 12 + 3 • 1 + 1;
0 = –2 + 3 + 1;
0 ≠ 2. Ні.
3) С(0; 1): 1 = –2 • 02 + 3 • 0 + 1;
1 = 1. Так.
4) D(2; –1): –1 = –2 • 22 + 3 • 2 + 1;
–1 = –8 + 6 + 1;
–1 = –1. Так.
8. Побудуйте графік функції:
| 1) y = 3x – 4;x12y–12 | |
| 2) y = 0,5x – 1,5;x13y–10 |
| 3) y = –2x + 3.x01y31 | |
| 4) y = 56x x –23x045 y–230 |
9. He виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції:
1) y = 3x – 11;
З віссю Оу: (0; у);
у = 3 • 0 – 11 = –11;
(0; –11).
З віссю Ох: (х; 0) ;
3х – 11 = 0;
3х = 11;
х = 113;
х = 323.
(323; 0).
2) у = –3,5х + 14.
З віссю Оу: (0; у);
у = –3,5 • 0 + 14 = 14;
(0; 14).
З віссю Ох: (х; 0).
–3,5х + 14 = 0;
–3,5х = –14;
х = 4;
(4; 0).
3) у = –2,4х + 3,6;
З віссю Оу: (0; у).
у = –2,4 • 0 + 3,6 = 3,6;
(0; 3,6).
З віссю Ох: (х; 0);
–2,4х + 3,6 = 0;
–2,4х = –3,6;
х = 1,5.
(1,5; 0).
10. На малюнках 2—7 зображено графіки лінійних функцій, заданих формулою у = ах + b. Визначте знаки коефіцієнтів а і b.
y = ax + b.
мал. 2; a > 0, b < 0;
мал. 3; a < 0, b < 0;
мал. 4; a > 0, b < 0;
мал. 5; a > 0, b > 0;
мал. 6; a < 0, b > 0;
мал. 7; a = 0, b > 0.
11. Знайдіть координати точки графіка функції у = 4x + 12, якщо:
1) абсциса й ордината точки рівні між собою; 2) абсциса й ордината точки є протилежними числами; 3) сума абсциси й ординати точки дорівнює 10.
y = 4x + 12;
| 1) x = y;y = 4y + 12;y – 4y = 12;–3y = 12;y = –4.(–4; –4). | 2) x = –y;y = 4 • (–y) + 12;y + 4y = 12;5y = 12;y = 2,4.(–2,4; 2,4). |
3) x + y = 10;
x = 10 – y;
y = 4(10 – y) + 12;
y = 40 – 4y + 12;
y + 4y = 52;
5y = 52;
y = 10,4;
x = 10 – 10,4 = –0,4.
(–0,4; 10,4).
12. Знайдіть значення а і b.
y = ax + b; A(1; –3) i B(2; 2).
a – ? b – ?
Розв’язання
A(1; –3): –3 = a • 1 + b;
–3 = a + b;
a = –3 – b.
B(2; 2): 2 = a • 2 + b;
2a + b = 2;
2(–3 – b) + b = 2;
–6 – 2b + b = 2;
–b = 2 + 6;
b = –8.
a = –3 + 8 = 5.
Відповідь: а = 5; b = –8.
13. Знайдіть значення k і b.
y = kx + b; A(1; 21) K = НСД(168; 360)
k – ? b – ?
Розв’язання
НСД(168; 360) = 23 • 3 = 24;
| 16884422171 | 2 3602 1802 903 457 15 5 1 | 222335 |
A(1; 21): 21 = k • 1 + b;
21 = k + b.
k = 24, тоді 21 = 24 + b;
b = 21 – 24;
b = –3.
Відповідь: k = 24; b = –3.
14. Задайте формулою функцію, графік якої є прямою, що паралельна осі OX і проходить через точку M (а; b). Накресліть у зошиті таблицю 9 та заповніть її.
Таблиця 9
y = ax + b; M(a; b); a = 0.
y = b – шукана функція.
| M(a; b) | (2; 2) | (3; –3) | (–1; 2,5) | (–13; 37) |
| a | 2 | 3 | –1 | –13 |
| b | 2 | –3 | 2,5 | 37 |
| Функція | у = 2 | у = –3 | у = 2,5 | у = 37 |
15. Чи належить графіку функції точка:
у = |2x – 1| – 2.
1) A(1; –1): –1 = |2 • 1 – 1| – 2;
–1 = |1| – 2;
–1 = 1 – 2;
–1 = –1. Так.
2) B(1; 1): 1 = |2 • 1 – 1| – 2;
1 = |1| – 2;
1 = 1 – 2;
1 ≠ –1. Ні.
3) С(–1; –5): –5 = |2 • (–1) –1| –2;
–5 = |–3| – 2;
–5 = 3 – 2;
–5 ≠ 1. Ні.
4) D(–1; 1): 1 = |2 • (–1) – 1| – 2;
1 = |–3| –2;
1 = 3 – 2.
1 = 1. Так.
16. Знайдіть область значень функції:
| 1) у = |x| – 4;|x| ≥ 0;|x| – 4 ≥ –4;y ≥ –4.3) y = 3|x|;|x| ≥ 0;3|x| ≥ 0;y ≥ 0. | 2) y = |x| + 2;|x| ≥ 0;|x| + 2 ≥ 2;y ≥ 2.4) y = –5|x| + 1;|x| ≥ 0;–5|x| + 1 ≤ 1;y ≤ 1. |
17*. Побудуйте графік функції:
1) y = |x| – 2;
Підмодульні нулі: х = 0;
I. x < 0; II. x ≥ 0
y = –x – 2; y = x – 2.
y = –x – 2, якщо x < 0;
x – 2, якщо х ≥ 0;
| х–101у–1–2–1 |
2) у = |x – 1| – 2
Підмодульні нулі: х – 1 = 0;
х = 1;
I. x < 1;
y = –(х – 1) – 2 = –х + 1 – 2 = –х – 1;
II. x ≥ 1;
y = x – 1 – 2 = х – 3;
y = –x – 1, якщо x < 1;
x – 3, якщо х ≥ 1;
| х012у–1–2–1 |
3) у = –|x| + 2.
Підмодульні нулі: х = 0.
I. x < 0 II. x ≥ 0
y = x + 2; y = –x + 2.
y = x + 2, якщо x < 0;
–x + 2, якщо х ≥ 0.
| х–101у121 |
4) у = |x + 1| + 2;
Підмодульні нулі: х + 1 = 0;
х = –1.
I. x < –1;
y = –(х + 1) + 2 = –х – 1 + 2 = –х + 1;
II. x ≥ –1;
y = x + 1 + 2 = х + 3;
y = –x + 1, якщо x < –1;
x + 3, якщо х ≥ –1.
| х–2–10у323 |
18*. Побудуйте графік функції:
–2, якщо х ≤ –1;
у = х – 1, якщо –1 ≤ х < 1;
4x – 4, якщо х ≥ 1.
| x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 |
| y | –2 | –2 | –1 | 0 | 4 |
19*. Побудуйте графік функції:
1) y = 2|x| – 1;
Підмодульні нулі: х = 0.
I. x < 0; II. x ≥ 0;
y = 2 • (–х) – 1 = –2х – 1. y = 2x – 1.
y = –2x – 1, якщо x < 0;
2x – 1, якщо х ≥ 0.
| х–101у1–11 |
2) y = –2|x – 1| – 1.
Підмодульні нулі: х – 1 = 0;
х = 1.
I. x < 1;
y = 2(х – 1) – 1 = 2х – 2 – 1 = 2х – 3;
II. x ≥ 1;
y = –2(х – 1) – 1 = –2х + 2 – 1 = –2х + 1.
y = 2x – 3, якщо x < 1;
–2x + 1, якщо х ≥ 1;
| х012у–3–1–3 |
3) у = 12|x| – 1.
Підмодульні нулі: х = 0;
I. x < 0; II. x ≥ 0;
y = –12х – 1. y = 12x – 1.
y = –12x – 1, якщо x < 0;
12x – 1, якщо х ≥ 0;
| х–202у0–10 |
4) у = |x + 1| + 2;
Підмодульні нулі: х + 1 = 0;
х = –1.
I. x < –1;
y = –(х + 1) + 2 = –х – 1 + 2 = –х + 1;
II. x ≥ 1;
y = х + 1 + 2 = х + 3.
y = –x + 1, якщо x < –1;
x + 3, якщо х ≥ –1.
| х–2–10у323 |
20*. Побудуйте графік функції:
1) у = |x + 1| + |x – 2|;
Підмодульні нулі:
х + 1 = 0; х – 2 = 0;
х = –1; х = 2.
I x < –1;
y = –(x + 1) – (x – 2) = –x – 1 – x + 2 = –2x + 1.
II. –1 ≤ x ≤ 2;
y = x + 1 – (x – 2) = x + 1 – x + 2 = 3.
III. x > 2;
y = x + 1 + x – 2 = 2x – 1;
–2x, якщо х < –1;
y = 3, якщо –1 ≤ х ≤ 2;
2х – 1, якщо х > 2.
| x–2–123y5335 |
2) y = |x – 3| – |x + 1|
Підмодульні нулі:
х – 3 = 0; х + 1 = 0;
х = 3. х = –1.
I. x < –1;
y = –(x – 3) – (x + 1) = –x + 3 + x + 1 = 4.
II. –1 ≤ x ≤ 3;
y = –(х – 3) + (х + 1) = –х + 3 – х – 1 = –2х + 2.
III. x > 3;
y = x – 3 – (х + 1) = х – 3 – х – 1 = –4.
4, якщо х < –1;
y = –2х + 2, якщо –1 ≤ х ≤ 3;
–4, якщо х > 2.
| x–2–134y44–4–4 |
21*. На малюнках 8, 9 зображено графіки лінійних функцій. Задайте формулами ці функції.
мал.8
b = 3; M (1; 1).
y = ax + b;
M(1; 1): 1 = a • 1 + 3;
a + 3 = 1;
a = –2.
y = –2x + 3 – шукана функція.
Мал. 9.
b = –2; M (3; 0).
y = ax + b;
M(3; 0): 0 = a • 3 – 2;
3a – 2 = 0;
3a = 2;
a = 23.
y = 23x – 2 – шукана функція.
22. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю,
а її графік проходить через точку N (а; b). Накресліть у зошиті таблицю 10 та заповніть її.
Таблиця 10. y = ax; N(a; b).
| N(a; b) | (–2; 1) | (4; 8) | (–1; –3,5) | (–314; 37) |
| a | –2 | 4 | –1 | –314 |
| b | 1 | 8 | –3,5 | 37 |
| Функція | y = –0,5x | y = 2x | y = 3,5x | y = –2x |
N(–2; 1): 1 = a • (–2).
a = –12.
N(4; 8): 8 = a • 4.
a = 2.
N(–1; –3,5): –3,5 = a • (–1).
a = 3,5.
N(–314; 37): 37 = a • (–314);
a = 37 : (–314);
a = 37 • (–143);
a = –2.
23. Побудуйте графік функції:
| 1) y = x;x01y01 | |
| 2) y = –3xx01y0–3 | |
| 3) y = 0,25x;x04y01 |
24. Знайдіть область визначення і область значень функції:
| 1) y = 59x;x – будь–яке число;у – будь–яке число. | 2) у = 2|x|;x – будь–яке число.|x| ≥ 0;2|x| ≥ 0;y ≥ 0. |
| 3) y = –711x;x – будь–яке чило;у – будь–яке чило. | 4) у = –23|x|;x – будь–яке чило;|x| ≥ 0;–23|x| ≤ 0;y ≤ 0. |
25*. Побудуйте графік функції:
1) y = |x3|;
Підмодульні нулі: х3 = 0; х = 0
I. x < 0; II. x ≥ 0;
y = –x3. y = x3.
y = –x3, якщо х < 0;
x3, якщо х ≥ 0.
| х–303у101 |
2) у = –3|x|;
Підмодульні нулі: х = 0;
I. x < 0; II. x ≥ 0;
y = –3 • (–х) = 3х. y = –3 • х = –3х.
y = 3х, якщо х < 0;
–3х, якщо х ≥ 0.
| х–101у–30–3 |
3) y = –2|x| + x;
Підмодульні нулі: х = 0.
I. x < 0;
y = –2 • (–x) + x = 2x + x = 3x.
II. x ≥ 0;
y = –2 • x + x = –2x + x = –x.
y = 3x, якщо x < 0;
–x, якщо х ≥ 0.
| х–101у–30–1 |
26. На малюнках 10 –12 зображено графіки лінійних функцій, заданих формулою у = ах. Визначте знак коефіцієнта а.
a > 0, (мал. 10); а = 0, (мал. 12).
a < 0, (мал. 11);
27. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю,
якщо її графік проходить через точку, ордината якої у 5 разів менша від відповідної абсциси. Побудуйте графік одержаної функції.
у = ах; М(х; у); х = 5у.
Тоді М(5у; у).
у = а • 5у;
а = 95у;
а = 0,2, у = 0,2х – шукана функція.
| х05у01 |
28. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю,
якщо її графік проходить через точку, абсциса якої у 2,5 рази більша за відповідну ординату. Побудуйте графік одержаної функції.
у = ах; М(х; у); х = 2,5у
Тоді М(2,5у; у).
у = а • у2,5у;
а = 0,4, у = 0,4х – шукана функція.
| х05у02 |
29. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю,
якщо її кутовий коефіцієнт дорівнює середньому арифметичному всіх непарних додатних одноцифрових чисел. Побудуйте графік.
у = ах; а = 1+3+5+7+95 = 255 = 5.
у = 5х – шукана функція.
| х01у05 |
30. Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю,
якщо її кутовий коефіцієнт є числом, протилежним до 221 від суми всіх двоцифрових чисел, кратних числу 7 і менших від числа 31.
Побудуйте графік одержаної функції.
у = ах; а = –(221(14 + 21 + 28)) = –(221 • 63) = –6.
у = –6х – шукана функція.
| х01у0–6 |
Розділ 5. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ TA ЇХ СИСТЕМИ
1. Чи є рівносильними рівняння:
| 1) 5х – 7 = 2х + 9; і5х – 2х = 9 + 7;5х = 16;х = 163;Так. | 5х – 2х = 9 + 7;3х = 16;х = 163. |
| 2) 7 – 2у = 6у – 18;–2у – 6у = –18 – 7;–8у = –25;у = 258;Ні. | 2у – 6у = –18 – 7;–4у = –25;у = 254. |
2. Знайдіть корінь рівняння:
| 1) 7 – 3х – 3 = 10 – 4х;–3х + 4х = 10 – 7 + 3;х = 6. | 2) 5 + 2у – 6 = 5у + 8;2у – 5у = 8 – 5 + 6;–3у = 9|: (–3) ;y = –3. |
| 3) –1,2x + 5 = 3 – 0,4x;–1,2x + 0,4x = 3 – 5;–0,8x = –2|: (–0,8) ;x = 2,5. | 4) 1,5y – 4 = 5 + 0,9y;1,5y – 0,9 = 5 + 4;0,6y = 9|: 0,6;y = 15. |
3. Розв’яжіть рівняння:
1) 2(x – 5,5) + 4 = 7,5 – 3,5(2x – 1);
2x – 11 + 4 = 7,5 – 7x + 3,5;
2x + 7x = 7,5 + 3,5 + 11 – 4;
9x = 18;
x = 2.
2) 8 – 1,5(3x + 2) = 23(4 – 6x);
8 – 4,5x – 3 = 83 – 4x;
–4,5 + 4x = 83 – 8 + 3;
–0,5x = 223 – 5;
–12x = –213|: (–12);
x = 143;
x = 423.
3) 0,8(3 – 10y) = 12 – 2,5(3y – 5);
2,4 – 8y = 12 – 7,5y + 12,5;
–8y + 7,5y = 24,5 – 2,4;
–0,5y = 22,1|: (–0,5);
y = –44,2.
4) y+32 – 2y = –y – (1 – 6-2y3);
y+32 – 2y = –y – 1 + 6-2y3| • 6;
3(y + 3) – 12y = –6y – 6 + 2(6 – 2y);
3y + 9 – 12y = –6y – 6 + 12 – 4y;
–9y + 6y + 4y = 6 – 9;
y = –3.
4. Доведіть, що: 1) рівняння має один корінь; 2) рівняння не має коренів.
1) (x + 3)(x – 2) – (3 + x)2 = 9;
x2 – 2x + 3x – 6 – 9 – 6x – x2 = 9;
–5x = 9 + 6 + 9;
–5x = 24;
x = –245;
x = –4,8.
2) 5y(y + 2) = (2y + 1)2 + y2 + 6y;
5y2 + 10y = 4y2 + 4y + 1 + y2 + 6y;
10y – 4y – 6y = 1;
0y = 1.
не має коренів.
5. У двох 7–х класах навчається 55 учнів, причому в 7–А класі на 3 учні більше, ніж у 7–Б. Скільки учнів навчається в кожному класі?
7 – А – ?, на 3 учн. > 55 учн.
7 – Б – ?
Розв’язання
Нехай в 7 – Б класі навчається х учнів, тоді в 7 – А класі – (х + 3) учнів.
Складаємо рівняння:
х + 3 + х = 55;
2х = 52;
х = 26;
26 учн. – в 7 – Б класі;
26 + 3 = 29 (учн.) – в 7 – А класі;
Відповідь: 29 учн.; 26 учн.
6. У трьох кошиках 125 яблук. У другому кошику на 20 яблук менше, ніж у першому, і на 15 яблук більше, ніж у третьому. Скільки яблук у кожному кошику?
І – ?
ІІ – ?, на 20 ябл. < ; на 15 ябл. > 125 ябл.
ІІІ – ?
Розв’язання
1) Нехай у ІІ кошику х яблук, тоді в І кошику (х + 20) ябл., а в ІІІ –
(х – 15) ябл.
Складаємо рівнянн:
х + 20 + х + х – 15 = 125;
3х = 125 – 20 + 15;
3х = 120;
х = 40.
40 ябл. – у ІІ кошику;
2) 40 + 20 = 60 (ябл.) – у І кошику;
3) 40 – 15 = 25 (ябл.) – у ІІІ кошику.
Відповідь: 60 ябл.; 40 ябл.; 25 ябл.
7. Одна сторона прямокутника утричі більша за іншу. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 24 см.
Ширина – ?
Довжина – ?, в 3 р. >
Р = 24 см.
Розв’язання
1) Нехай ширина прямокутника х см, тоді довжина – 3х см.
Складаємо рівняння:
2(х + 3х) = 24;
8х = 24;
х = 3.
3 см – ширина прямокутника.
2) 3 • 3 = 9 (см) – довжина прямокутника.
Відповідь: 3 см і 9 см.
8. Відстань між пунктами A i B дорівнює 390 км. Два автобуси одночасно виїхали із цих пунктів назустріч один одному і зустрілись через 3 год. Знайдіть швидкість кожного автобуса, якщо швидкість одного з них на 10 км/год менша від швидкості іншого.
| U | t | S |
| І – ?, на 10 км/год < | 3 год ? | |
| 390 км | ||
| ІІ – ? | 3 год ? |
Розв’язання
1) Нехай швидкість І автобуса х км/год, тоді швидкість ІІ автобуса (х + 10) км/год. Складаємо рівняння:
3(х + х + 10) = 390;
3(2х + 10) = 390| : 3;
2x + 10 = 130;
2x = 130 – 10;
2x = 120;
x = 60;
60 км/год – U І автобуса.
2) 60 + 10 = 70 (км/год) – U ІІ автобуса
Відповідь: 60 км/год; 70 км/год.
9. Знайдіть три послідовні натуральні числа, якщо їх сума дорівнює 906.
х; х + 1; х + 2 – натуральні числа;
х + х + 1 + х + 2 = 906;
3х = 903;
х = 301 – І число;
301 + 1 = 302 – ІІ число;
301 + 2 = 303 – ІІІ число.
Відповідь: 301; 302; 303.
10. Для даного рівняння заповніть таблицю 11.
Таблиця 11
| Лінійне рівняння | х – у + 7 = 0 | 2х + у – 6 = 0 | х – 2у + 10 = 0 |
| виразити у через х | у = х + 7 | у = –2х + 6 | у = 0,5х + 5 |
| виразити х через у | х = у – 7 | х = –0,5у + 3 | х = 2у – 10 |
| 1) х – у + 7 = 0;–у = –х – 7;у = х + 7. | 2) 2х + у – 6 = 0;2х = –у + 6;х = –0,5у + 3. |
| 3) х – 2у + 10 = 0;–2у = –х – 10|: (–2);y = 0,5x + 5. |
11. У рівнянні 4х – 2у + 5 = 0 виразіть змінну: 1) у через змінну х;
2) х через змінну у. Знайдіть два будь–які розв’язки цього рівняння.
4x – 2y + 5 = 0;
1) у через змінну х:
–2у = –4х – 5|: (–2);
y = 2x + 2,5.
2) x через змінну у:
4х = 2у – 5|: 4;
x = 0,5y – 1,25.
12. Побудуйте графік рівняння
| 1) 2x – y + 3 = 0;–y = –2x – 3|: (–1);y = 2x + 3.x01y35 | |
| 2) 5x – 2y = 0;2y = 5x|: 2;y = 2,5x.x02y05 | |
| 3) –3x – y + 4 = 0;–y = 3x – 4|: (–1);y = –3x + 4.x01y41 | |
| 4) –x + 2y – 8 = 0;2y = x + 8|: 2;y = 0,5x + 4.x02y45 |
13. До рівняння 2х – у + 3 = 0 доберіть інше рівняння так, щоб одержана система двох лінійних рівнянь із двома змінними: 1) мала один розв’язок; 2) не мала розв’язків; 3) мала безліч розв’язків.
1) система має 1 розв’язок:
а1a2 ≠ b1b2;
2x – y + 3 = 0;
3x + y + 4 – 0.
2) cистема не має розв’язків:
а1a2 = b1b2 ≠ с1с2;
2x – y + 3 = 0;
4x – 2y – 5 = 0.
3) cистема має безліч розв’язків:
а1a2 = b1b2 = с1с2;
2x – y + 3 = 0;
6x + 3y – 9 = 0.
14. Розв’яжіть графічно систему двох лінійних рівнянь із двома змінними:
1) x – y = 0;
2x – y – 6 = 0.
| x – y = 0;y = x.x01y01 | 3x – y – 6 = 0;–y = –3x + 6;y = 3x – 6.x12y–30 |
Відповідь: (3; 3).
2) 2x + y = 0;
4x + y – 2 = 0.
| 2x + y = 0;y = –2x.x01y0–2 | 4x + y – 2 = 0;y = –4x + 2.x01y2–2 |
Відповідь: (1; –2).
3) x – 3y – 1 = 0;
x – 3y + 1 = 0.
| x – 3y – 1 = 0;–3y = –x + 1|: (–3).y = 13x – 13; | x – 3y + 1 = 0;–3y = –x – 1|: (–3).y = 13x + 13; |
| x01y–130 | x0–1y13 0 |
Відповідь: не мє розв’язків.
4) x + 2y – 4 = 0;
–2x – 4y + 8 = 0.
| x + 2y – 4 = 0;2y = –x + 4|: 2;y = –12x + 2. | –2x – 4y + 8 = 0.–4y = 2x – 8|: (–4);y = –12x + 2. |
| x04y20 | x04y20 |
Відповідь: безліч розв’язків.
15. Розв’яжіть систему рівнянь:
| 1) + 2х – у = 1; х + у = –4;3х = –3;х = –1;–1 + у = –4у = –3. х = –1; у = –3;Відповідь: (–1; 3).3) + 2х – у = 1; х + у = –4;3х = –3;х = –1;–1 + у = –4;у = –3; х = –1; у = –3.Відповідь: (–1; –3).5) 3х – 2у = 1; 2х + у = 3|• 2;+ 3х – 2у = 1; 4х + 2у = 6;7х = 7;З = 1;4 • 1 + 2у = 6;у = 1; х = 1. у = 1.Відповідь: (1; 1). | 2) 3х – 2у = 14; 2х + у = 7|• 2; + 3х – 2у = 14; 4х + 2у = 14; 7х = 28; х = 4.2 • 4 + у = 7;у = –1.х = 4;у = –1.Відповідь: (4; –1).4) + 3х + у = –1; х – у = 5;4х = 4;х = –1;1 – у = 5;у = –4.х = 1.у = –4.Відповідь: (1; –4).6) 5х – 3у = 11; 3х + у = 1|• 3; 5х – 3у = 11; 9х + 3у = 3;14х = 14;х = 1. 3 • 1 + у = 1; у = –2; х = 1. у = –2.Відповідь: (1; –2). |
16. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) х2 – у3 = 0|• 6;
2х – у = 2|• (–2);
+ 3х – 2у = 0;
4х + 2у = –4;
–х = –4;
х = 4;
2 • 4 – у = 2;
у = 6.
х = 4;
у = 6;
Відповідь: (4; 6).
2) х4 – у5 = 0|• 20;
2х + у = 26|• 4;
+ 5х – 4у = 0;
8х + 4у = 104;
13х = 104;
х = 8.
у = 26 – 16;
у = 10;
х = 8.
у = 10.
Відповідь: (8; 10).
3) х+34 – у+22 = 0|• 4;
3х + у = 1;
х + 3 – 2(у + 2) = 0;
3х + у = 1;
х + 3 – 2у – 4 = 0;
3х + у = 1|• 2;
+ х – 2у = 1;
6х + 2у = 2;
7х = 3;
х = 37;
3 • 37 • у = 1;
у = 1 – 97;
у = –27;
х = 37;
у = –27.
Відповідь: (37; –27).
4) 2-х3 – у+66 = 0|• 6;
х + 2у = –1;
2(2 – х) – (у + 6) = 0;
х + 2у = –1;
4 – 2х – у – 6 = 0;
х + 2у = –1|• 2;
+ –2х – у = 2;
2х + 4у = –2;
3у = 0;
у = 0;
х + 2 • 0 = –1;
х = –1.
х = –1.
у = 0.
Відповідь: (–1; 0).
17. Сума двох чисел дорівнює 55, а їх різниця — 5. Знайдіть ці числа.
+ х + у = 55;
х – у = 5;
2х = 60;
х = 30;
30 + у = 55;
у = 25.
Відповідь: 30 і 25.
18. Сума двох чисел дорівнює 100. Знайдіть ці числа, якщо одне з них на 10 більше за інше.
+ х + у = 100;
х – у = 10;
2х = 110;
х = 55.
55 + у = 100;
у = 45.
Відповідь: 55 і 45.
19. Різниця двох чисел дорівнює 15. Знайдіть ці числа, якщо одне з них у 4 рази більше за інше.
х – у = 15;
х = 4у;
4у – у = 15;
3у = 15;
у = 5.
х = 4 • 5;
х = 20.
Відповідь: 20 і 5.
20. Сума двох чисел дорівнює 33. Якщо від подвоєного першого числа віднімемо друге число, то одержимо 12. Знайдіть ці числа.
+ х + у = 33;
2х – у = 12;
3х = 45;
х = 15.
15 + у = 33;
у = 18.
Відповідь: 15 і 18.
21. Різниця двох чисел дорівнює 10. Якщо до першого числа додамо подвоєне друге число, то одержимо 31. Знайдіть ці числа.
х + у = 10|• 2;
х + 2у = 31;
+ 2х – 2у = 20;
х + 2у = 31;
3х = 51;
х = 17.
17 – у = 10;
у = 7.
Відповідь: 17 і 7.
22. Дано два числа. Сума подвоєного першого числа і другого числа дорівнює 17. Сума подвоєного другого числа і першого числа дорівнює 19. Знайдіть ці числа.
2х + у = 17;
х + 2у = 19|• (–2);
+ 2х + у = 17;
–2х – 4у = –38;
–3у = –21;
у = 7.
х + 2 • 7 = 19;
х = 5.
Відповідь: 5 і 7.
23. Дано два числа. Сума цих чисел дорівнює 180. Якщо одне із цих чисел зменшимо у 2 рази, а інше число збільшимо у 2 рази, то в сумі одержимо число 115. Знайдіть ці числа.
х + у = 180;
12х + 2у = 115|• (–2);
+ х + у = 180;
–х – 4у = –230;
–3у = –50;
у = 1623;
х + 1623 = 180;
х = 180° – 1623;
х = 16313.
Відповідь: 16313 і 1623.
24. Знайдіть дріб, який набуває значення 34, якщо його чисельник збільшити на 6, і набуває значення 12, якщо його знаменник зменшити на 2.
Нехай дріб дорівнює ху.
Складаємо систему рівнянь.
х+6у = 34;
ху-2 = 12;
4х + 24 = 3у;
2х = у – 2;
4х – 3у = –24;
2х – у = –2|• (–2);
+ 4х – 3у = –24;
–4х + 2у = 4;
–у = –20;
у = 20.
2х = 20 – 2;
2х = 18;
х = 9.
Відповідь: 920.
25. Якщо чисельник дробу помножимо на 2, а від знаменника віднімемо 2, то одержимо 2. Якщо ж від чисельника віднімемо 4, а знаменник помножимо на 4, то одержимо 112. Знайдіть цей дріб.
Нехай дріб дорівнює ху. Складаємо систему рівнянь.
2ху-2 = 2;
х-44у = 112;
2х = 2у – 4;
12х – 48 = 4у;
2х – 2у = –4|• (–2);
12х – 4у = 48;
–4х + 4у = 8;
12х – 4у = 48;
8х = 56;
х = 7.
2 • 7 = 2у – 4;
2у = 14 + 4;
2у = 18;
у = 9.
Відповідь: 79.
26. За 5 кг печива і 3 кг цукерок заплатили 135 грн. Скільки гривень коштує 1 кг печива, якщо він дешевший від 1 кг цукерок на 13 грн?
| Ціна | Кількість | Вартість |
| П. – ?, на 13 грн < | 5 кг | ? |
| 135 грн. | ||
| Ц. – ? | 3 кг | ? |
Розв'язання
Нехай за 1 кг печива заплатили з грн, тоді за 1 кг цукерок (х + 13) грн.
Складаємо рівняння:
5х + 3(х + 13) = 135;
5х + 3х + 39 = 135;
8х = 96;
х = 12.
12 грн – коштує 1 кг печива.
Відповідь: 12 грн.
27. Легковий автомобіль за 3,5 год проїхав ту саму відстань, що й вантажний за 5 год. Знайдіть їхні швидкості, якщо швидкість легкового автомобіля на 30 км/год більша за швидкість вантажного.
| U | t | S |
| Л. – ? на 30 км/год > | 3,5 год | ? |
| однаково | ||
| В. – ? | 5 год | ? |
Розв'язання
Нехай U вантажного автомобіля х км/год, а U легкового – (х + 30) км/год. Складаємо рівняння:
5х = 3,5(х + 30);
5х = 3,5х + 105;
5х – 3,5х = 105;
1,5х = 105;
х = 70.
70 км/год – U вантажного автомобіля 70 + 30 = 100 (км/год) – U легкового автомобіля.
Відповідь: 70км/год; 100 км/год.
28. Два автомобілі виїхали одночасно з двох міст, відстань між якими дорівнює 225 км, і зустрілися через 1,5 год. З якою швидкістю їхав кожний автомобіль, якщо перший проїхав до зустрічі
на 15 км більше, ніж другий?
| U | t | S |
| І – ? км/год | 1,5 год | ?, на 15 км > |
| 225 км | ||
| ІІ – ? км/год | 1,5 год | ? |
Розв'язання
Нехай U1 = х км/год, U2 = у км/год. Складаємо рівняння:
+ 1,5х – 1,5у = 15;
1,5х + 1,5у = 225;
3х = 240;
х = 80.
1,5 • 80 – 1,5у = 15;
120 – 1,5у = 15;
–1,5у = –105;
у = 70.
U1 = 80 км/год; U2 = 70 км/год.
Відповідь: 80 км/год; 70 км/год.
29. Катер пропливає відстань між двома містами за 4 год за течією річки і за 6 год проти течії. Знайдіть швидкість катера і швидкість течії, якщо відстань між селами дорівнює 60 км.
| U | t | S |
| За теч. – ? км/год | 4 год | 60 км |
| Проти теч. – ? км/год | 6 год | 60 км |
Розв'язання
Нехай Uк. = х км/год, Uтеч. = у км/год.
Складаємо рівняння:
4(х + у) = 60;
6(х – у) = 60;
4х + 4у = 60|• 6;
6х – 6у = 60|• 4;
+ 24х + 24у = 360;
24х – 24у = 240;
48х = 600
х = 12,5;
4 • 12,5 + 4у = 60;
4у = 60 – 50;
4у = 10;
У = 2,5ю
Uк. = 12,5 км/год; Uтеч. = 2,5 км/год.
Відповідь: 12,5 км/год; 2,5 км/год.
30. Із пункту до пункту виїхав легковий автомобіль зі швидкістю 90 км/год. У цей самий час вантажний автомобіль, що рухався в тому самому напрямку зі швидкістю 70 км/год, вже проїхав 100 км шляху. До пункту автомобілі прибули одночасно. Знайдіть відстань між пунктами А і В, якщо відомо, що різниця між часом, який перебував у дорозі кожний автомобіль, становить 2 год.
| U | t | S |
| Л. – 90 км/год | ? | ? |
| В. – 70 км/год | ?, на 2 год > | ? на 100 км > |
Розв'язання
Нехай відстань між пунктами А і В дорівнює x км.
Складаємо рівняння:
10070 + х-10070 – х90 = 2;
х70 – х90 = 2|• 630;
9х – 7х = 1260;
2х = 1260;
х = 630.
Відповідь: 630 км.
31. За 2 год за течією річки і 1 год проти течії моторний човен проходить 63 км, а за 1 год за течією і 2 год проти течії — 57 км. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії.
| U | t | S |
| За теч. – ? км/год | 2 год | ? |
| 63 км | ||
| Проти теч. – ? км/год | 1 год | ? |
| U | t | S |
| За теч. – ? км/год | 1 год | ? |
| 57 км | ||
| Проти теч. – ? км/год | 2 год | ? |
Uвл. – ? Uтеч. – ?
Розв'язання
Нехай Uза теч. = х км/год,
Uпроти теч. = у км/год.
Складаємо систему рівнянь:
2х + у = 63;
х + 2у = 57|• (–2);
2х + у = 63;
–2х – 4у = –114;
–3у = –51;
у = 17.
х + 2 • 17 = 57;
х = 57 – 34;
х = 23.
Uза теч. = 23 км/год; Uпроти теч. = 17 км/год;
(23 – 17) : 2 = 3 (км/год) – Uтеч.;
23 – 3 = 20 (км/год) – Uвл.;
Відповідь: 20 км/год; 3 км/год.
32. Батько старший за доньку на 26 років, а через 4 роки він буде старший за неї втричі. Скільки років батькові й скільки років доньці?
| Було | Змінилося | Стало |
| П. – ?, на 26 р. > | +4 | ?, в 3 р. > |
| Д. – ? | +4 | ? |
Розв'язання
Нехай доньці було x р., тоді батьку (x + 26) р.
Складаємо рівняння.
3(х + 4) = х + 26 + 4;
3х + 12 = x + 30;
2x = 18;
x = 9;
9 років – доньці;
9 + 26 = 35 (р.) батьку.
Відповідь: 9 р. і 35 р.
Розділ 6. ЕЛЕМЕНТИ СТОХАСТИКИ
1. Із цукрових буряків у результаті обробки можна отримати 15 % цукру. Яку масу цукру можна отримати з 995,8 тис. т цукрових буряків, зібраних на полях Полтавської області цього року?
Буряків – 995,8 тис. т – 100%;
Цукру – ? тис. т – 15%.
Розв'язання
15% = 0,15.
998,8 • 0,15 = 149,37 тис. т – цукру.
Відповідь: 148,37 тис. т цукру.
2. На цукровому заводі працює 38,5 % жінок, усі інші — чоловіки. Скільки всього працівників на заводі, якщо чоловіків — 123.
Чоловіки – 123 по. – ? %
Жінки – ? при. – 38,5% ? пр.
Розв'язання
1) 100% – 38,5% = 61,5% = 0,615;
2) 123 : 0,615 = 200 (пр.).
Відповідь: 200 працівників.
3. 40 % маршруту автопробігу на підтримку України проходило по степу, 32 % — по долині річки, а інші 84 км — по гірській місцевості. Яка довжина маршруту?
Степ – ? км – 40%
Долина – ? км – 32% ? км
Гірська місц. – 84 км – ?%
Розв'язання
1) 100% – (40% + 32%) = 28% = 0,28 – становить гірська місцевість;
2) 84 : 0,28 = 300 (км) – довжина маршруту.
Відповідь: 300 км.
4. До підвищення цін проїзд в автобусі коштував 10 грн, а після підвищення став коштувати 13 грн. На скільки відсотків підвищилась ціна?
| Було | Змінилося | Стало |
| 10 грн | на ?% | 13 грн |
Розв'язання
1) 13 – 10 = 3 (грн) – на стільки більше.
2) 310 • 100% = 30%.
Відповідь: 30%.
5. Відомо, що 15 % числа дорівнюють 40 % числа у. Знайдіть відношення чисел та у.
15% числа x дорівнює 40% з числа y. Знайти x : y.
Розв'язання
15% = 0,15; 40% = 0,4.
0,15х = 0,4у|: 0,15;
х = 0,40,15у;
х = 4015у;
х = 83у|: у;
х : у = 8 : 3.
6. Кількість яблунь у саду становить 40 % кількості абрикос. Скільки яблунь і скільки абрикос росте в саду, якщо яблунь на 54 менше, ніж абрикос?
Яблунь – ? д., на 54 д. < ; 40%
Абрикос – ? д.
Розв'язання
40% = 0,4.
Нехай y саду росте із яблунь і (х + 54) абрикос.
Складаємо рівняння:
х = 0,4(х + 54);
x = 0,4x + 21,6;
x – 0,4x = 21,6;
0,6х = 21,6|: 0,6;
х = 36;
36 яблунь.
36 + 54 = 90 (д.) – абрикос.
Відповідь: 36 яблунь; 90 абрикос.
7. Сума трьох чисел дорівнює 392. Перше число дорівнює 116, а друге — на 40 % більше, ніж третє. Знайдіть ці числа.
І число – 116
ІІ число – ?, на 40% > 392
ІІІ число – ?
Розв'язання
392 – 116 = 276 сума ІІ і ІІІ числа. Нехай ІІІ число дорівнює x, тоді ІІ число дорівнює x + 0,4x.
Складаємо рівняння.
x + 0,4x + x = 276;
2,4x = 276;
x = 115;
115 – І число.
276 – 115 = 161 – ІІ число.
Відповідь: 161; 115.
8. Після першої реконструкції виробництва продуктивність праці підвищилася на 20 % , а після другої — ще на 15 % . На скільки відсотків підвищилася продуктивність на виробництві після двох
реконструкцій?
| Було | Змінилося | Стало |
| І – 100% | +20% | ? |
| ІІ – ?% | +15% | ? на ?% |
Розв'язання
20% = 0,2; 15% = 0,15.
Нехай продуктивність праці була x.
1) x + 0,2x = 1,2x – продуктивність після І підвищення;
2) 1,2x + 0,15x = 1,38x продуктивність після ІІ підвищення;
3) 1,38х – x = 0,38x – на стільки більша стала продуктивність.
4) 0,38хх • 100% = 38%.
Відповідь: на 38%.
9. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата, якщо периметр квадрата збільшити на 10 %?
| Було | Змінилося | Стало |
| Р = 4а | +10% | ? |
| S = a2 | ?% |
Розв'язання
1) 4а + 0,1 • 4a = 4a + 0,4 а = 4,4 а периметр після збільшення;
2) 4,4а : 4 = 1,1а – сторона більшого квадрата;
3) (1,1а)² = 1,21 а² – площа більшого квадрата;
4) 1,21а² – а² = 0,21а² на стільки більша стала площа;
5) 0,21а2а2 • 100% = 21%.
Відповідь: на 21%.
10. Скільки води потрібно долити до 8,4 кг 12 % розчину солі, щоб, одержати 10 % –й розчин?
Розв'язання
12% = 0,12; 10% = 0,1.
Нехай потрібно долити x кг води, тоді одержимо розчин масою
(8,4 + x) кг.
Складаємо рівняння:
(8,4 + x) • 0,1 = 8,4 • 0,12;
0,84 + 0,1x = 1,008;
0,1x = 1,008 – 0,84;
0,1x = 0,168|: 0,1;
х = 1,68.
Відповідь: 1,68 кг.
11. Населення міста становить 28 350 людей. На діаграмі (мал. 13) показано відсоток чоловіків. За даними кругової діаграми знайдіть:
1) скільки чоловіків у місті;
2) скільки дітей у місті та скільки відсотків вони становлять від кількості всіх громадян?
Чоловіки – ? – 36%
Жінки – ? – 40% 28350 осіб.
Діти – ?
Розв'язання
1) 28350 • 0,36 = 10206 (ос.) – чоловіки;
2) 100% – (36% + 40%) = 24% – становлять діти;
24% = 0,24.
3) 28350 • 0,24 = 6804 (ос.) – діти.
Відповідь: 1) 10206 ос.; 2) 6804 ос.; 24%.
12. (ЗНО, 2021) На діаграмі (мал. 14) відображено інформацію про кількість проданих телевізорів у супермаркеті побутової техніки протягом перших шести місяців року. Які з наведених тверджень є правильними? 1) найменшу кількість телевізорів продано у квітні; 2) у січні продано 240 телевізорів; 3) у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому; 4) у червні продано менше трьохсот телевізорів.
Які твердження є правильними:
1) ні; 3) так;
2) ні; 4) ні.
Відповідь: 3.
13. За даними на малюнку 14 знайдіть скільки телевізорів у середньому продавали за місяць у супермаркеті протягом шести місяців.
х = 270+160+260+230+280+3206 = 15206 = 253 (т.).
Відповідь: 253 телевізорів.
14. За яких значень середнє арифметичне чисел 1,5; 2,6; 3,5; 4,8; дорівнює 4,2?
1,5; 2,6; 3,5; 4,8; х.
Середнє арифметичне = 4,2
х – ?
Розв'язання
1,5+2,6+3,5+4,8+х5 = 4,2;
12,4 + x = 21;
x = 21 – 12,4;
x = 8,6.
Відповідь: 8,6.
15. Хлопчик забув код дверей, але пам’ятав, що він складається із
чотирьох цифр, серед яких тільки цифри «О» та «1». Скільки існує можливих варіантів комбінацій цифр, щоб відкрити двері?
Скільки існує комбінацій з чотирьох цифр, якщо можна використовувати «0» та «1».
Розв'язання
1) 2 • 2 • 2 • 2 = 16 – кількість всіх можливих комбінацій.
2) 16 – 2 = 14 – відкинули 2 комбінації 0000 і 1111.
Відповідь: 14 варіантів.
16. Скільки двоцифрових чисел можна скласти із цифр: 1) 4, 6, 8; 2) 6, 5, 0?
Скільки двоцифрових чисел можна скласти із цифр:
Розв'язання
1) 4, 6, 8;
3 • 2 = 6 (в.);
2) 6, 5, 0.
2 • 2 = 4 (в.).
Відповідь: 1) 6; 2) 4.
17. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок із п’яти уроків?
Скількома способами можна скласти розклад на понеділок з п'яти уроків?
Розв'язання
5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 (сп.).
Відповідь: 120.
18. Скільки різних прапорів можна створити у вигляді трьох горизонтальних смуг однакової ширини трьох кольорів — білого, зеленого й жовтого?
Білий, зелений, жовтий кольори.
Скільки різних прапорів можна створити з трьох кольорових смуг?
Розв'язання
3 • 2 • 1 = 6 (пр.).
Відповідь: 6.
19. На тарілці 5 однакових на вигляд млинців. Серених 3 — із м’ясом, інші — із сиром. Скільки існує варіантів вибору: 1) одного млинця; 2) двох млинців з різною начинкою?
З м'ясом – 3 млинця;
З сиром – 2 млинця.
Скільки існує варіантів вибору:
Розв'язання
1) одного млинця;
3 + 2 = 5 (в.).
2) двох млинців з різною начинкою.
3 • 2 = 6 (в.).
Відповідь: 1) 5; 2) 6.
20. Учні сьомого класу — Петро і Микола — порівнюють дати своїх днів народження. Визначте якими (випадковими, неможливими чи достовірними) є події: 1) їхні дні народження співпадають; 2) Петро народився 29 лютого, а Микола — 30 лютого; 3) дні народження обох припадають на святкування Дня Незалежності України (24 серпня); 4) вони народилися в 21 столітті.
1) випадкова подія;
2) неможлива подія;
3) випадкова подія;
4) достовірна подія.
21. У коробці 20 пронумерованих кульок від 1 до 20. Із коробки навмання беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що на ній написане: 1) число 13; 2) число 21; 3) двоцифрове число; 4) парне число; 5) просте число; 6) число, що ділиться на 5; 7) число, в записі якого є цифра 1; 8) число, сума цифр якого, дорівнює 10; 9) число, що при діленні на 4 дає остачу 3; 10) трицифрове число?
Розв'язання
1) А – число 13: m = 1; n = 20. P(A) = mn = 120.
2) В – число 21: це неможлива подія. Р(В) = 0.
3) С – двоцифрове число. Двоцифрове числа: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
m = 11; n = 20. P(C) = mn = 1120.
4) Д – парне число: m = 10; n = 20. P(Д) = mn = 1020 = 12.
5) Е – просте число. Прості числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
m = 8, n = 20. P(E) = mn = 820 = 25.
6) F – число, що ділиться на 5. Діляться на 5: 5, 10, 15, 20.
m = 4; n = 20. P(F) = mn = 420 = 15.
7) k – число, в записі якого є цифра 1.
Шукані числа: 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
m = 11; n = 20. P(K) = mn = 1120.
8) M – число, сума цифр якого дорівнює 10. Шукане число: 19.
m = 1; n = 20. P(M) = mn = 120.
9) N – число, що при діленні на 4 дає остачу 3. Шукані числа: 7, 11, 15, 19.
m = 4; n = 20. P(N) = mn = 420 = 15.
10) L – трицифрове число. Це неможлива подія. Р(L) = 0.
Відповідь: 1) 120; 2) 0; 3) 1120; 4) 12; 5) 25; 6) 15; 7) 1120; 8) 120; 9) 15; 10) 0.
22. Задано рівняння:
Дано: 5 рівнянь.
Яка ймовірність того, що навмання вибране рівняння:
Розв’язання
а) А – не має розв’язків;
m = 1; n = 5. P(A) = mn = 15.
б) В – має безліч розв’язків.
m = 1; n = 5. P(B) = mn = 15.
в) С – має хоча б один розв’язок.
m = 4; n = 5. P(C) = mn = 45.
г) Д – має один розв’язок
m = 3, n = 5. Р(Д) = mn = 35.
Відповідь: 1) 15; 2) 15; 3) 45; 4) 35.
23. Магазин «Сімейна пекарня» надав такий звіт продажу своїх виробів за 23.11.2023 р. (табл. 12). За поданою інформацією визначте: 1) яка випічка найдешевша (найдорожча); 2) на яку суму продали пиріжків; 3) на яку суму продали мафінів; 4) за яку випічку отримали найбільшу (найменшу) суму грошей; 5) скільки одиниць випічки було продано; 6) яка частка кожного виду товару в загальному продажу за цей день. Побудуйте кругову діаграму, що показує частку продажу кожного з наведених видів випічки.
Розв’язання
1) найдешевша випічка – пиріжок з капустою; найдорожча випічка – рулет з маком;
2) 20 • 35 + 12 • 16 + 15 • 20 = 700 + 192 + 300 = 1192 (грн).
вартість пиріжків;
3) 17 • 10 + 17 • 25 = 170 + 425 = 595 (грн) – вартість мафіеів;
4) найбільшу суму грошей отримали за пиріжки, найменшу за хліб житній;
5) 35 + 16 + 20 + 10 + 25 + 5 + 8 = 119 (од.) – випічки
6) пиріжки: 35 + 16 + 20 = 71 (од.)
мафіни: 10 + 25 = 35 (од.)
рулет з маком: 5 од.
хліб житній із висівками – 8 од.
Побудуємо діаграму.
71119 • 360° = 215° – частка продажу пиріжків;
35119 • 360° = 106° – частка продажу мафінів;
5119 • 360° = 15° – частка продажу рулетів;
8119 • 360° = 24° – частка продажу хліба.