Вправи: 625

625. Меню складається зі 101 страви. Доведіть, що кількість способів вибору обіду з непарної кількості страв дорівнює кількості

способів вибору обіду з парної кількості страв за умови, що замовити всі страви з меню не можна.

Виберемо спочатку обід з однієї страви. Поставимо у відповідність цьому обідові обід зі 100 страв, які не вибрані для попереднього обіду. Обідів з однієї страви можна вибрати 101, тоді відповідних обідів зі 100 страв теж можна вибрати 101.

Виберемо обід з трьох страв. Поставимо цьому обіду у відповідність обід із 101 – 3 = 98 (страв), які не вибрані для попереднього обіду. Тоді обідів з трьох страв можна вибрати стільки ж скільки можна вибрати обідів з 98 страв.

Аналогічно обідів з 5 страв можна вибрати стільки ж скільки можна вибрати обідів з 96 страв; обідів з 7 страв можна вибрати стільки ж скільки можна вибрати обідів з 94 страв тощо.

Отже, будь–яким обідам з непарною кількістю страв 2n – 1 можна поставити у відповідність таку саму кількість обідів з парною кіль–кістю страв 101 – ( 2n – 1), а, значить, таких обідів є однакова кількість.