Вправи: 138

138. Знайдіть усі натуральні значення n, при яких значення кожного з виразів n – 2, n + 24, n + 26 є простим числом.

Усі натуральні числа можна поділити на три групи за їх остачами від ділення на 3: n = 3k –2; n = 3k – 1; n = 3k, де — будь–яке натуральне число.

1. Нехай n = Зk – 2, тоді n + 26 = 3k – 2 + 26 = 3k + 24 = 3(k + 8) — складене число. Отже група чисел виду n = 3k – 2 не містить шуканого числа.

2. Нехай n = 3k – 1, тоді n – 2 = 3k – 1 – 2 = 3k – 3 = 3(k – 1). Число 3(k – 1) для усіх значень k > 2 є складеним. Якщо k = 1, то число n – 2 = 3(k – 1) = 0 і не є натуральним числом. Якщо k = 2, то число n – 2 = 3(2 – 1) = 3 і n = 3 + 2 = 5 є простим числом.

Якщо m = 5, то значення виразів n + 24 і n + 26 відповідно дорівнюють 29 і 31 і є простими числами. Отже, група чисел виду n = 3k – 1 містить одне шукане число — число 5.

3. Нехай n = 3k, тоді n + 24 = Зk + 24 = 3(k + 8) — складене число. Отже, група чисел виду n = 3k не містить шуканого числа.

Відповідь: n = 5.

Завдання № 1 «Перевірте себе» в тестовій формі

1. Обчисліть значення виразу 5 – 4b при b = –2.

Якщо b = –2, то 5 – 4b = 5 – 4 · (–2) = 5 + 8= 13.

Відповідь: В).

2. Знайдіть значення виразу 15m + 13n , якщо m = 35, n = –18.

Якщо m = 35, n = –18, то 15m + 13n= 15 · 35 + 13 · (–18) = 7 – 6 = 1.

Відповідь: А).

3. Який із наведених виразів є записом різниці добутку чисел

a і b та числа c?

Відповідь: Б).

4. Серед наведених алгебраїчних виразів укажіть цілий.

Вираз b + 57 не містить змінної у знаменнику.

Відповідь: В).

5. Знайдіть корінь рівняння 7x + 2 = 3x – 6.

7х + 2 = Зх – 6; 7х – Зх = –6 – 2; 4х = –8; х = –2.

Відповідь: В).

6. Яке з рівнянь є лінійним?

Лінійним є рівняння 2х + 3 = 0.

Відповідь: А).

7. Розв’яжіть рівняння

x2 – x3 = 6; | · 6 Зх – 2x = 36; х = 36.

Відповідь: Б).

8. Розв’яжіть рівняння

2(х – 3) – (х + 4) = х – 10; 2х – 6 – x – 4 = х – 10; 2х – х – х – 10 + 6 + 4; 0х = 0.

Відповідь: В).

9. При якому значенні a рівняння (a + 4) x = a – 3 не має коренів?

(a + 4)х = a – 3. Рівняння не має коренів, якщо а + 4 = 0; а = –4.

Відповідь: Б).

10. Відомо, що 45 % числа a на 7 більше, ніж 13 цього числа. Знайдіть число a.

0,45a –7 = 13а; 920а – 13a= 7; │ · 60 27а – 20а = 420; 7а = 420; a = 60.

Відповідь: В).

11. Три робітники виготовили 70 деталей. Перший робітник виготовив у 2 рази менше деталей, ніж другий, а третій — на 10 деталей більше, ніж перший. Нехай перший робітник виготовив x деталей. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі?

Якщо перший робітник виготовив х деталей, то другий виготовив 2х деталей, а третій — (х + 10) деталей. Рівняння: х + 2х + х + 10 =

= 70.

Відповідь: Б).

12. На першій ділянці було в 4 рази більше кущів малини, ніж на другій. Коли з першої ділянки пересадили на другу 12 кущів, то на

другій стало у 2 рази менше кущів малини, ніж на першій. Нехай на другій ділянці було спочатку x кущів. Яке з наведених рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі?

Якщо на другій ділянці було спочатку х кущів малини, то на першій їх було 4х кущів. На першій ділянці стало (4х – 12) кущів, а на другій — (х + 12) кущів, що удвічі менше, ніж на першій. Тоді математичною моделлю є рівняння 4х – 12 = 2(х + 12).

Відповідь: Г).