Вправи: 669

669. Чи існують такі натуральні значення змінних x і у, при яких x⁵ + у⁵ = ЗЗ⁶?

33⁶ = 33 ∙ 33⁵ = 32 ∙ 33⁵ + 1 ∙ 33⁵ = 25 ∙ 33⁵ + 33⁵ = 66⁵ + 33⁵. Отже, такими натуральними числами можуть бути, наприклад, числа х = 66, у = 33.

Домашня самостійна робота №3

1. Який з виразів не є многочленом?

Вираз aa - 5 не є сумою одночленів.

Відповідь: А).

2. k(n – m) = ...

k(n – m) = kn – km.

Відповідь: Г).

3. 4с + 8 = ...

4с + 8 = 4(с + 2).

Відповідь: Б).

4. Якому з многочленів дорівнює вираз (x – 5)(х + 2)?

(х – 5)(х + 2) = x² – 5х + 2x – 10 = x² – 3х – 10.

Відповідь: Б).

5. Подайте вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду.

(3m² – m) + (4m² – 5) – (7m² + 3) = 3m² – m + 4m² – 5 – 7m² – 3 = –m – 8.

Відповідь: В).

6. Розкладіть вираз на множники.

аm – аn – 2m + 2n = а(m – n) – 2(m – n) = (m – n)(а – 2).

Відповідь: А).

7. При якому значенні х значення різниці одночлена 8х і многочлена Зx – 4x² + 2 дорівнює значенню многочлена Зx + 4х² – 4?

8х – (3х – 4x² + 2) = 3х + 4х² – 4; 8х – 3х + 4х² – 2 = 3х + 4х² –

– 4; 5х + 4х² – 2 – 3х – 4x2 + 4 = 0; 2x + 2 = 0; 2x = –2; x = –1 . Відповідь: В).

8. Обчисліть 297 ∙ 397 – 397² найзручнішим способом.

297 ∙ 397 – 397² = 397(297 – 397) = 397 ∙ (–100) = –39700. Відповідь: Б).

9. Знайдіть значення виразу (х – 5)(х + 2) – (х – 7)(х + 4), якщо х =

= 10,2.

(х – 5)(х + 2) – (х – 7)(х + 4) = x² – 5х + 2х – 10 – (х² – 7х + 4х – 28) = x² – 3х – 10 – x² + 3х + 28 = 18.

Відповідь: Б).

10. Розв’яжіть рівняння

x² + 7х = 2(х + 7);

х(х + 7) – 2(х + 7) = 0;

(х – 2)(х + 7) = 0;

х – 2 = 0 або х + 7 = 0;

х = 2 або х = –7.

Відповідь: А).

11. Значення виразу 27⁴ – З⁹ є кратним числу ...

27⁴ – 3⁹ = (3³)⁴ – 3⁹ = 3¹² – 3⁹ = 3⁹(3³ – 1) = 3⁹ ∙ 26 = 3⁹ ∙ 2 ∙ 13. Це число кратне 13.

Відповідь: В).

12. Знайдіть найбільше із чотирьох послідовних парних чисел,

якщо добуток першого і третього чисел на 44 менший від добутку

двох інших.

Нехай перше із заданих чисел дорівнює х, тоді наступне — х + 2, далі — х + 4 і х + 6. Рівняння: х(х + 4) + 44 = (х + 2)(х + 6); x² + 4х + 44 = х² + 2х + 6х + 12; 4х = 32; х = 8. Тоді найбільше число дорівнює 8 + 6 = 14.

Відповідь: Г).

13. Установіть відповідність між виразами (1–3) та многочленами, які їм тотожно дорівнюють (А–Г).

1. (Зх³ + х² – 2х) – (2х³ – 4х² – 2х + 6) = Зх³ + х² – 2х – 2х³ + 4х² + 2х – 6 = х³ + 5х² – 6.

2. 2х²(3х – 5) – 5х(х² – Зх) = 6х³ – 10х² – 5х³ + 15х² = х³ + 5х²;

3. (х² + 6х)(х – 1) = х³ – х² + 6х² – 6х = х³ + 5х² – 6х.

1 – Б; 2 – А; 3 – В.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО § 10 – § 15

1. Виконайте множення:

1) m(а – b + 3) = mа – mb + 3b;

2) –р(х + у – 4) = –рх – ру + 4р.

2. Винесіть за дужки спільний множник:

1) 7а – 7b = 7(а – b); 2) хm + xу = m(х + у).

3. Виконайте множення:

1) (а + 2)(х – 3) = ах + 2х – 3а – 6;

2) (b – 5)(с – m) = bc – 5c – bm + 5m.

4. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1)(2х² – х) + (3х – 5) – (х² – 5) =2х² – х +3х – 5 – х² + 5 =х² + 2х;

2) –2xy(x² – 3ху + у²) = –2х³у + 6х²y² – 2ху³.

5. Розкладіть многочлен на множники:

1) 9а² – 12аb = 3а(3а – 4b);

2) 7x – 7y + ах – ау = 7(х – у) + а(х – у) = (7 + а)(х – у).

6. Спростіть вираз

(х + 5)(х – 2) – х(х + 3) = x² + 5х – 2х – 10 – x² – 3х = –10.

7. Розв’яжіть рівняння

(2х + 3)(3х – 7) = х(6х – 3) – 17;

6х² – 14х + 9х – 21 = 6x² – 3х – 17;

–14х + 9х + 3х = –17 + 21;

–2х = 4;

х = –2.

8. Розкладіть многочлен на множники:

1) 9m³ – 3m⁴ – 27m⁸ = 3m³(3 – m – 9m⁵);

2) m2 + 2n – 2m – mn = m(m – n) – 2(m – n) = (m – 2)(m – n).

9. Знайдіть чотири послідовних цілих числа, добуток двох менших з яких на 90 менший за добуток двох більших.

Нехай найменше із заданих чисел х, тоді наступні х + 1, х + 2,

х + 3. Рівняння: х(х + 1) + 90 = (х + 2)(х + 3);

х² + х + 90 = х² + 2х + 3х + 6;

2х + 3х – х = 90 – 6;

4х = 84; х = 21.

Тоді наступними числами є 21 + 1 = 22, 21 + 2 = 23, 21 + 3 = 24.

Відповідь: 21, 22, 23, 24.

10. Доведіть, що сума п’яти послідовних натуральних чисел

ділиться на 5.

Нехай найменше із заданих чисел х, тоді наступні х + 1, х + 2, х + 3, х + 4. Знайдемо суму цих п’яти чисел: х + (х + 1) + (х + 2) + (х + 3) + (х + 4) = 5х + 10 = 5(х + 2) — ділиться на 5.

11. Розв’яжіть рівняння

x² – 5х = 4х – 20;

x² – 5х – 4х + 20 = 0;

х(х – 5) – 4(х – 5) = 0;

(х – 4)(х – 5) = 0;

х – 4 = 0 або х – 5 = 0;

х = 4 або х = 5.

Відповідь: 4; 5.

12. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1) (х² – 2х + 5)(х² + 3х – 1) = x⁴ + 3х³ – x² – 2х³ – 6х² + 2х + 5х² + 15х – 5 = x⁴ + x³ – 2x² + 17x – 5;

2) (а + 3)(а – 5) (а – 1) = (а² + 3а – 5а – 15)(а – 1) = (а2 – 2а – 15)(а – 1) = а³ – а² – 2а² + 2а – 15а + 15 = а³ – 3а² – 13а + 15.