Вправи: 1282

1282. Задача Ньютона. Трава на галявині росте рівномірно щільно й швидко. Відомо, що 70 корів з’їли б її за 24 дні, а 30 корів – за 60 днів. Скільки корів з’їли б усю траву за 96 днів?

Траву, яку можуть з’їсти m корів за один день, одна корова може з’їсти за m днів. Тому траву, яку з’їли 70 корів за 24 дні, одна корова з’їсть за 70 • 24 = 1680 (днів), а ту траву, яку 30 корів з’їдають за 60 днів, вистачить одній корові на 30 • 60 = 1800 (днів). Оскільки трава росте рівномірно, то за 60 ­ 24 = 36 (днів) виросте стільки трави, що вистачить одній корові на 1800 – 1680= 120 (днів). Отже, ту кількість трави, яку одна корова з’їдає за 1800 + 120 = 1920 (днів), за

60 + 36 = 96 (днів) можуть з’їсти 1920 : 96 = 20 (корів).

Відповідь: 20 корів.

Домашня самостійна робота №6

1. Яке з рівнянь є лінійним?

Лінійним є рівняння 2х = 0.

Відповідь: Г).

2. Укажіть точку, що належить графіку рівняння х + y = 6.

Графіку рівняння належить точка (2; 4), бо 2 + 4 = 6.

Відповідь: Б).

3. Укажіть пару чисел, що є розв’язком системи рівнянь

Розв’язком системи є пара чисел (4; –3), бо

4 – (–3) = 7, 7 = 7,

4 + (–3) = 1; 1 = 1,

Відповідь: Г).

4. Яке з рівнянь рівносильне рівнянню Зх – 8 = 10?

3х – 8 = 10; 3x – 18; х = 6. Отже, рівнянню 3х – 8 = 10 рівносильне рівняння 5х = 30, бо воно має коренем теж х = 6.

Відповідь: В).

5. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь

3x – y = 5, у = 3х – 5, y = 3х – 5,

4х + 3у = 11; 4х + 3(3х – 5) = 11; 4х + 9х –15 = 11;

y = 3x – 5 у = 3 ∙ 2 – 5, x = 2,

13x = 26; x = 2; y = 1.

Відповідь: А).

6. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь

4x – 7y = 11, 7x = 7, x = 1, x = 1, x = 1,

3х+ 7у = –4; Зх + 7у = –4; 3 ∙ 1 + 7у = –4; 7y = –7; у = –1

Відповідь: Г).

7. Укажіть рівняння, коренем якого є будь–яке число.

Коренем рівняння 2(х – 1) = 2х – 2 є будь–яке число, бо

2х – 2 = 2х – 2; 0x = 0.

Відповідь: В).

8. Знайдіть корінь рівняння

x+25 + x-210 = 12;│∙10, 2(х + 2) + (х – 2) = 5; 2х + 4 + х – 2 = 5;

2х + х = 5 – 4 + 2; 3х = 3; х = 1.

Відповідь: Б).

9. З пунктів A i В, відстань між якими 60 км, вирушили одночасно

пішохід і велосипедист. Якщо вони рухатимуться назустріч один одному, то зустрінуться через З год, а якщо вони рухатимуться в одному напрямі, то велосипедист наздожене пішохода через 5 год. Знайдіть швидкість пішохода.

Нехай швидкість пішохода дорівнює х км/год, а швидкість велосипедиста — y км/год (у > х). Якщо вони рухатимуться назустріч один одному, то пішохід подолає до зустрічі шлях 3х км, а велосипедист — 3 км. Маємо перше рівняння: 3х + 3у = 60. Якщо велосипедист наздоганятиме пішохода, то пішохід за 5 год подолає 5х км, а велосипедист — відстань від A до B і ще шлях, який пройде пішохід, що разом складатиме 5 км. Друге рівняння:

5х + 60 = 5у. Одержуємо систему: 3x+ 3y = 60, x + y = 20,

5x + 60 = 5y; y – x = 12;

x + y = 20, x + 16 = 20, x = 4,

2y = 32; y = 16; y = 16. Отже, швидкість пішохода дорівнює 4 км/год.

Відповідь: Б).

10. Знайдіть найменше ціле значення а, при якому коренем рівняння ах = 8 є ціле число.

ах = 8; х = 8a. Найменше ціле значення а, при якому коренем рівняння є ціле число, має бути протилежним числом до чисель–ника, тобто –8.

Відповідь: В).

11. 80 % від одного числа дорівнюють 27 від другого. Знайдіть менше із цих чисел, якщо їх сума дорівнює 76.

Нехай перше число дорівнює х, а друге — у. Система:

0,8x = 27y, 5,6x = 2y, y = 2,8x, y = 2,8x, x = 20,

x + y = 76; x + y = 76; x + 2,8x = 76; 3,8x = 76; y = 2,8 ∙ 20;

x = 20,

y = 56.

Отже, меншим з чисел є 20.

Відповідь: Г).

12. При якому значенні а система рівнянь має безліч розв’язків?

Система рівнянь має безліч розв’язків, коли відповідні коефіцієнти у рівняннях пропорційні: 2a = -3-6 = 816 = 12; 2a = 12, звідки а = 4.

Відповідь: A).

13. Установіть відповідність між графіком рівняння (1-3) та точками перетину графіка з осями координат (А-Г).

1. 2х - 5у = 10 – В. (5; 0), (0; -2).

2. 5х + 3у = 15 – Г. (3; 0), (0; 5).

3. -3x + 4у = 12 – А. (-4; 0), (0; 3).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО § 25 – § 30

1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними:

1) 2х + 3у = 9.

2. Чи є розв’язком рівняння 2х + у = 7 пара чисел:

1) 2 ∙ 3 + (–5) ≠ 7; 6 – 5 ≠ 7; 1 ≠ 7. Отже, пара чисел (3 ;–5) не є розв’язком рівняння 2х + у = 7;

2) 2 ∙ 4 + (–1) = 7; 8 – 1 = 7; 7 = 7. Отже, пара чисел (4; –1) є розв’язком рівняння 2х + у = 7.

3. Чи є розв’язком системи пара чисел:

1) (6; 5) – Ні. 2) (7; 4) – Так.

4. Розв’яжіть графічним способом систему рівнянь:

у = 3х; (0; 0), (1; 3).

2х + у = -5; (-2; -1), (0; -5)

Відповідь: (-1; -3).

5. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь

x – 3y = 5, x = 3y + 5, x = 3y + 5, x = 3y + 5,

2x + y = 3; 2(3y + 5) + y = 3; 6y + 10 + y = 3; 7y = –7;

x = 3 ∙ (–1) + 5, x = 2,

y = –1; y = –1. Відповідь: (2; 1).

6. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь.

5x + 3y = 3, 9x = 27, x = 3, x = 3,

4x – 3y = 24; 4x – 3y = 24; 4 ∙ 3 – 3y = 24; 12 – 3y = 24;

x = 3, x = 3,

3y = –12; y = –4.

Відповідь: (3; –4).

7. Розв’яжіть систему рівнянь

2(x + 3) = 7y – 5; 2x + 6 – 7y = –5, 2x–7y =–11│∙–3

6(x – 3) – 5(y + 1) = –24; 6x – 18 – 5y – 5 = –24; 6x – 5y = –1;

–6x + 21y = 33, –6x + 21y = 33, –6x + 21 ∙ 2 = 33, –6x = –9,

6x – 5y = –1; 16y = 32; y = 2; y = 2;

x = 1,5,

y = 2.

Відповідь: (1,5; 2).

8. За 8 зошитів і 3 блокноти заплатили 93 грн. Після того, як зошит подорожчав на 15 %, а блокнот подешевшав на 10 %, за один зошит і один блокнот заплатили 20,4 грн. Якими були початкові ціни зошита і блокнота?

Нехай початкова ціна зошити х грн, а блокноту — у грн. Перше рівняння: 8х + 3у = 93. Змінена вартість зошита становить х + 0,15х = 1,15х (грн), а блокноту — y - 0,1y = 0,9y (грн). Друге рівняння: 1,15х + 0,9y = 20,4. Система:

8x + 3y = 93│∙ 1,2, 9,6x + 3,6y = 111,6,

1,15x + 0,9y = 20,4│∙(–4); –4,6x – 3,6y = –81,6;

5x = 30; х = 6.

З першого рівняння першої системи отримаємо: 48 + 3у = 93;

3y = 45; у = 15.

Відповідь: зошит коштував 6 грн, а блокнот — 15 грн.

9. Побудуйте графік рівняння

x+24 + y-36 = –112; |∙ 12 3(x + 2) + 2(y – 3) = –1;

3x + 6 + 2y – 6 = –1; 3x + 2y = –1; 2у = –3х – 1; y = –1,5х – 0,5.

y = –1,5x – 0,5
x	–1	1
y	1	–2

10. Графік функції у = kx + b проходить через точки (3; –4) і (–12;

–9). Знайдіть k і b.

–4 = 3k + b, 4 = –3k – b, –5 = –15k, k = 13,

–9 = –12k + b; –9 = –12k + b; 4 = –3k – b; 4 = –3 ∙ 13 – b;

k = 13,

b = –5.

Відповідь: k = 13; b = –5.

11. Для якого значення а система рівнянь має безліч розв’язків.

7x - ay = 5 │∙ 3; 21х – ау = 15;

21х + 6у = 15; 21х + 6у = 15;

а = 6.