Вправи: 432

432. У кожній клітинці дошки розміром 5 × 5 клітинок сидить жук. У деякий момент усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Чи обов’язково при цьому залишиться порожня клітинка?

Пронумеруємо усі клітинки дошки розміром 5x5 числами від одного до двадцяти п’яти.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25

Кожний жук, який сидить у клітинці з парним номером, переповзаючи на сусідню по горизонталі чи вертикалі клітинку, попаде на клітинку з непарним номером, а кожний жук, який сидить у клітинці з непарним номером, переповзаючи на сусідню по горизонталі чи вертикалі клітинку, попаде на клітинку з парним номером. Клітинок з парними номерами є 12, а клітинок з непарними номерами — 13. Отже, 12 жуків, які переповзають з клітинок з парними номерами, не

зможуть заповнити 13 звільнених клітинок з непарними номерами, тому при цьому обов’язково залишиться хоча б одна порожня клітинка.