Вправи: 1138

1138. Доведіть, що квадрат натурального числа має непарну кількість дільників.

Якщо натуральне число n є дільником натурального числа а, то число а можна записати у вигляді добутку двох натуральних чисел: а = mn. З рівності а = mn слідує, що натуральне число m теж є дільником числа а. Кожен натуральний дільник п числа а породжує іншого дільника m цього числа, тобто дільники породжуються

парами. Для квадрата натурального числа a² в усіх випадках, крім одного, пари дільників складаються з різних чисел. Виняток складає випадок а² = аа, де обидва множники рівні і тут породжується лише один дільник. Тому квадрат натурального числа має непарну кількість дільників.

Завдання № 7 «Перевір себе» в тестовій формі

1. Яка з наведених пар чисел є розв’язком рівняння 5x + 3y = 4?

5х + Зу = 4; A(2; –2); 5 ∙ 2 + 3 ∙ (–2) = 10 – 6 = 4; 4 = 4.

Відповідь: В).

2. Які координати точки перетину графіка рівняння 2x – 5y = 10

з віссю абсцис?

2x – 5у = 10, у = 0; 2х – 5 ∙ 0 = 10; 2х= 10; х = 5. Точка (5; 0).

Відповідь: Г).

3. Розв’яжіть систему рівнянь

5x – 4y = 11, 5x – 4y = 11, 5 ∙ 3 – 4y = 11, 4y = 4, x = 3,

2x + 4y = 10; 7x = 21; x = 3; x = 3; y = 1.

Відповідь: А).

4. Розв’яжіть систему рівнянь

15x + 2y = 7, 15x + 2y = 7, 19x = 19, x = 1,

2x – y = 6; 4x – 2y = 12; 4x – 2y = 12; 4 ∙ 1 – 2y = 12;

x = 1, x = 1,

–2y = 8; y = –4.

Відповідь: Б).

5. Нехай пара чисел (a; b) є розв’язком системи рівнянь Знайдіть значення виразу a² – b².

x + y = 1, 4x = 8, x = 2, x = 2,

3x – y = 7; 3x – y = 7; 3 ∙ 2 – y = 7; y = –1; (2; –1). Тоді

а² – b² = 2² – (–1)² = 4 – 1 = 3.

Відповідь: В).

6. При якому значенні a система рівнянь не має розв’язків?

3x + y = 4, 31 = 1-a ≠ 4-6; a = –13.

x – ay = –6;

Відповідь: Г).

7. При якому значенні b система рівнянь має безліч розв’язків?

4x + by = 10, 42 = b-3 = 105; b = –6.

2x – 3y = 5;

Відповідь: А).

8. Графік лінійної функції проходить через точки A (1; 4) і B (–2;13). Задайте цю функцію формулою.

4 = 1 ∙ k + b, 4 = k + b, 4 = –3 + b, b = 7,

13 = –2k + b;│∙(–1) –9 = 3k; k = –3; k = –3;

y = –3x + 7.

Відповідь: Б).

9. Мати й донька зліпили разом 208 вареників, причому донька

працювала 2 год, а мати — 3 год. За 1 год мати робить на 16 вареників більше за доньку.

Нехай донька за 1 год робить x вареників, а мати — y вареників. Яка з наведених систем рівнянь є математичною моделлю

ситуації, описаної в умові?

Відповідь: В).

10. Із двох міст, відстань між якими 60 км, виїхали одночасно

вантажний і легковий автомобілі. Якщо вони рухатимуться

назустріч один одному, то зустрінуться через 30 хв. Якщо вони

рухатимуться в одному напрямі, то легковий автомобіль наздожене вантажний через 3 год після початку руху.

Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює x км/год,

а легкового — y км/год. Яка з наведених систем рівнянь відповідає умові задачі?

Відповідь: А).

11. Люстра та настільна лампа коштували разом 2000 грн. Після

того як люстра подорожчала на 10 %, а настільна лампа подешевшала на 10 %, вони стали коштувати разом 2020 грн.

Нехай люстра коштувала спочатку x грн, а настільна лампа —

y грн. Яка з наведених систем рівнянь є математичною моделлю

ситуації, описаної в умові задачі?

Відповідь: Б).

12. Розв’яжіть рівняння x² + y² + 12x – 2y + 37 = 0.

х² + у² + 12х – 2у + 37 = 0; (х² + 12х + 36) + (у² – 2у+ 1) = 0; (х + 6)² + (у – 1)² = 0; х = –6, у = 1; (–6; 1).

Відповідь: Б).