ЧАСТИНА 2 - Вправи
ЧАСТИНА 2 - Вправи: 1694
Готова відповідь до завдання 1694 з ГДЗ Математика 6 клас Істер 2023 1-2 ч..
Математика, 6 клас · ЧАСТИНА 2 - Вправи
Текстова відповідь
1694. За кожен вдих–видих людина поглинає 20 см3 кисню і виділяє 175 см3 вуглекислого газу. Обчисли, скільки поглинуть кисню і виділять вуглекислого газу учні твого класу за один урок, якщо людина робить у середньому за 1 хв 15 видихів.
Клас – 25 уч.
Урок – 45 хв.
1 хв – 15 видихів;
1 видих – 20 см3 кисню та 175 см3 вуглекислого газу.
1) 15 • 20 = 300 (см3) – кисню один учень за 1 хв;
2) 45 • 300 = 13500 (см3) – кисню один учень за урок;
3) 25 • 13500 = 337500 см3 = 337,5 (л) – кисню весь клас за урок;
6) 15 • 175 = 2625 (см3) – вуглекислого газу один учень за 1 хв;
7) 45 • 2625 = 118125 (см3) – вуглекислого газу один учень за урок;
8) 25 • 118125 = 2953125 см3 = 2953,125 (л) – вуглекислого газу весь клас за урок.
Відповідь: 337,5 л кисню та 2953,125 л вуглекислого газу.
ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 10
1. Які з прямих, зображених на малюнку 146, є пепендикулярними?
Г. d і а
2. Які з прямих, зображених на малюнку 146, є паралельними?
В. m і b.
3. Якій чверті належить точка T, зображена на малюнку 147?
Б. ІІ.
4. Знайди координати точки M на малюнку 148.
А. М (–4; 2)
5. Знайди площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 4 см, 5 см і 10 см.
2 • (4 • 5 + 5 • 10 + 4 • 10) = 2 • (20 + 50 + 40) = 2 • 110 = 220 см2.
6. Маса 1 см3 міді — 9 г. Яка маса мідного куба, якщо довжина його ребра — 5 см?
1) 5 • 5 • 5 = 125 (см3) – об’єм куба;
2) 125 • 9 = 1125 г (В.)
7. На малюнку 149 зображено графік залежності температури повітря (T, °С) від часу (t , год). По графіку знайди, о котрій годині температура повітря була найнижчою.
Б. о 1–й год.
8. На малюнку 149 зображено графік залежності температури повітря (T, °С) від часу (t , год). По графіку знайди, на скільки градусів змінилася температура у проміжку часу від 2–ї год до 4–ї год.
–4 – (–1) = 3 °С. (Г. підвищилася на З °С.)
9. Сума довжини всіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 60 см. Знайди суму довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини.
60 : 4 = 15 см. (В.)
10. Укажи точку, що лежить нижче осі абсцис.
В. Р(20712; –138,5)
11. Познач на координатній площині точки (х; у) такі, що |х| ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 3. Укажи площу фігури, що утворилася.
х = 2, –2; у = 0, 3.
Г. 12.
12. Куб і прямокутний паралелепіпед мають однакові об’єми. Знайди ребро куба, якщо прямокутний паралелепіпед має виміри 2 см, 4 см і 8 см.
1) 2 • 4 • 8 = 64 (см3) – об’єм паралелепіпеда;
2) 64 = 43 = 4 (см) – ребро куба (Б.)
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО § 44 – 49
1. У якому з випадків на малюнку 150 зображено перпендикулярні прямі, а в якому — паралельні прямі? Виконай відповідні записи.
a ∥ b; с ⊥ d.
2. У яких координатних кутах розміщені точки, які зображено на малюнку 151?
Р – І; М – ІІ; Т – ІІІ; F – IV.
3. Знайди площу поверхні куба, ребро якого дорівнює:
1) 2 • 2 • 6 = 24 (дм2); 2) 8 • 8 • 6 = 384 (см2).
4. Знайди координати точок, як і зображено на малюнку 152.
А(3; 2); В(4; –2); С(0; –4); D(–2; –3).
5. Познач на координатній площині точки: М(–2; 1), N(0; –3), К(4; –5), Р (–3; –4).
| у | |||||||||
| N | |||||||||
| х | |||||||||
| М | |||||||||
| P | |||||||||
| K |
6. Знайди об’єм прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 8 см, 5 см і 1 дм.
8 см • 5 см • 1 дм = 8 см • 5 см • 10 см = 400 (см3)
7. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 90 см3. Його довжина дорівнює 6 см, висота — 3 см. Знайди: 1) суму довжин усіх ребер паралелепіпеда; 2) об’єм паралелепіпеда.
1) Нехай х – ширина, тоді 6 • 3 • х = 90;
18 • х = 90;
х = 90 : 18;
х = 5 (см) – ширина.
4 • (6 + 5 + 3) = 4 • 14 = 56 (см) – сума довжин ребер;
2) 6 • 5 • 3 = 90 (см3) – об’єм.
8. У резервуарі — 4 м3 води. Щохвилини з нього виливається 0,5 м3. 1) Склади таблицю залежності об’єму води р (у м3), що залишається в резервуарі, від часу t (у хв).
| t, хв | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| р, м3 | 4 | 3,5 | 3 | 2,5 | 2 | 1,5 | 1 | 0,5 | 0 |
2) Побудуй графік залежності об’єму води р від часу t.
| р | |||||||||
| t | |||||||||
9. Познач на координатній площині точки (х; у) такі, що: 1) 0 ≤ у ≤ 2, х — довільне число; 2) х ≤ 0, у ≥ 0.
| у | |||||||||
| х | |||||||||
10. Прямокутний паралелепіпед і куб мають однакові об’єми. Виміри паралелепіпеда дорівнюють 8 дм, 4 дм і 2 дм. 1) Знайди ребро куба. 2) Порівняй площі поверхонь паралелепіпеда і куба. 3) Порівняй суми довжин усіх ребер паралелепіпеда і куба.
1) 8 • 4 • 2 = 64 (дм3) – об’єм паралелепіпеда та куба;
2) 64 = 43 = 4 (дм) – ребро куба;
3) 2 • (8 • 4 + 4 • 2 + 8 • 2) = 2 • (32 + 8 + 16) = 2 • 56 = 112 (дм2) – площа поверхні паралелепіпеда;
4) 6 • 4 • 4 = 24 • 4 = 96 (дм2) – площа поверхні куба;
5) 4 • (8 + 4 + 2) = 4 • 14 = 56 (дм) – сума довжин ребер паралелепіпеда;
6) 12 • 4 = 48 (дм) – довжина ребер куба.
Відповідь: 1) 4 дм; 2) 112 дм2 > 96 дм2; 3) 56 дм > 48 дм.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ЗА КУРС МАТЕМАТИКИ 6 КЛАСУ
1. Чи можна скласти пропорцію з відношень:
1) 10 : 2 і 12 : 3
102 = 123;
5 ≠ 4 (не можна)
2) 4 : 5 і 12 : 15
45 = 1215;
45 = 45 (можна)
2. Обчисли:
1) –1,7 + (–3,3) = –5;
2) 12 + (–17) = –5.
3. Укажи два числа, які більші за число –2,9, і два числа, які менші за це число.
–2,9 < –2; –1
–2,9 > –3; –4
4. Знайди середнє арифметичне чисел –7,3 і 2,5.
(–7,3 + 2,5) : 2 = –4,8 : 2 = –2,4.
5. Знайди значення виразу:
1) |1115| – |–145| = 1115 – 145 = 1115 – 95 = 11 - 2715 = –1615 = –1115;
2) –217 • (–415) = 157 • 215 = 3 • 3 = 9.
6. 1) Познач на координатній площині точки С(–6; 3) і D(2; –1). 2) Знайди середину відрізка CD – точку К. Які координати має ця точка?
| у | |||||||||
| С | |||||||||
| К | |||||||||
| х | |||||||||
| D | |||||||||
К(–2; 1)
7. Розв’яжи рівняння
8(2,5 – 1,5х) = 27,5 – 1,5(7 + 2х);
20 – 12х = 27,5 – 10,5 – 3х;
3х – 12х = 27,5 – 10,5 – 20;
–9х = 3;
х = 3 : (–9);
х = –39 = –13.
8. На першій ділянці росте 48 кущів смородини. Кількість кущів, що ростуть на другій ділянці, становить — 34 від кількості кущів першої ділянки та 90 % від кількості кущів третьої. Скільки кущів смородини росте на трьох ділянках разом?
І. – 48 кущ.
ІІ. – ?, 34 від та 90% від ? кущ
ІІІ. – ?
1) 48 • 3 : 4 = 12 • 3 = 36 кущ. – на ІІ ділянці;
2) 36 : 0,9 = 40 кущ. – на ІІІ ділянці;
3) 48 + 36 + 40 = 84 + 40 = 124 кущ. – разом.
Відповідь: на трьох ділянках разом росте 124 кущів смородини.
9. Брусок, що має форму прямокутного паралелепіпеда, потрібно пофарбувати. Виміри бруска — 90 см, 60 см і 40 см. Скільки знадобиться фарби, якщо на 1 дм2 поверхні витрачається 3,2 г фарби?
90 см = 9 дм; 60 см = 6 дм; 40 см = 4 дм.
1) 2 • (9 • 6 + 6 • 4 + 9 • 4) = 2 • (54 + 24 + 36) = 2 • 114 = 228 (дм2) – площа поверхні бруска;
2) 228 • 3,2 = 729,6 (г)
Відповідь: знадобиться 729,6 г фарби.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 3
1. Із чисел –2,9; 5,7; –513; 0; –4,73; 2113; –2,7; 0,0001 випиши спочатку всі від’ємні числа, а потім — усі додатні.
Від’ємні: –2,9; –513; –4,73; –2,7.
Додатні: 5,7; 2113; 0,001.
Є серед чисел число, яке не є ані додатним, ані від’ємним?
Так, 0.
2. Равлик знаходиться на відстані 7 дм від землі і повзе по стовбуру зі швидкістю 2 дм/год. На якій відстані від землі він може бути через 3 год? Укажи найбільше і найменше значення.
1) 7 – 2 • 3 = 7 – 6 = 1 (дм) – якщо равлик повзе вниз;
2) 7 + 2 • 3 = 7 + 6 = 13 (дм) – якщо равлик повзе угору.
Відповідь: 1 дм або 13 дм.
3. Заповни клітинки схеми, у якій указано зміну температури.
+3 + 1 = +4°С; +4 – 4 = 0°С; 0 – 2 = –2°С; –2 + 1 = –1°С.
4. Марк зайшов у ліфт, проїхав 2 поверхи і зайшов у гості до Іринки. Після чого друзі проїхали у ліфті 5 поверхів і завітали до Олі. Скільки поверхів потрібно проїхати трьом друзям, щоб потрапити на поверх, де мешкає Марк? Розглянь усі можливі випадки.
1) Якщо Марк поїхав на 2 поверхи вверх (або вниз), а потім ще на 5 поверхів вверх (або вниз), то щоб повернутися до себе потрібно проїхати 7 поверхів вниз (або вверх);
2) Якщо Марк поїхав на 2 поверхи верх (або вниз), а потім на 5 поверхів вниз (або вверх), то щоб повернутися до себе потрібно проїхати 3 поверхи вверх (або вниз);
Відповідь: щоб друзі повернулися до Марка, їм потрібно проїхати або 7 поверхів, або 3 поврехи.
5. Запиши координати точок, зображених на малюнку 153.
А(3); К(4); N(6); D(–2); B(–4); M(–5); C(–8); L(–10)
6. Накресли координатну пряму, узявши за одиничний відрізок чотири клітинки зошита. Познач на прямій точки:
L(–10) C M B D 0 A K N(6)
7. Запиши числа, віддалені від числа 0 на:
1) 3 одиниці: +3 та –3; 2) 7 одиниць: +7 та –7.
8. Точку М (–2) перемістили праворуч на 3 одиниці і одержали точку В. Потім точку В перемістили ліворуч на 5 одиниць, і отримали точку D. Знайди координати точок B i D.
–2 + 3 = 1 = В(1); 1 – 5 = –4 = D(–4).
9. Запиши деякі два числа, рівновіддалені від числа:
1) –3 та 3; 2) 3 та 5; 3) –6 та –4; 4) 7 та 8; 5) –4 та –5; 6) –2022 та –2024.
10. Яка з двох точок розміщена правіше:
1) В(х + 7); 2) С(х); 3) N(x – 2); 4) К(х + 1).
11. Точка C віддалена на 6 одиниць від точки К (–4). Якою в одиничних відрізках може бути відстань між точкою C і точкою N(1)?
C(–10) або С(2), тоді
1) CN = 10 + 1 = 11 (од.);
2) CN = 2 – 1 = 1 (од.)
Відповідь: 11 од. або 1 од.
12. Заповни в зошиті таблицю:
| Число | 4 | –9 | 713 | –2,5 | 0 | –513 | 7,42 | –0,11 |
| Число, йому протилежне | –4 | 9 | –713 | 2,5 | 513 | –7,42 | 0,11 |
13. Накресли координатну пряму й познач на ній точки А(–7), В(2), С(4), D(–1). Познач на ній точки A1, B1, C1 і D1 координати яких протилежні координатам точок А, В, C і D.
А С1 В1 D 0 D1 В С А1
14. Знайди число, протилежне:
1) добутку чисел 6 і 7,2;
6 • 7,2 = 43,2 = –43,2;
2) сумі чисел 413 і 579;
413 + 579 = 133 + 529 = 39 + 529 = 919 = 1019 = –1019.
15. Виділи: 1) цілі додатні числа; 2) цілі від’ємні числа; 3) цілі числа; 4) дробові додатні числа; 5) дробові від’ємні числа; 6) дробові числа з таких раціональних чисел:
1) 18; 9; 2) –19; –15; 3) 18; 9; –19; –15; 0; 4) 415; 713; 7,31; 0,92; 5) –8,29; –6783; 6) 415; 713; 7,31; 0,92; –8,29; –6783.
16. Знайди –а, якщо:
1) –7,3; 2) 0,9; 3) –5.
17. Знайди b, якщо:
1) 8; 2) –9,1; 3) –4.
18. Знайди х, якщо:
1) –х + 458 = 7316;
–х = 7316 – 458;
–х = (6 – 4) + (1916 – 58);
–х = 219 - 1016;
х = –2916.
2) –(–(–х)) = –3;
–(–х) = 3;
х = 3.
19. Знайди модуль числа:
1) |–17| = 17;
2) |37| = 37;
3) |–318| = 318;
4) |–29| = 29;
5) |0| = 0;
6) |37,2| = 37,2.
20. Знайди. Запиши відповідні рівності.
1) додатне число, модуль якого дорівнює 4,1; 5; 19712;
|4,1| = 4,1; |5| = 5; |19712| = 19712.
2) від’ємне число, модуль якого дорівнює 5,31; 713; 11.
|–5,31| = 5,31; |–713| = 713; |–11| = 11.
21. Порівняй модулі чисел:
1) |7,1| > |–2,9|;
2) |–9| > |–8|;
3) |–12,2| = |12,2|;
4) |–2,91| > |0|;
5) |0| < |7,3|;
6) |–14,7| > |14,6|.
22. Порівняй значення виразів:
1) |–4,8| : |–375| < 335 – |–1,05|;
4,8 : 375 = 4810 : 375 = 4810 : 225 = 4810 • 522 = 42 = 2;
335 – 1,05 = 335 – 15100 = 185 – 105100 = 360100 – 105100 = 255100 = 5120 = 21120;
2 < 21120;
2) |723 – 489| < |–1910| • |123|;
|723 – 489| = 723 – 489 = 233 – 449 = 699 – 449 = 259 = 279;
|–1910| • |123| = 1910 • 123 = 1910 • 53 = 9530 = 316;
279 < 316.
23. Запиши числа: 4,52; –4,2; –4,6; 4,21; –4,37; –4,99; 4,9; –4,4 у порядку зростання їхніх модулів.
|–4,2|, |4,21|, |–4,37|, |4,4|, |4,52|, |–4,6|, |4,9|, |–4,99|.
24. Розв’яжи рівняння:
| 1) 5,5 – 2|x| = 4,5;–2|x| = 4,5 – 5,5;–2|x| = –1;|x| = –1 : –2;|x| = 0,5;х = 0,5 та х = 0,5. | 2) 10 – |x| = 723;|x| = 10 – 723;|x| = 303 – 233;|x| = 73 = 213;х = 213 та –213 | 3) |x| : |–412| = |179|;|x| : 412 = 179;|x| = 179 • 412;|x| = 169 • 92;|x| = 8;х = 8 та х = –8. |
25. Зафарбуй частину координатної прямої, для координат точок якої виконується нерівність |х| < 3,5.
|х| < 3,5; –3,5 < х < 3,5.
–3,5 0 3,5
26. Запиши всі цілі числа, як і одночасно задовольняють дві нерівності:
1) 3,7 < х < 9,21 і |х| > 4,2;
3,7 < х < 9,21; х = 4, 5, 6, 7, 8, 9.
|х| > 4,2; –4,2 > х > 4,2;
х = 5, 6, 7, 8, 9.
2) |х| < 4,2 і |х| > 1,97.
|х| > 4,2; –4,2 > х > 4,2;
|х| > 1,97; –1,97 > х > 1,97;
х = –4, –3, –2.
27. 1) Яке з двох чисел менше: –9 чи 0; 3 чи –12?
–9; –12.
2) Яке з двох чисел більше: 17 чи 0; –9 чи 5?
17; 5.
28. Запиши по порядку цілі числа від –5 до 3.
–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.
29. Порівняй числа
1) –8,5 < –5,8;
2) –4,12 > –4,2;
3) –0,713 > –0,731;
4) –0,9 < –0,899;
5) –78 < –34; –78 < 68;
6) –920 < –716; –3680 < –3580;
30. Познач на координатній прямій усі недодатні цілі числа, більші за –4,9.
–4 –3 –2 –1 0
–1, –2, –3, –4.
31. Запиши в порядку зростання числа, протилежні числам 2,71; –4,8; –0,37; 0,73; 2,7; –4,73.
–2,71; –2,7; –0,73; 0,37; 4,73; 4,8.
32. Відомо, що а – додатне число, b – від’ємне. Порівняй:
1) |a| = a; 2) b < |b|; 3) –a < |a|; 4) |b| = –b;
5) |–a| > –a; 6) –b = |–b|; 7) |–a| = a; 8) –|b| = b.
33. У числах стерли кілька цифр, і замість них поставили зірочки. Порівняй ці числа:
1) –5,7** < –5,6**; 2) –0,412* > –0,421*; 3) –8** < –*1**;
4) –**,* > –***,*; 5) –*,** < 0; 6) –93,* < –*2,***.
34. Чи правильне твердження:
1) якщо х = у, то |х| = |у|; Так.
2) якщо |х| = |у|, то х = у; Так.
3) якщо х = –у, то х = |–y|; Ні.
4) якщо х = у, то |х| = у; Так.
5) якщо |х| = |y|, то х = у або х = –у; Так.
6) якщо |х| = |у|, то х ≥ у; Ні.
7) якщо х = |у|, то х ≥ у; Так.
8) якщо х = –у, то х ≥ |у|; Ні.
35. Чи правильне твердження:
1) якщо |х| < |у|, то х < у; Ні.
2) якщо |x| < у, то х < у; Ні.
3) якщо |х| > |у|, то х > у; Ні.
4) якщо |х| > у, то х > у; Так.
5) якщо х < у, то |х| < у; Так.
6) якщо х > у, то |х| > у; Так.
36. Знайди значення виразу:
1) –9 + (–12) = – 21;
2) –4,7 + (–2,1) = –6,8;
3) –5 + (–4,9) = –9,9;
4) –1,2 + (–2,8) = –4;
5) –13,3 + (–12,9) = –26,2;
6) –7,2 + (–2,113) = –9,313.
37. Обчисли та прочитай назву міста–героя України.
1) –212 + (–3712) = –52 + (–4312) = –30 + 4312 = –7312 = –6112; (П)
2) –423 + (–178) = –143 + (–158) = –112 + 4524 = –15724 = –61324; (Ь)
3) –356 + (–2112) = (–5) + (–56 + (–112)) = –510 + 112 = –51112;(І)
4) –512 + (–5524) = (–5) + (–512 + (–524)) = –510 + 524 = –51524 = –558; (Н)
5) –134 + (–4512) = (–5) + (–34 + (–512)) = –59 + 512 = –6212 = –616; (Р)
| –51112 | –616 | –6112 | –51112 | –558 | –61324 |
| І | Р | П | І | Н | Ь |
38. Знайди значення виразу:
1) –2,9 + (–х), якщо х = 15; 2,3; 7,31;
–2,9 + (–15) = –17,9; –2,9 + (–2,3) = –5,2; –2,9 + (–7,31) = –10,21.
2) у + (–8,7), якщо у = –4,8; –12; –2,93.
–4,8 + (–8,7) = –13,5; –12 + (–8,7) = –20,7; –2,93 + (–8,7) = –11,63.
39. Склади числовий вираз і обчисли його значення:
1) (–7,28 + (–145)) + (–215 + (–3,02)) = (–7,28 + (–1,8)) + (–2,2 + (–3,02)) = –9,08 + (–5,22) = –14,3;
2) (–513 + (–4118)) + (–(323 + 716)) = (–96 + 118) + (–104 + 16) = –9718 + (–1056) = –197 + 1518 = –192218 = –2029;
40. Заповни в зошиті таблицю.
| х | –9 | –14,5 | –313 | –6,2 | –213 | –7,39 |
| у | –2,7 | –13,9 | –456 | –445 | –5,2 | –4625 |
| |x| + |y| | 11,7 | 28,4 | 816 | 11 | 7815 | 11,63 |
| |х + y| | 11,7 | 28,4 | 816 | 11 | 7815 | 11,63 |
–313 + (–456) = –72 + 56 = –816; –6,2 + (–445) = –6,2 + (–4,8) = –11;
–213 + (–5,2) = –213 + (–515) = –75 + 315 = –7815;
–7,39 + (–4625) = –7,39 + (–4,24) = –11,63.
41. Чи може сума двох чисел бути меншою за кожен з доданків? Наведи приклад. Зроби висновки.
Так, якщо ці два числа від'ємні. Наприклад –3 + (–2) = –5.
–5 < –3; –5 < –2.
Сума двох від'ємних чисел завжди менше кожного з доданків.
42. Знайди суму:
1) –4,513 + 5,21 = 0,697; 2) 7,25 + (–8,311) = –1,061;
3) 5,73 + (–4,217) = 1,513; 4) –917 + 1 = –917 + 1717 = 817;
5) –5 + (–213) = –5213; 6) –3 + 279 = –9 -79 = 29.
44. Запиши кожне із чисел –7,3; –2; –9,57 у вигляді суми: 1) двох від’ємних чисел; 2) додатного і від’ємного чисел.
1) –7 + (–0,3) = –7,3; –1 + (–1) = –2; –9 + (–0,57) = –9,57.
2) 0,7 + (–8) = –7,3; 1 + (–3) = –2; 0,43 + (–10) = –9,57.
45. Для чисел а = –12, b = 7 знайди значення виразів:
1) a + b = –12 + 7 = –5; 2) |a| + b = |–12| + 7 = 12 + 7 = 19;
3) a + |b| = –12 + |7| = –12 + 7 = –5;
4) |a + b| = |–12 + 7| = |–5| = 5;
5) |a| + |b| = |–12| + |7| = 12 + 7 = 19.
46. Знайди значення виразів
1) –2512 + 379 = 1-15 + 28 36 = 11336;
2) 879 + (–131721) = –5(79 + (–1721)) = –549 - 5163 = –5263;
3) –913 + (–279) = –11(13 + 79) = –113 + 79 = –1219;
4) –2,75 + 234 = –2,75 + 2,75 = 0;
5) 4,8 + (–3710) = 4,8 + (–3,7) = –1,1;
6) 5,47 + (–625) = 5,47 + (–6,4) = –0,93.
47. Знайди значення виразів |х + у| і |х| + |у|, якщо:
1) |7 + (–9)| = |–2| = 2; |7| + |–9| = 7 + 9 = 16;
2) |–13 + (–4)| = |–17| = 17; |–13| + |–4| = 13 + 4 = 17;
3) |–2,71 + 4,31| = |1,6| = 1,6; |–2,71| + |4,31| = 2,71 + 4,31 = 7,02;
4) |7,2 + 4,9| = 7,2 + 4,9 = 12,1; |7,2| + |4,9| = 7,2 + 4,9 = 12,1.
48. Додатним чи від’ємним є число а, якщо:
1) –7 + а < –7; від’ємним;
2) 7 + а > 7; додатним;
3) –5 + а > –1; додатним;
4) а + (–4) < –6; від’ємним;
5) –а + 9 > 9; від’ємним;
6) –6 + (–а) < –6; додатним;
49. Знайди суму:
1) –9 + 9 = 0;
2) 4 + (–4) = 0;
3) –1 + 1 + 7 = 7;
4) –12 + 3 + (–3) = –12.
50. Обчисли значення виразу 7 + х + (–у), якщо:
1) 7 + 3 + (–(–5)) = 10 + 5 = 15;
2) 7 + (–9) + (–(–1)) = 7 + (–9) + 1 = –1;
3) 7 + (–7) + (–2) = 7 + (–9) = –2;
4) 7 + 4 + (–7) = 11 + (–7) = 4.
51. Виконай додавання, обираючи зручний порядок дій:
1) –13 + (–7) + 21 + 20 + (–19) = –20 + 20 + 21 + (–19) = 2;
2) –2,3 + 7 + 3,3 + (–8) = –10,3 + 10,3 = 0;
3) –7,32 + 19,1 + 8,32 + (–9,1) = (8,32 – 7,32) + (19,1 – 9,1) = 1 + 10 = 11;
4) 14,35 + (–23,51) + 3,51 + (–12,35) = (14,35 – 12,35) + (–23,51 + 3,51) = 2 + (–20) = –18.
52. Порівняй значення виразів:
1,8 + (–334) + (–7,4) + 425 = 1,8 + (–3,75) + (–7,4) + 4,4 = –4,95
358 + (–5,4) + (–3116) = 358 + (–525) + (–3116) = 10 - 116 + (–525) = 916 – 525 = –545 - 32 80 = –51380;
–51380 < –4,95.
53. Знайди значення виразу |х + (–у) + 11| + (–х) + у, якщо:
|–516 + (–(–323)) + 11| + (–(–516)) + (–323) = |–516 + 323 + 11| + 516 – 323 = |–516 + 1423| + 21 - 46 = |11-1 + 46| + 136 = |1136| + 136 = 1113 + 113 = 1223.
54. Обчисли різницю:
1) 12 – 19 = –7;
2) 14 – (–8) = 22;
3) –8 – 7 = –15;
4) –12 – (–3) = –9.
55. Виконай віднімання:
1) 2,9 – 4,7 = –1,8;
2) 12,5 – (–4,8) = 17,3;
3) –12,3 – 14,9 = –27,2;
4) –17,8 – (–18,7) = 0,9;
5) 49 – 1 = 49 – 99 = –59;
6) –23 – 413 = –42 + 13 = –5.
7) –413 – (–523) = 1-1 + 23 = 113;
8) 79 – (–219) = 27 + 19 = 289;
9) –2,1 – (–2110) = –2,1 + 2,1 = 0.
56. Заміни віднімання додаванням та обчисли: 1) –12 + 39 – 42 + (–2); 2) –4 + 9 – (–11); 3) 2,9 – 3,1 – 4,9
1) 39 – 42 – 12 – 2 = 39 + 42 + 12 + 2 = 95;
2) 9 – 4 + 11 = 9 + 4 + 11 = 14;
3) 2,9 + 3,1 + 4,9 = 10,9.
57. Розв’яжи рівняння:
1) х + (–2) = 7;
х = 7 + 2;
х = 9;
2) х – 4 = –15;
х = –15 + 4;
х = –11;
3) 9 – х = –7;
х = 9 – (–7);
х = 16;
4) 4 + х = –11;
х = –11 – 4;
х = –15;
5) –2 – х = 9;
х = –2 – 9;
х = –11;
6) х – (–2) = –3;
х = –3 + (–2)
х = –5.
58. Знайди значення виразу а – b – с + d, якщо:
1) –5,2 – 4,7 – (–8) + (–2,1) = –9,9 + 8 – 2,1 = –12 + 8 = –4;
2) 413 – (–556) – 2 + 4112 = 413 + 556 – 2 + 4112 = 134 + 10 + 112 – 2 = 131512 – 2 = 111512 = 12312 = 1214.
59. Склади вираз і обчисли його значення:
1) від різниці чисел 2,9 і –1,2 відняти суму чисел 1,7 і –3,2;
(2,9 – (–1,2) – (1,7 + (–3,2) = 4,1 – (–1,5) = 4,1 + 1,5 = 5,6.
2) до суми чисел –1,8 і –2,5 додати різницю чисел –5,2 і –1,8.
(–1,8 + (–2,5)) + (–5,2 – (–1,8)) = –4,3 + (–3,4) = –7,7.
60. Знайди відстань між точками A i B координатної прямої, якщо:
1) А(–2,5), В(7,2); 2) А(–2,8), В(–4,3); 3) А(7,2), В(–1,4).
1) 7,2 + 2,5 = 9,7; 2) 4,3 – 2,8 = 1,5; 3) 7,2 + 1,4 = 8,6.
61. Розв’яжи рівняння:
1) 9815 – (х + 3,7) = 1013;
х + 3,7 = 9815 – 1013;
х + 3,7 = –18 - 515;
х = –1315 – 3,7;
х = –115 – 3,7;
х = –1,2 – 3,7;
х = –4,9.
2) |x + 3| – 3 = –1;
|x + 3| = –1 + 3;
|x + 3| = 2;
х + 3 = 2;
х = 2 – 3;
х = –1;
або х + 3 = –2;
х = –2 – 3;
х = –5.
62. Які з поданих нерівностей правильні, якщо у < 0:
1) 9 – у < 9; не правильна;
2) 4,2 – у > 4,2; правильна;
3) у – 3,9 > –3,9; не правильна;
4) –у – 5 > –5; правильна.
63. Чи може різниця двох чисел бути більшою за зменшуване? Наведи приклад. Зроби висновки.
Так. Наприклад 3 – (–2) = 5 або –3 – (–1) = –2. Різниця двох чисел буде більше за зменшуване, якщо від’ємник буде від’ємним числом.
64. Розкрий дужки:
1) (m + a) – 2 = m + a – 2;
2) c + (b – 3) = c + b – 3;
3) –(p – 4) = –p + 4;
4) a – (b – c) = a – b + c.
65. Розкрий дужки й обчисли:
1) 2,9 + (3,7 – 1,9) = 2,9 + 3,7 – 1,9 = 6,6 – 1,9 = 4,7;
2) –(5,2 – 4,3) + 5,2 = –5,2 + 4,3 + 5,2 = 4,3;
3) –17 – (27 + 147) = –17 – 27 –147 = –11 + 2 + 47 = –2;
4) 25 – (–110 + 215) = 25 + 110 – 215 = 12 + 3 - 430 = 1130;
5) –1 + (27 – 114) = –1 + 27 – 114 = -14 + 4 - 114 = –1114;
6) (12 – 14) – (14 – 18) = 12 – 14 – 14 + 18 = 4 - 2 - 2 + 18 = 18;
66. Розкрий дужки і спрости вираз:
1) 2,7 – (а – 1,5) = 2,7 – a + 1,5 = 4,2 – a;
2) (4 – а) – (b – 2) = 4 – a – b + 2 = 6 – a – b;
3) –(р – 8) – 7 = –p + 8 – 7 = 1 – p;
4) –(m – 2) + (b – 3) = –m + 2 + b – 3 = b – m – 1;
5) –1,9 – (1,7 + t) = –1,9 – 1,7 – t = –3,6 – t;
6) –(2 – а – b) + 2 = –2 + a + b + 2 = a + b.
67. Запиши різницю виразів 7,8 + х – у і –5,2 – t + х та спрости її. Знайди значення цієї різниці, якщо:
7,8 + х – у – (–5,2 – t + x) = 7,8 + x – y – 5,2 + t – x = 2,6 – y + t = 2,6 – (–125) + (–4,6) = 2,6 + 1,4 – 4,6 = 4 – 4,6 = –0,6.
68. Розв’яжи рівняння, спочатку спростивши вираз у його лівій частині:
1) 8716 + (–х – 538) = 9,2;
8716 – 538 – х = 915;
37 - 616 – х = 915;
х = 3116 – 915;
х = –65 - 1680;
х = –61180;
2) 7,9 – (414 – х) = 1,42;
7,9 – 4,25 + х = 1,42;
3,65 + х = 1,42;
х = 1,42 – 3,65;
х = –2,23.
69. Обчисли:
1) –8 ∙ 12 = –96;
2) –41 ∙ (–5) = 205;
3) 29 ∙ (–10) = –290;
4) –17 ∙ (–11) = 187.
70. Знайди значення добутку:
1) –1,57 ∙ (–0,8) = 1,256;
2) –0,36 ∙ 5,45 = –1,962;
3) 1125 ∙ (–522) = –55550 = –110;
4) –35 ∙ (–1527) = 45135 = 13;
71. Обчисли значення квадрата або куба від’ємного числа:
1) (–4,1)2 = (–4,1) ∙ (–4,1) = 16,81;
2) (–6)3 = –216;
3) (–113)2 = (–43) ∙ (–43) = 179;
4) (–0,2)3 = –0,008;
5) (–13)3 = –127;
6) (–45)2 = 1625;
7) (–212)3 = (–52)3 = –1258 = –1558;
8) (–2,4)2 = 5,76.
72. Обчисли значення виразу –7,4(8 – х), якщо х = 2,5; –1,5; 8; –8.
–7,4(8 – 2,5) = –7,4 ∙ 5,5 = –40,7;
–7,4(8 – (–1,5)) = –7,4(8 + 1,5) = –7,4 ∙ 9,5 = –70,3;
–7,4(8 – 8) = –7,4 ∙ 0 = 0;
–7,4(8 – (–8)) = –7,4(8 + 8) = –7,4 ∙ 16 = 118,4.
73. Обчисли значення виразу:
1) 4х2 – у3 = 4 ∙ (–0,5)2 – (–2)3 = 4 ∙ 0,25 – (–8) = 1 + 8 = 9;
2) 5m3 – 4a2 = 5(–0,4)3 – 4(–14)2 = 5 ∙ (–0,064) – 4(116) = –0,32 – 14 = –0,32 – 0,25 = –0,57.
74. Запиши кожне із чисел –1; –16; –2536; –100 у вигляді добутку двох протилежних чисел.
1 ∙ (–1) = –1;
4 ∙ (–4) = –16;
56 ∙ (–56) = –2536;
10 ∙ (–10) = –100.
75. Склади числовий вираз та знайди його значення:
1) добуток суми чисел 6 і –2,5 та їхньої різниці;
(6 + (–2,5)) ∙ (6 – (–2,5)) = 3,5 ∙ 8,5 = 29,75;
2) сума добутків чисел 6 і –2,5 та –8 і 1,5;
6 ∙ (–2,5) + (–8) ∙ 1,5 = –15 + (–12) = –27;
3) квадрат різниці чисел 6,8 і –7,2;
(6,8 – (–7,2))2 = (6,8 + 7,2)2 = (14)2 = 196;
4) різниця квадратів чисел 6,8 і –7,2.
6,82 – (–7,2)2 = 46,24 – 51,84 = –5,6.
76. Додатним чи від’ємним є значення виразу:
1) ху + 9t, якщо х < 0, у < 0, t > 0; додатним.
2) ab – 4с, якщо а > 0, b < 0, с > 0; від’ємним.
77. Для яких натуральних значень х виконується нерівність:
1) –5x > –30; x > –30 : (–5); x > 6; x = (7; +∞);
2) –4x ≥ –16; х ≥ –16 : (–4); х ≥ 4; х = (4; +∞).
78. Якого найменшого значення може набувати вираз (х + 4,2)2 – 5,8, для якого значення х це справджується?
х = –4,2, тоді (–4,2 + 4,2)2 – 5,8 = (0)2 – 5,8 = –5,8.
79. Запиши коефіцієнт буквеного виразу:
1) 9; 2) –5; 3) 0,42; 4) –1; 5) 1; 6) –219.
80. Обчисли, використовуючи властивості множення:
1) –4 ∙ 47 ∙ (–0,5) = –4 ∙ (–0,5) ∙ 47 = 2 ∙ 47 = 94;
2) –8 ∙ (–1,25) ∙ 17 = 10 ∙ 17 = 170;
3) –13 ∙ 17 ∙ (–9) = –13 ∙ (–9) ∙ 17 = 3 ∙ 17 = 51;
4) 78 ∙ 12,9 ∙ (–117) = 78 ∙ (–87) ∙ 12,9 = 12,9;
5) 712 ∙ (–4) ∙ (–6) ∙ (–7) = 712 ∙ 6 ∙ 4 ∙ (–7) = 72 ∙ 4 ∙ (–7) = 14 ∙ (–7) = –98;
6) 712 ∙ –(8,5) ∙ 0,2 ∙ (–157) = 712 ∙ (–127) ∙ –(8,5) ∙ 0,2 = –1 ∙ (–1,7) = 1,7.
81. Перевір сполучну властивість множення, якщо:
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
1) а = –2,5; b = –4; с = 9;
(–2,5 ∙ (–4)) ∙ 9 = 10 ∙ 9 = 90;
–2,5 ∙ (–4 ∙ 9) = –2,5 ∙ (–36) = 90;
2) a = –23; b = 38; c = –113.
(–23 ∙ 38) ∙ (–113) = (–624) ∙ (–43) = 14 ∙ 43 = 13;
–23 ∙ (38 ∙ (–113)) = –23 ∙ (38 ∙ (–43)) = –23 ∙ (–12) = 13.
82. Спрости вираз і запиши окремо його коефіцієнт:
1) –5m ∙ 9 = –45m; (–45);
2) –2x ∙ (–0,8) = 1,6x; (1,6);
3) 4,5a ∙ (–4b) = –18ab; (–18);
4) 7,2 ∙ (–2b) ∙ (–1) = 14,4b; (14,4);
5) –0,4m ∙ 2,5 = –m; (–1);
6) –12a ∙ (–112b) = ab; (1).
83. Обчисли, обираючи зручний порядок дій:
1) 723 ∙ (–223) ∙ (–92) ∙ 1,2 = 723 ∙ (–92) ∙ (–83) ∙ 65 = 7 ∙ (–4) ∙ (–165) = 28 ∙ 165 = 28 ∙ 315 = 28 ∙ 3,2 = 89,6;
2) –716 ∙ 925 ∙ (–32) ∙ (–7,5) = –716 ∙ (–32) ∙ 925 ∙ (–712) = 7 ∙ 2 ∙ 925 ∙ (–152) = 14 ∙ (–9 • 35 • 2) = –14 ∙ 2710 = –14 ∙ 2710 = –14 ∙ 2,7 = –37,8.
84. Порівняй значення добутків
–1,8 ∙ (–9) ∙ 56 ∙ (–1718) = –1810 ∙ 56 ∙ (–2518) ∙ (–9) = 1810 ∙ 56 ∙ 2518 ∙ (–9) = –32 ∙ 252 = –754 = –1834 = –18,75.
–12 ∙ (–1712) ∙ (–511) ∙ 2,2 = 12 ∙ 1912 ∙ (–511) ∙ 215 = –19 ∙ 511 ∙ 115 = –19.
–18,75 > –19.
85. Розв’яжи рівняння:
1) –0,4 • х • (–0,2) – 4 = 12;
0,08х = 12 + 4;
0,08х = 16;
х = 16 : 0,08;
х = 200.
2) –412х • (–119) = –7,8 • (–0,2);
92х • 109 = 1,56;
5х = 1,56;
х = 1,56 : 5;
х = 0,312.
86. Перепиши та підкресли спільний множник:
1) ax + xm;
2) 3c – 3a;
3) ya – 2y;
4) 5mx + 2my.
87. Розкрий дужки:
1) 7(a – 1) = 7a – 7;
2) 4(b + 2) = 4b + 8;
3) –3(p – 2) = –3p + 6;
4) (2a – 1) • (–3) = –6a + 3;
5) (–8p + 3) • 5 = –40p + 15;
6) (–a – 2) • (–3) = 3a + 6.
88. Винеси за дужки спільний множник:
1) 7p – 7a = 7(p – a);
2) –5a + 5b = –5(a – b);
3) 9a + 9x = 9(a + x);
4) ax + ay = a(x + y);
5) 5m – mb = m(5 – b);
6) 4a + 4 = 4(a + 1);
7) 2ab + 2ac = 2a(b + c);
8) 9ax – 9ay = 9a(x – y).
89. Обчисли зручним способом:
1) 15 • 27 – 15 • 37 = 15 • (27 – 37) = 15 • (–10) = –150;
2) –4 • 106 + (–6) • (–4) = –4 • (106 – 6) = –4 • 100 = –400;
3) 1,45 • 15 – 3,45 • 15 = 15 • (1,45 – 3,45) = 15 • (–2) = –30;
4) –0,2 • 1,7 – 1,6 • (–0,2) = –0,2 • (1,7 – 1,6) = –0,2 • 0,1 = –0,02;
5) 38 • (–0,4) + 38 • (–0,6) = –38 • (0,4 + 0,6) = –38 • 1 = –38;
6) –413 • 79 – 423 • 79 = –79 • (413 + 423) = –79 • 9 = –7.
90. Розкрий дужки:
1) –0,8а(–5b + 3с – 0,2) = 4ab – 2,4ac + 0,2a;
2) –10(0,4х – 0,92у + 7с) = –4x + 9,2y – 70c;
3) (–0,2а + 3b – с) • (–5) = a – 15b + 5c;
4) (–34a + 18b – x) • 16y = –34a • 16y + 18b • 16y – x • 16y = –12ау + 2by – 16xy = 2by – 12ay – 16xy.
91. Обчисли зручним способом:
1) –2914 • 0,6 – 0,6 • (–11021) + 0,6 • 116 = 0,6 • (–2914 + 11021 + 116) = 0,6 • (3021 + 76 – 3714) = 0,6 • (60 + 49 - 11142) = 0,6 • –242 = 610 • –242 = –135;
2) 5,7 • 313 – 5,7 • 423 + 4,7 • 513 + (–4,7) • 4 = 5,7 • (313 – 423) + 4,7 • (513 – 4) = 5,7 • (103 – 143) + 4,7 • (163 – 123) = 5,7 • –43 + 4,7 • 43 = 43 • (–5,7 + 4,7) = –43 = –113.
92. Зведи подібні доданки:
1) 4b + 3b = 7b;
2) 7c – c = 6c;
3) –2x – 9x = – 11x;
4) y + 7y + 3y = 11y;
5) 3a – 3a = 0;
6) 3a + 3a = 6a;
7) 4d – 5d = –d;
8) y – 7y – 3y = –9y.
93. Спрости вираз та знайди його значення:
1) –7b + b + 4b = –2b = –2 • (–0,8) = 1,6;
2) 13x – 3х – 11х = –х = 217.
94. Спрости вираз у дужках, після чого розкрий дужки:
1) 3(5х – 7х + 9) = 3(–2х + 9) = –6х + 27;
2) –(7 – 4р + 9р) = –(7 + 5р) = –7 – 5р;
3) –2(9а + а – 8) = –2(10а – 8) = –20а + 16;
4) –(9а – 10 – 9а) = –(–10) = 10;
5) –0,4(d – m + d) = –0,4(2d – m) = –0,8d + m;
6) (4m – 2p – 4m) • (–0,5) = (–2p) • (–0,5) = р.
95. Доведи, що значення виразу (2х – 7) • 0,4 – 0,5(3х – 2) – (4 – 0,7х) не залежить від значення х.
(2х – 7) • 0,4 – 0,5(3х – 2) – (4 – 0,7х) = 0,8х – 2,8 – 1,5х + 1 – 4 + 0,7х = 1,5х – 1,5х – 2,8 – 3 = –5,8.
96. Розв’яжи рівняння:
1) 7(х – 1) – 6(х – 3) = 3;
7х – 7 – 6х + 18 = 3;
х + 11 = 3;
х = 3 – 11;
х = –8.
2) 9(х + 1) – 7(х – 3) = 36;
9х + 9 – 7х + 21 = 36;
2х + 30 = 36;
2х = 36 – 30;
2х = 6.
97. Знайди значення виразу 6а – (4а – 8b + 10с), якщо а + 4b – 5с = –8.
6а – (4а – 8b + 10с) = 6a – 4a + 8b – 10c = 2a + 8b – 10c = 2(a + 4b – 5c) = 2 • (–8) = –16.
98. Виконай ділення:
1) 6 : (–1) = –6;
2) –10 : (–2) = 5;
3) –19 : 1 = –19;
4) 12 : (–3) = –4;
5) –5 : (–1) = 5;
6) –18 : 6 = –3.
99. Обчисли:
1) –5,4 : 0,9 = –6;
2) –7,982 : (–2,6) = 3,07;
3) 9,8 : (–3,5) = –2,8;
4) 12 : (–47) = 12 • (–74) = –21;
5) –127 : (–914) = 97 : 914 = 97 • 149 = 2;
6) –335 : 1225 = –185 : 2725 = –185 • 2527 = –103 = –313.
100. Розв’яжи рівняння:
1) –4,2х = 6,3;
х = 6,3 : (–4,2);
х = –1,5.
2) –9 : х = –2,5;
х = –9 : (–2,5);
х = 3,6.
3) 7,4х = –7,77;
х = –7,77 : 7,4;
х = –1,05.
4) –512х = –14;
х = 14 : 512;
х = 14 • 125;
х = 35.
5) –1219 : х = 4;
х = –1219 : 4;
х = –1219 • 14;
х = –319.
6) 213 : х = –159;
х = 213 : (–159);
х = 73 : (–149);
х = 73 • (–914);
х = –32 = –112.
101. Знайди значення виразу –20 : b – 6,5, якщо b = –2; 5; 0,8; –0,5; –10; 2,5.
–20 : (–2) – 6,5 = 10 – 6,5 = 3,5;
–20 : (5) – 6,5 = –4 – 6,5 = –10,5;
–20 : (0,8) – 6,5 = –25 – 6,5 = – 31,5;
–20 : (–0,5) – 6,5 = 40 – 6,5 = 33,5;
–20 : (–10) – 6,5 = 2 – 6,5 = –4,5;
–20 : (2,5) – 6,5 = –8 – 6,5 = –14,5.
102. Обчисли значення виразу:
1) (7,2 – 7,5)2 : (–118) = (–0,3)2 : (–98) = 0,09 : (–98) = 9100 : (–98) = 9100 • (–89) = –8100 = –0,08;
2) –315 : (5,8 – 6,2)3 = –3,2 : (–0,4)3 = –3,2 : (–0,064) = 50.
103. Обчисли |а : b| і |а| : |b|, якщо:
1) |a : b| = |–0,36 : (–0,09)| = |4| = 4;
|a| : |b| = |–0,36| : |–0,09| = 0,36 : 0,09 = 4.
2) |a : b| = |1825 : (–145)| = |1825 : (–95)| = |1825 • (–59)| = |–25| = 25;
|a| : |b| = |1825| : |–145| = |1825| • |–59| = 1825 • 59 = 25.
104. Розв’яжи рівняння:
1) х : (–2,7) = 4 : (–1,8);
х : (–2,7) = 4 : (–1,8);
х = 4 : (–1,8) • (–2,7);
х = 10,8 : 1,8;
х = 6.
2) х5,2 = –72;
х = –312 • 5,2;
х = –3,5 • 5,2;
х = –18,2.
3) |x| • (–4) = –2,4;
|x| = –2,4 : (–4);
|x| = 0,6;
x = 0,6 або –0,6.
4) 10 : |x| = –2;
|x| = 10 : (–2);
|x| = –5;
не має коренів.
5) 2х – 3х + 7 = 4;
–х = 4 – 7;
–х = –3;
х = 3.
6) 6х – 9х + 1,2 = 2,7;
–3х = 2,7 – 1,2;
–3х = 1,5;
х = 1,5 : (–3);
х = –0,5.
105. Учениця задумала число. Помножила його на 0,3, потім від добутку відняла 4,7. У результаті вона отримала число –6,5. Яке число задумала учениця?
0,3х – 4,7 = –6,5;
0,3х = –6,5 + 4,7;
0,3х = –1,8;
х = –1,8 : 0,3;
х = –6 – задумала учениця.
106. Перенеси в ліву частину рівняння всі доданки, що містять невідоме, а у праву — всі доданки, що не містять невідомого:
1) 7x + 3 = 4 – 2х;
7х + 2х = 4 – 3;
9х = 1.
2) 9у – 4 = 7y + 1;
9у – 7у = 1 + 4;
2у = 5.
3) –5р – 3 = –3р + 2;
–5р + 3р = 2 + 3;
–2р = 5.
107. Розв’яжи рівняння:
1) 7х + 1 = –6;
7х = –6 – 1;
7х = –7;
х = –7 : 7;
х = –1.
2) 10x = 5х + 7;
10х – 5х = 7;
5х = 7;
х = 7 : 5;
х = 1,4.
3) 12х + 4 = 7 – 8х;
12х + 8х = 7 – 4;
20х = 3;
х = 3 : 20;
х = 0,15.
4) 18х – 4 = 9 – 78х;
18х + 78х = 9 + 4;
х = 13.
5) 9(х – 3) = –(х + 4);
9х – 27 = –х – 4;
9х + х = 27 – 4;
10х = 23;
х = 23 : 10;
х = 2,3.
6) 7(х – 2) = 4х;
7х – 14 = 4х;
7х – 4х = 14;
3х = 14;
х = 14 : 3;
х = 143 = 423.
108. Для якого значення х значення виразу:
1) 2х + 5 дорівнює 1;
2х + 5 = 1;
2х = 1 – 5;
2х = –4;
х = –4 : 2;
х = –2.
2) 3(х – 4) дорівнює –9;
3(х – 4) = –9;
3х – 12 = –9;
3х = 12 – 9;
3х = 3;
х = 1.
109. Знайди корінь рівняння:
1) 13у + 1718 = 149у – 16;
13у – 139у = –16 – 1718;
3 - 139у = -3 - 1718;
-109у = -2018;
у = 2018 : 109;
у = 2018 • 910;
у = 22 = 1;
3) 25(114х + 5) = 18х + 235;
25(54х + 5) = 18х + 135;
12х + 2 = 18х + 135;
12х – 18х = 135 – 2;
4 - 18х = 13 - 105;
38х = 35;
х = 35 : 38;
х = 35 • 83;
х = 85 = 135;
2) 9(0,2х – 7) – 5(0,4х + 5) = –88,1;
1,8х – 63 – 2х – 25 = –88,1;
–0,2х – 88 = –88,1;
–0,2х = 88 – 88,1;
–0,2х = –0,1;
х = 0,1 : 0,2;
х = 0,5.
4) |8x – 1| = 3;
8х – 1 = 3;
8х = 4;
х = 4 : 8;
х = 0,5;
або: –(8х – 1) = 3;
–8х + 1 = 3;
–8х = 2;
х = 2 : 8;
х = –0,25.
110. Для якого значення у значення виразу 5у – 3 удвічі менше за значення виразу 6у + 2?
(5у – 3) : 2 = 6у + 2;
5у – 3 = (6у + 2) • 2;
5у – 3 = 12у + 4;
5у – 12у = 4 + 3;
–7у = 7;
у = 7 : (–7);
у = –1.
111. Для якого значення х значення виразу 2(х – 3) на 1,8 більше за значення виразу 4х?
2(х – 3) • 1,8 = 4х;
(х – 3) • 3,6 = 4х;
3,6х – 10,8 = 4х;
3,6х – 4х = 10,8;
–0,4х = 10,8;
х = 10,8 : (–0,4);
х = –27.
112. Помнож обидві частини рівняння на одне й те саме число, звільни рівняння від дробових чисел і розв’яжи його:
1) 38х – 516 = 34х + 12;
616х – 516 = 1216х + 816; |• 16;
6х – 5 = 12х + 8;
6х – 12х = 8 + 5;
–6х = 13;
х = 13 : (–6);
х = –136 = –216.
2) 720 – 125х = 34х – 1310;
720 – 75х = 34х – 1310;
720 – 2820х = 1520х – 2620; |• 20;
7 – 28х = 15х – 26;
–28х – 15х = –26 – 7;
–43х = –33;
х = 33 : 43;
х = 3343.
113. Знайди всі цілі значення а, для яких коренем рівняння (а – 1)х = 9 є натуральне число.
(а – 1)х = 9; а – 1 > 0, а > 1, тоді а = 2, 4, 10.
(2 – 1)х = 9;
х = 9:
(4 – 1)х = 9;
3х = 9;
х = 3;
(10 – 1)х = 9;
9х = 9;
х = 1.
114. Розв’яжи рівняння:
1) 2(х – 1) + х = 3(х – 4);
2х – 2 + х = 3х – 12;
3х – 3х = 2 – 12;
0 = –10;
рівняння не має розв’язків;
2) 4(х – 2) – 2х = 2(х – 4).
4х – 8 – 2х = 2х – 8;
4х – 2х – 2х = 8 – 8;
0 = 0.
х — будь–яке число.
115. Одне із чисел у 5 разів більше, ніж друге. Менше із чисел позначили через х. Вирази через х друге число.
х – менше число, тоді 5х – друге число.
116. Коли задумане число збільшити удвічі, а потім до добутку додати 10, то отримаємо 24. Яке число задумано?
2х + 10 = 24;
2х = 24 – 10;
2х = 14;
х = 7 – задумане число.
117. Ширина прямокутника втричі менша за його довжину, а його периметр дорівнює 48 см. Знайди площу прямокутника.
Ширина – х
Довжина – 3х
Р – 48 см
S – ?
1) 2 • (х + 3х) = 48;
2х + 6х = 48;
8х = 48;
х = 6 (см) – ширина;
2) 6 • 3 = 18 (см) – довжина;
3) 6 • 18 = 108 (см2)
Відповідь: площа прямокутника 108 см2.
118. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 8. Одне із чисел дорівнює 10, а друге — на 4 більше за третє. Знайди найменше із трьох чисел.
1) х – третє число, тоді;
(10 + (х + 4) + х) : 3 = 8;
10 + (х + 4) + х = 8 • 3;
10 + 2х + 4 = 24;
2х = 24 – 14;
2х = 10;
х = 5 – найменше число;
Відповідь: найменше число 5.
119. На першій полиці книжок в 1,2 раза більше, ніж на другій. Якщо на першу полицю поставити 6, а на другу — 10 книжок, то їх на обох полицях стане порівну. Скільки книжок на кожній полиці було спочатку?
1) х – книжок на другій, 1,2х – на першій.
1,2х + 6 = х + 10;
1,2х – х = 10 – 6;
0,2х = 4;
х = 4 : 0,2;
х = 20 (кн.) – на другій полиці;
2) 20 • 1,2 = 24 (кн.) – на першій.
Відповідь: на першій полиці – 24 книжки, на другій – 24 книжки.
120. Периметр трикутника дорівнює 31 см. Довжина другої сторони на 3 см більша, ніж довжина першої. А довжина третьої сторони становить 80 % від довжини першої. Знайди сторони трикутника.
І – ?
ІІ – ?, на 3 см > 31 см
ІІІ – ?, 80% від
1) х + х + 3 + 0,8х = 31;
2,8х = 31 – 3;
2,8х = 28;
х = 28 : 2,8;
х = 10 (см) – І сторона;
2) 10 + 3 = 13 (см) – ІІ сторона;
3) 31 – (10 + 13) = 31 – 23 = 8 (см) – ІІІ сторона.
Відповідь: І сторона 10 см, ІІ – 13 см; ІІІ – 8 см.
121. На першій ділянці утричі більше кущів аґрусу, ніж на другій. Якщо з першої ділянки пересадити 8 кущів на другу, то на обох ділянках їх стане порівну. Скільки кущів аґрусу було на кожній ділянці?
1) х – кущів на ІІ ділянці, 3х – на І.
3х – 8 = х + 8;
3х – х = 8 + 8;
2х = 16;
х = 8 (к.) – на ІІ ділянці;
2) 8 • 3 = 24 (к.) – на І ділянці.
Відповідь: на І ділянці 24 куща, на ІІ – 8 кущів.
122. Із Сімферополя до Херсона, відстань між якими 220 км, виїхала скутеристка зі швидкістю 65 км/год. Через 30 хв назустріч їй із Херсона виїхав скутерист зі швидкістю 60 км/год. На якій відстані від Сімферополя вони зустрінуться?
60, ?, t = 30 хв. 60
220 км
1) 65 • 0,5 = 32,5 (км) – проїхала скутеристка до того як виїхав скутерист;
2) 220 – 32,5 = 187,5 (км) – відстань між скутеристами на початок руху скутериста;
3) 65 + 60 = 125 (км) – на стільки вони наближаються щогодини;
4) 187,5 : 125 = 1,5 (год) – через стільки вони зустрінуться;
5) 1,5 + 0,5 = 2 (год) – була в дорозі скутеристка;
6) 2 • 65 = 130 (км)
Відповідь: вони зустрінуться на відстані 130 км від Сімферополя.
123. Обчисли:
1) –8,1 + (–2,9) = –11;
2) 5,7 + (–9,2) = –3,5;
3) 7 – 8 = –1;
4) –2 – (–3) = 1;
5) –12 • 25 = –300;
6) –39 • (–7) = 273;
7) –3,6 : 9 = 0,4;
8) –2,4 : (–4) = 0,6;
124. Обчисли значення виразу 7,2х – 3,8, якщо х = 0,5; –0,4; 2,5; 10; –100.
7,2х – 3,8 = 7,2 • 0,5 – 3,8 = 3,6 – 3,8 = –0,2;
7,2 • (–0,4) – 3,8 = –2,88 – 3,8 = –6,68;
7,2 • 2,5 – 3,8 = 18 – 3,8 = 14,2;
7,2 • 10 – 3,8 = 72 – 3,8 = 68,2;
7,2 • (–100) – 3,8 = –720 – 3,8 = –723,8.
125. Яке із чисел а, 6, с і d найменше, а яке — найбільше, якщо:
а = 2,5 • 6 – 21 = 15 – 21 = –6;
b = –2,7 : 3 + 4 = –0,9 + 4 = 3,1;
с = (–312 + 214) • 4 = (–72 + 94) • 4 = -14 + 94 • 4 = –5;
d = 516 : (–524) + 5 = 516 • (–245) + 5 = –23 + 5 = -2 + 153 = 133 = 413.
Найменше а = –6; найбільше d = 413.
126. Обчисли:
1) (–2,6)2 = 6,76; 2) (–25)3 = (–8125);
3) (–1,8)3 = –5,832; 4) (–118)2 = (–98)2 = 8164 = 11764.
127. Знайди корінь рівняння:
1) х – 2,7 = –8,2;
х = –8,2 + 2,7;
х = –5,5.
2) 4,25 – х = 7,2;
х = 4,25 – 7,2;
х = –2,95.
3) х + 2,95 = –4,05;
х = –4,05 – 2,95;
х = –7.
4) –2,5х = 7,5;
х = 7,5 : (–2,5);
х = –3.
5) х : (–2,9) = –3,4;
х = (–3,4) • (–2,9);
х = 9,86.
6) –4,2 : х = –0,001.
х = –4,2 : (–0,001);
х = 4200.
128. Знайди значення виразу:
1) (–2,65 • 12 – 0,6) : (–0,4) • 0,02 = (–31,8 – 0,6) : (–0,4) • 0,02 = –32,4 : (–0,4) • 0,02 = 81 • 0,02 = 1,62.
2) –718 + (–417 + 2314) • (–116) – (–14)2 = –578 + (–297 + 3114) • (–76) – 116 = –578 – 116 + (-58 + 3114) • (–76) = -114 - 116 + (-2714) • (–76) = -11516 + 32 = -115 + 2416 = –9116 = –51116.
129. Розв’яжи рівняння. Знайди значення виразу х + у – 17,25 та дізнаєшся, у якому столітті було засновано місто Білопілля Сумської області.
1) 0,5(5 – 2х) + 2,7 = –0,2(4х – 3);
2,5 – х + 2,7 = –0,8х + 0,6;
0,8х – х = 0,6 – 2,5 – 2,7;
–0,2х = –4,6;
х = 4,6 : 0,2;
х = 23.
2) 18(16 – 23у) = 114у – 5;
2 – 112у = 54у – 5;
–112у – 54у = –5 – 2;
-1 - 1512у = –7;
-43у = –7;
у = 7 : 43;
у = 7 • 34;
у = 214 = 5,25.
23 + 5,25 – 17,25 = 28,25 – 17,25 = 11 ст.
130. Склади числовий вираз та знайди його значення:
1) –215 • 4,5 – (813 + (–556)) = –115 • 412 – (253 – 356) = –115 • 92 – (253 – 356) = –9910 – (50 - 356) = –9910 – 53 = -297 - 5030 = –34730 = –111730.
2) (4,7 + (–525)) • (–2,9 – (–312)) = (4,7 – 5,4) • (–2,9 + 3,5) = –0,7 • 0,6 = –0,42.
131. Знайди 18 % від числа а2, якщо
–235 : (723 – 6715) + (–5712 + 6524) • (–115) + 2112 = –135 : (233 – 9715) + (–6712 + 14924) • (–65) + 2512 = –135 : 115 - 9715 + -134 + 14924 • (–65) + 2512 = –135 : 1815 + 1524 • (–65) + 2512 = –135 • 1518 – 34 + 2512 = –136 – 34 + 2512 = -26 - 9 + 2512 = -1012 = –56.
а2 • 0,18 = (–56)2 • 18100 = 2536 • 18100 = 18.
132. На малюнку 154 квадрат ABCD. Запиши всі пари:
1) перпендикулярних прямих: АВ ⊥ AD, AB ⊥ BC, DC ⊥ AD, DC ⊥ CB, AC ⊥ DB.
2) паралельних прямих: AB ∥ DC, AD ∥ BC.
133. Побудуй пряму m та точку А, що не належить цій прямій, як показано на малюнку 155. За допомогою косинця і лінійки побудуй пряму AK, перпендикулярну до прямої m та пряму АР, паралельну прямій m.
m А
Р
К
134. Накресли кут MON, градусна міра якого дорівнює 120°. На стороні OM кута познач точку K, віддалену від вершини кута на 3,5 см. Проведи через точку K пряму, перпендикулярну до прямої OM та пряму, паралельну прямій ON.
135. Накресли чотирикутник ABCD такий, що AD ∥ BC, AB ⊥ AD. Чи будуть перпендикулярними прямі AB і ВC?
А В
D C
АВ ⊥ ВС.
136. Як побудувати перпендикулярні прямі, користуючись шаблоном кута:
1) 30° • 3 = 90° – три рази відкласти кут 30°.
2) 18° • 5 = 90° – п’ять разів відкласти кут 18°.
137. На площині, через задану точку A, провели 6 прямих. Яка найбільша кількість прямих кутів може при цьому утворитися?
Кожна пара прямих має 4 прямих кутів. Якщо 6 прямих, то це 3 пари прямих які можуть перетинатися під прямим кутом. Тоді: 3 • 4 = 12 прямих кутів.
138. Дано точки Е(5; –4), F(–3; 4), К(2; –3), L(–2; 5). Укажи точку:
1) абсциса якої дорівнює 5;
Е(5; –4).
2) ордината якої дорівнює –3;
К(2; –3).
3) абсциса якої дорівнює –2;
L(–2; 5).
4) ордината якої дорівнює 4.
F(–3; 4).
139. Знайди координати точок, зображених на малюнку 156.
A(–4; 2), B(5; 0), C(0; –5), D(–1; 6), E(2; 4), F(–6; –3), K(–7; 0), L(3; –2), M(0; 1), N(–2; –3).
140. Побудуй систему координат, узявши за одиничний відрізок довжину однієї клітинки. Познач на координатній площині точки: А(-2; 3), В(0; -6), С(3; -8), D(4; 0), М(-4; -2), N(5; 4), Т (-1; 0), К(0; 2).
| у | |||||||||||
| N | |||||||||||
| А | К | ||||||||||
| T | D | ||||||||||
| х | |||||||||||
| M | |||||||||||
| В | |||||||||||
| С |
1) Які з точок належать осі абсцис; осі ординат?
T, D; K, B.
2) Які з точок належать І чверті; II чверті; III чверті; IV чверті?
I – N; II – A; III – M; IV – C.
141. 1) Побудуй на координатній площині відрізки AB і CD, якщо: А(1; 1), В(5; 3), С(2; 4), D(5; -2).
| у | |||||||||
| С | |||||||||
| В | |||||||||
| О | |||||||||
| А | |||||||||
| х | |||||||||
| D | |||||||||
2) Знайди координати точки О, яка є точкою перетину відрізків AB і CD.
О(3; 2)
142. 1) Накресли на координатній площині трикутник ABC, якщо А(-4; 5), В(2; 2), С(-7; -4).
| А | у | ||||||||||
| М | |||||||||||
| В | |||||||||||
| К | х | ||||||||||
| С |
2) Знайди координати точок перетину сторони BC з віссю абсцис і сторони AB з віссю ординат.
К(0,5; 0), М(0; 3).
3) За допомогою транспортира знайди градусну міру кута В.
∠В = 75°.
143. З точок А(-5; 7), В(-9; -5), С(0; -1), D(5; 0), М(5; 1), N(0; 5), К(-4; 0), L(7; -1) випиши ті, що лежать:
1) нижче від осі абсцис: В(-9; -5), С(0; -1), L(7; -1).
2) вище від осі абсцис: А(-5; 7), М(5; 1), N(0; 5).
3) на осі абсцис: D(5; 0), К(-4; 0).
4) праворуч від осі ординат: D(5; 0), М(5; 1), L(7; -1).
5) ліворуч від осі ординат: А(-5; 7), В(-9; -5).
6) на осі ординат: D(5; 0), К(-4; 0).
144. Познач на координатній площині всі точки, абсциса й ордината яких — недодатні числа, а їхня сума дорівнює числу -6. Яку фігуру утворюють ці точки?
| у | |||||||||
| х | |||||||||
-1 + (-5) = -6; -2 + (-4) = -6; -3 + (-3) = -6; -5 + (-1) = -6; -4 + (-2) = -6.
Утворилася пряма.
145. Познач на координатній площині множину точок (х; у) таких, що: 1) х = 5; у — довільне; 2) у = -2; х ≥ -3; 3) |х| ≤ 2; у — довільне; 4) |х| = 3; |у| ≤ 3; 5) х ≥ 0; у ≤ 0; 6) х ≤ -1 ; у ≥ 3.
| у | |||||||||||||||||||||
| 6 | |||||||||||||||||||||
| 3 | |||||||||||||||||||||
| 4 | 4 | ||||||||||||||||||||
| 1 | |||||||||||||||||||||
| х | |||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||
| 5 | |||||||||||||||||||||
146. Учень щодня читає по 15 сторінок книжки. Заповни в зошиті таку таблицю залежності між кількістю днів t і кількістю прочитаних сторінок n.
| t, днів | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| n, с. | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 |
147. На малюнку 157 зображено графік руху велосипедистки. На осі абсцис відкладено час (у год), а на осі ординат — відстань, на якій була велосипедистка від дому (у км). Знайди:
1) Скільки кілометрів проїхала велосипедистка за першу годину і скільки — за другу?
за 1 год – 15 км; за 2 год: 35 – 15 = 20 км.
2) На якій відстані від дому була велосипедистка через 1 год; 3 год; 5 год?
1 год – 15 км, 3 год – 35 км, 5 год – 20 км.
3) Скільки часу витратила велосипедистка на першу зупинку і скільки — на другу?
І зупинка – 1 год; ІІ зупинка – 2 год.
4) Через скільки годин після виїзду з дому велосипедистка була на відстані 15 км від дому?
Через 1 год та 6 год 15 хв.
148. Скільки граней, вершин і ребер має прямокутний паралелепіпед?
Граней – 6, вершин – 8, ребер – 12.
149. На малюнку 158 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDKLMN. Назви:
1) усі грані цього паралелепіпеда: AKND, AKLB, BLMC, DMNC, KLMN, ABCD.
2) усі ребра цього паралелепіпеда: AK, KN, AD, ND, KL, NM, AB, DC, BC, LM, LB, MC.
3) усі вершини цього паралелепіпеда: A, K, N, D, L, M, B, C.
4) ребра, що є сторонами грані ABLK: AB, BL, LK, AK.
5) ребра, що дорівнюють ребру KN: AD, BC, LM.
6) грань, що дорівнює грані KLMN: ABCD.
7) грані, яким належить вершина N: AKND, DNMC, KNML.
8) грані, для яких CD є спільним ребром: ABCD, DNMC.
150. На малюнку 158 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDKLMN. Знайди:
1) суму довжин усіх ребер паралелепіпеда;
4 • (4 + 3 + 5) = 4 • 12 = 48 см.
2) площі граней ABCD, DCMN, ADNК;
SABCD = 3 • 5 = 15 см2; SDCMN = 3 • 4 = 12 см2; SADNK = 5 • 4 = 20 см2.
3) площу поверхні паралелепіпеда.
2 • (5 • 4 + 4 • 3 + 5 • 3) = 2 • (20 + 13 + 15) = 2 • 48 = 96 см2.
151. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 16 см, що становить 23 від довжини і 40 % від ширини. Знайди суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда.
Довжина - ?
Ширина - ? ?, всі ребра
Висота – 16 см, 40% від , 23 від
1) 16 : 2 • 3 = 24 (см) – довжина;
2) 16 : 0,4 = 40 (см) – ширина;
3) 4 • (16 + 24 + 40) = 4 • 80 = 320 (см)
Відповідь: сума довжин усіх ребер – 320 см.
152. На малюнку 158 зображено прямокутний паралелепіпед. Укажи:
1) три ребра, паралельні ребру MN: DC, AB, KL.
2) два ребра, перпендикулярні до ребра AD: AB, CD.
3) деякі два ребра, що не перетинають ребро AB, але й не паралельні йому: KN, LM.
153. Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 84 см. До того ж довжина удвічі більша за висоту і на 4 см за ширину. Знайди площу поверхні паралелепіпеда.
Довжина – ?, на 4 см > , у 2 р. >
Ширина – ? 84 см
Висота - ?
S - ?
1) х – висота, 2х – довжина, 2х – 4 – ширина, тоді:
4(х + 2х + 2х – 4) = 84;
4х + 8х + 8х – 16 = 84;
20х = 84 + 16;
х = 100 : 20;
х = 5 (см) – висота;
2) 5 • 2 = 10 (см) – довжина;
3) 10 – 4 = 6 (см) – ширина;
4) 2 • (5 • 6 + 6 • 10 + 5 • 10) = 2 • (30 + 60 + 50) = 2 • 140 = 280 (см2).
Відповідь: площа поверхні 280 см2.
154. Із шести кубиків, ребро кожного 1 см, склали деяку фігуру. Знайди об’єм цієї фігури.
1) 1 • 1 • 1 = 1 (см3) – об’єм кубика;
2) 6 • 1 = 6 (см3) – об’єм фігури.
155. Обчисли об’єм:
1) прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 10 см, 8 см і 6 см;
8 • 6 • 10 = 480 (см3)
2) куба, ребро якого дорівнює 4 см.
4 • 4 • 4 = 64 (см3)
156. Маса 1 см3 сталі дорівнює 8 г. Яка маса: 1) сталевого куба, ребро якого дорівнює 10 см; 2) сталевого прямокутного паралелепіпеда, виміри якого — 7 см, 12 см і 5 см?
1) 10 • 10 • 10 = 1000 (см3) – об’єм куба;
2) 8 • 1000 = 8000 г = 8 (кг) – маса куба;
3) 12 • 5 • 7 = 60 • 7 = 420 (см3) – об’єм паралелепіпеда;
4) 420 • 8 = 3360 г = 3 кг 360 г – маса паралелепіпеда.
Відповідь: маса сталевого куба – 8 кг, паралелепіпеда – 3 кг 360 г.
157. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 8 см, а довжина і ширина рівні між собою, і кожна з них у 1,5 раза довша за висоту. Знайди об’єм прямокутного паралелепіпеда.
00Довжина - ?, у 1,5 р. >
Ширина - ?, у 1,5 р. >
Висота – 8 см
S - ?
1) 8 • 1,5 = 12 (см) – довжина та ширина;
2) 12 • 12 • 8 = 1152 (см3)
Відповідь: об’єм 1152 см3.
158. Заповни пропуски:
1) 12 дм3 = 12 • 1000 = 12000 см3;
2) 7 м3 = 7 • 1000000 = 7000000 см3;
3) 2000 мм3 = 2000 : 1000 = 2 см3;
4) 3 м3 = 3 • 1000 = 3000 дм3;
5) 12 000 см3 = 12000 : 1000 = 12 дм3;
6) 7 л = 7 дм3;
7) 9 дм3 = 9 л;
8) 5000 см3 = 5000 : 1000 = 5 л;
9) 2 м3 = 2 • 1000 = 2000 л.
159. Сарай, що має форму прямокутного паралелепіпеда, заповнено сіном. Довжина сараю — 10 м, ширина — 8 м, а висота — 4 м. Знайди масу сіна в сараї, якщо маса 10 м3 сіна дорівнює 6 ц.
1) V = 10 ∙ 8 ∙ 4 = 320 (м3) — об’єм сараю;
2) 320 : 10 ∙ 6 = 192 (ц) — маса сіна.
Відповідь: 192 ц.
160. Скільки знадобиться кубиків, ребро кожного — 5 см, щоб заповнити ними прямокутний паралелепіпед, виміри якого — 6 дм, 5 дм і 4 дм?
1) 5 • 5 • 5 = 125 (см3) – об’єм кубика;
2) 60 • 50 • 40 = 3000 • 40 = 120000 (см3) – об’єм паралелепіпеда;
3) 120000 : 125 = 960 (шт.)
Відповідь: знадобиться 960 кубиків.
161. Довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 16 дм, ширина становить 38 від довжини, а висота — 70 % від ширини. Знайди об’єм прямокутного паралелепіпеда.
Довжина – 16 дм
Ширина - ?, 38 від
Висота - ?, 70% від
V - ?
1) 16 : 8 • 3 = 6 (дм) – ширина;
2) 6 : 100 • 70 = 4,2 (дм) – висота;
3) 16 • 6 • 4,2 = 403,2 (дм3)
Відповідь: об’єм 403,2 дм3.
162. На скільки збільшиться об’єм куба, якщо його ребро збільшити з 2,5 дм до 3,5 дм?
1) 2,5 • 2,5 • 2,5 = 15,625 (дм3) – початковий об’єм куба;
2) 3,5 • 3,5 • 3,5 = 42,875 (дм3) – збільшений об’єм куба;
3) 42,875 – 15,625 = 27,25 (дм3)
Відповідь: збільшиться на 27,25 дм3.
163. Як зміниться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжину збільшити в 6 разів, ширину збільшити удвічі, а висоту зменшити утричі?
Нехай довжина паралелепіпеда — а, ширина — b, висота — с. Тоді його об’єм V = abc. Після збільшення маємо паралелепіпед з довжиною 6а, шириною 2b і висотою с : 3. Його об’єм
V1 = 6а ∙ 2b ∙ с : 3 = (2 ∙ 2) ∙ abc = 4abc,
тобто він у 4 рази більший за об’єм початкового.
Відповідь: збільшиться у 4 рази.
ДЛЯ НАЙДОПИТЛИВІШИХ
1. Яку координату має точка M координатної прямої, рівновіддалена від точок А(-2014) і В(2024)?
-2014+20242 = 102 = 5. Отже, М(5).
2. Якою цифрою закінчується значення виразу:
Число 41 · 42 · 43 · 45 закінчується цифрою 0, а число
52 · 53 · 54 · 57 – цифрою 8. Оскільки 52 · 53 · 54 · 57 > 41 · 42 ·
∙ 43 · 45, то 41 · 42 · 43 · 45 – 52 · 53 · 54 · 57 = –(52 · 53 · 54 · 57 – 41 · 42 · 43 · 45) = –…8.
Відповідь: 8.
3. 1) Натуральне число х кратне числу 2 і кратне числу 5. Чи можна стверджувати, що число х кратне числу 10?
Так.
2) Натуральне число у кратне числу 2 і кратне числу 6. Чи можна стверджувати, що число у кратне числу 12?
Ні, наприклад, 18 – кратне 2 і кратне 6, але не кратне 12.
4. Розв’яжи рівняння |х + b| = а, де а і b — деякі числа.
|x + b| = а.
1) Якщо а < 0, то рівняння не має розв’язків;
2) якщо а = 0, то x + b = 0; х = 0 – b; х = – b;
3) якщо а > 0, то x + b = а або х + b = –а. Тому х = а – b або
х = –а – b.
Відповідь. Якщо а < 0, то рівняння не має розв’язків; якщо а = 0,
х = – b; якщо а > 0, то х = а – b або х = –а – b.
5. Чи є число 2015105 - 276106 кратним числу 10?
2015105 закінчується цифрою 5, а 276106 – цифрою 6. Тому
2015105 – 276106 закінчується цифрою 9, а тому – не кратне 10.
Відповідь: Ні.
6. Доведи, що для будь-яких цілих чисел а, b і с значення виразу |а – b| + |6 – с| + |с – а| є парним числом.
Якщо три числа а, b і с парні або непарні, то кожне з чисел |а- b|, |b - а| і |с - а| є парними, а тому парною є сума цих виразів.
Якщо серед чисел а, b і с два числа парні (наприклад, а і b), а одне непарне, то |а - b| – парне число, а |b - с| і |с - а| – непарні. Тому сума |а - b| + |b - с| + |с - а| – парне число.
Якщо серед чисел а, b і с одне число парне (наприклад а), а два непарні, то |а - b| і |с - а| – непарні числа, а |b - с| – парне число. Таким чином |а - b| + |b - с| + |с - а| – парне число.
Отже, незалежно від парності чисел а, b і с, сума |а - b| + |b - с| +|с - а| – парне число.
7. У Сергія 1150 марок на такі теми: видатні українці, спорт, автомобілі, тварини. Кількість марок за темами зображено на стовпчастій діаграмі (мал. 159). Визнач з точністю до десятків кількість марок з кожної теми.
Сума висот стовпчиків 39 + 31 + 18 + 27 = 115 (мм).
1150 : 115 = 10. Таким чином, 1 мм висоти стовпчика зображує 10 марок. Отже, у Сергія 390 марок про видатних українців; 310 марок про спорт; 180 марок про автомобілі і 270 марок про тварин.
8. До чисел 100 і 1000 дописали праворуч цифру 1. Яке із чисел збільшилося на більшу кількість відсотків?
100 → 1001. Збільшилося на 1001 - 100100 · 100% = 907%;
1000 → 10001. Збільшилося на 10001 - 10001000 · 100% = 900,1%;
Відповідь: Число 100.
9. Двоє хлопців разом мали 24 грн. Коли Сергій витратив 34 своїх грошей, а Тарас — 0,65 своїх грошей, то в них залишилося грошей порівну. Скільки грошей було в кожного хлопця спочатку?
| Хлопець | Було,грн | Витратив, частина | Залишилося, частина | Залишилося, грн |
| Сергій | х | 34 | 14 | 14х |
| Тарас | 24 – х | 0,65 | 0,35 | 0,35(24 – х) |
1) 14х = 0,35 (24 – х);
14х = 8,4 – 0,35х;
14х + 0,35 = 8,4;
0,6х = 8,4;
х = 8,4 : 0,6;
х = 14 (грн) – у Сергія;
2) 24 – 14 = 10 (грн) – у Тараса.
Відповідь: У Сергія – 14 грн; у Тараса – 10 грн.
10. Доведи, що
113 > 118 ; 114 > 118 ;…; 117 > 118 ; 118 = 118 . Тому 113 + 114 + 115 + 116 + 117 + 118 > 118 · 3 = 13, Доведено.
11. Скороти дріб:
1) Оскільки 15151515 : 15 = 1010101 і 45454545 : 45 = 1010101, то початковий дріб можна скоротити на 1010101.
Отримаємо 1545 = 13.
2) Оскільки 105105105 : 105 = 1001001 і 140140 140 : 140 =
= 1001001, то початковий дріб можна скоротити на 140.
Маємо 105140 = 34.
Відповідь: 1) 13; 2) 34.
12. Коли моєму батькові виповнився 31 рік, мені було 8 років, а зараз батько старший за мене вдвічі. Скільки років зараз мені?
| Було Пройшло років Стало років Я 8 х х + 8 Батько 31 х х + 31 | у 2 рази менше |
1) 2(х + 8) = х + 31;
2х + 16 = х + 31;
2х – х = 31 – 16;
х = 15;
2) 15 + 8 = 23.
Відповідь: 23 роки.
13. На площині через дану точку провели 6 прямих. Яка найбільша кількість прямих кутів може при цьому утворитися?
Кожна пара прямих може щонайбільше утворити 4 прямих кути. Тому найбільша кількість прямих кутів дорівнює 12.
Відповідь: 12.
14. За перший день інженер, що встановлює програмне забезпечення на смартфон, перевиконав замовлення на 5 %, а за другий — на 7 %. На скільки відсотків інженер перевиконав замовлення за ці два дні?
Нехай норма становить х деталей за день. Тоді за перший день робітник виготовив х + 0,05х = 1,05х деталей, а за другий день –
х + 0,07х = 1,07х. Було виконано такий відсоток замовлення
1,05х + 1,07хх + х · 100% = 2,12х2х · 100% = 106%, тобто план був перевиконаний на 6%.
Відповідь: На 6%.
15. За 5 днів 8 корів чорної масті та 6 корів рудої масті дали таку саму кількість молока, скільки 6 корів чорної масті та 10 рудої за 4 дні. Які корови більш продуктивні — чорної масті чи рудої?
Нехай одна корова чорної масті дає х л молока в день, а корова рудої масті – у л. Тоді 5(8х + 6у) = 4(6х + 10у); 40х + 30у = 24х +
+ 40у; 40х – 24х = 40у – 30у; 16х = 10у; 8х = 5у. Тому х < у. Більше молока дають корови рудої масті.
Відповідь: Рудої масті.
16. Яка найменша кількість дітей може бути в математичному гуртку, якщо відомо, що хлопців у ньому більше ніж 50 %, але менше ніж 60 %? Скільки хлопців серед дітей?
Нехай у гуртку а учнів, з яких b – хлопці.
Тоді 50% < bа · 100% < 60%
510 < ba < 610; 12 < ba < 35.
Оскільки а і b – натуральні числа, то а > 5.
Якщо а = 6, то 12 < b6 < 35. Немає такого натурального значення b.
Якщо а = 7, то 12 < b7 < 35 і b = 4.
Отже, найменша кількість учнів – 7, з яких – 4 хлопці.
Відповідь: 7 учнів, з яких – 4 хлопці.
17. Відрізок поділили на частини у відношенні 2 : 5 : 7. Відстань між серединами перших двох частин дорівнює 7 см. Знайди довжину цього відрізка.
| Нехай АС : CD : DB = 2 : 5 : 7. Тоді АС = 2х см; CD = 5х см; DB = 7х см, а АВ = 2х + 5х +7х = 14х (см). | |
| М – середина АС. Тому МС = 2х2 = х; CN = 5х2 = 2,5х. Отже, х + 2,5х = 7 3,5х = 7; х = 2 (см). Тоді АВ = 14 · 2 = 28 (см). |
18. Чи ділиться число 2014! на 2 · 2 · 2 · … · 2?
Число 2 є множником числа 2014! Більше 1000 разів (оскільки у добуток входить 1007 парних чисел).
Тому 2014! ділиться на 2 · 2 · … · 2.
1000 множників
Відповідь: Так.
19. Запиши в рядок сім таких чисел, щоб сума будь-яких двох сусідніх чисел була від’ємною, а сума всіх семи чисел — додатною.
Наприклад, 4; –5; 4; –5; 4; –5; 4.
20. Знайди всі такі числа р, щоб р і р + 17 були простими числами.
Оскільки р і р + 17 – числа різної парності, а серед чисел тільки число 2 є простим, то єдина можливість р = 2, тоді числа 2 і 19 дійсно є простими.
Відповідь: р = 2.
21. Олександр Семенович випив — чашки чорної кави й до-6
лив її молоком. Потім він випив — чашки й знову долив її молоком. Згодом Олександр Семенович випив ще пів чашки й знову долив її молоком. Нарешті він випив повну чашку. Кави чи молока випив більше Олександр Семенович?
| Дія | Кава, част. | Молоко, част. |
| Випив 1 раз | 16 | – |
| Долив молока | 56 | 16 |
| Випив 2 рази | 13 • 56 = 518 | 13 • 16 = 118 |
| Долив молока | 56 - 518 = 59 | 49 |
| Випив 3 рази | 12 • 59 = 518 | 12 • 49 = 29 |
| Долив молока | 59 – 518 = 518 | 1318 |
| Випив повну чашку | 518 | 1318 |
Кави випив 16 + 518 + 518 + 518 = 1 (ч.), молока 118 + 29 + 1318 = 1 (ч.).
Отже, Олександр Семенович випив кави і молока порівну (по 1 чашці).
Відповідь: по 1 чашці.
22. Два велосипедисти рухаються по велотреку завдовжки 450 м. Вони зустрічаються щохвилини, якщо рухаються у протилежних напрямках, і через кожні 9 хв, якщо рухаються в одному напрямку. Знайди швидкість кожного велосипедиста.
Оскільки велосипедисти, рухаючись у протилежних напрямках, зустрічаються кожну хвилину, то суми їхніх швидкостей 450 м/хв.
Рухаючись в одному напрямі, вони зустрічаються через кожні 9 хв. Тому різниця їхніх швидкостей 4509 = 50 м/хв.
І – х м/хв
ІІ – (450 – х) м/хв
Тоді х – (450 – х) = 50;
х – 450 + х = 50;
2х = 50 + 450;
2х = 500;
х = 500 : 2;
х = 250 (м/хв) – І;
450 – 250 = 200 (м/хв) – ІІ.
Відповідь: 250 м/хв; 200 м/хв.
23. Котра зараз година, якщо до кінця доби залишилося від того, що вже пройшло від її початку?
Зараз – х год
До кінця доби – (24 – х) год
Тоді 24 – х = 35х;
–х – 35х= – 24;
–85х = –24;
х = –24: (– 85);
х = 15.
Відповідь: 15 год 00 хв.
24. 16 слив коштують стільки гривень, скільки слив можна купити на гривню. Скільки коштують 20 слив?
Нехай одна слива коштує х коп. Тоді 16х100 = 100х;
16х · х = 100 · 100;
х2 = (1004)2;
х2 = 252;
х = 25.
Тоді 20 слив коштують 20 · 25 = 500 (коп.) = 5 (грн.)
Відповідь: 5 грн.
25. Якщо рахувати зошити десятками, то двох зошитів не вистачить до цілої кількості десятків. Якщо рахувати зошити дюжинами (тобто по 12), то до цілої кількості дюжин не вистачить чотирьох зошитів. Скільки всього було зошитів, якщо їх було більше за 300, але менше ніж 400?
Нехай було х зошитів. Тоді х + 210 – ціле число, тому х закінчується цифрою 8. Отже, шукане число 308 = 308 + 10а, де 0 ≤ а ≤ 9 – ціле число. Число 308 + 10а + 4 = 312 + 10а – кратне 12. Звідси а = 0 або а = 6. Отже, зошитів було 308 або 368.
26. Коли в Антона у пляшці було на 20 % «Живчика» більше, ніж у Гліба, він випив зі своєї пляшки 19 % її вмісту, а Гліб зі своєї — 2 % вмісту. У кого з друзів залишилося більше «Живчика»?
| Було, г | Випив, г | Залишилося, г | |
| Антон | 1,2х | 0,19 · 1,2х = 0,228х | 1,2х – 0,228х = 0,972х |
| Гліб | х | 0,02х | х – 0,02х = 0,98х |
0,972х < 0,98x
Відповідь: у Гліба.
27. Позавчора Ясі було ще тільки 10 років, а наступного року їй виповниться 13. Як це може бути?
Цe можливо, якщо позавчора було 30 грудня, вчора було 31 і день народження Ясі, на якому їй виповнилося 11 років, а сьогодні вже 1 січня, і їй у цьому році 31 грудня виповниться 12 років, а в наступному — 13 років.
28. Квадрат 7x7 заповнено числами так, що добуток чисел у кожному стовпчику є від’ємним. Доведи, що знайдеться й рядок, у якому добуток чисел також буде від’ємним.
Оскільки добуток чисел у кожному стовпчику від’ємний, то добуток усіх чисел квадрата також від’ємний.
Припустимо, що немає рядка, в якому добуток чисел від’ємний, тобто всідобутки чисел у рядках – числа додатні. Але тоді виходить, що добуток усіх чисел квадрата число додатне. Це суперечить доведеному вище. Наше припущення неправильне.
Отже, існує рядок, добуток чисел якого – число від’ємне.
29. На цих малюнках геометричні тіла складено з прямокутних паралелепіпедів. Знайди їхні об’єми. Об’єми кожної із частин тіла допоможуть прочитати ім’я Великого князя київського.
| 72 | 60 | 270 | 20 | 150 | 64 | 8 | 48 | 12 | 30 | 60 | 80 | 18 | |
| Я | Р | О | С | Л | А | В | М | У | Д | Р | И | Й |
1) 3 • 2 • 2 = 12 см3;
2) 3 • 4 • 4 = 48 см3;
3) 3 • 5 • 10 = 150 см3;
4) 2 • 4 • 10 = 80 см3;
5) 3 • 2 • 2 = 12 см3;
6) 1,5 • 4 • 5 = 30 см3;
7) 2 • 2 • 2 = 8 см3;
8) 12 • 3 • 2 = 72 см3;
9) 8 • 4 • 2 = 64 см3;
10) 9 • 3 • 10 = 270 см3;
11) 3 • 3 • 2 = 18 см3;
12) 2,5 • 8 • 3 = 60 см3;
13) 2,5 • 2 • 4 = 20 см3;
ДОДАTKOВІ ТЕМИ
1. Серед таких подій назви випадкові:
1) «при підкиданні грального кубика випаде 5 очок»;
3) «купивши лотерейний білет, виграють 5 грн»;
2. Які з таких подій — випадкові, вірогідні, неможливі:
1) «виграєте партію в теніс»; випадкове.
2) «слон навчиться розмовляти»; неможливе.
3) «поїзд Київ—Львів запізниться»; випадкове.
4) «поява кількості очок, що в сумі менша від 13, при одночасному підкиданні двох гральних кубиків»; випадкове.
5) «при натисканні кнопки дзвінка він не спрацює»; випадкове.
6) «після понеділка настане вівторок»; вірогідне.
7) «після вівторка настане понеділок»; неможливе.
8) «людина, яку ви зустрінете сьогодні, народилася 29 вересня»? випадкове.
3. Які з таких подій — випадкові, вірогідні, неможливі:
1) «два влучання при трьох пострілах»; випадкове.
2) «навмання вибране трицифрове число менше від 1000»; вірогідне.
3) «завтра буде дощ»; випадкове.
4) «сьогодні 30 лютого»; неможлива.
5) «навмання взята з полиці книжка — «Математика, 6 клас»; випадкова.
6) «при підкиданні монети випаде герб або цифра»; вірогідна.
4. В одному ящику є 1 біла кулька і 9 чорних, а в другому — 5 білих і 5 чорних. З якого ящика більш імовірно навмання витягнути білу кульку; чорну кульку?
Р(Б) = 1 : 10 = 0,1 – ймовірність витягнути білу кульку з І ящика;
Р(Б) = 5 : 10 = 0,5 – ймовірність витягнути білу кульку з ІІ ящика;
Р(Ч) = 9 : 10 = 0,9 – ймовірність витягнути чорну кульку з І ящика;
Р(Ч) = 5 : 10 = 0,5 – ймовірність витягнути чорну кульку з І ящика;
Відповідь: білу кульку з ІІ ящика, чорну з І ящика.
5. В одному пакеті 20 цукерок, з яких 3 шоколадні, а в другому — 50 цукерок, з яких 25 шоколадних. З якого пакета слід навмання взяти цукерку, щоб вона була шоколадною?
1) Р = 320 – ймовірність з І пакету;
2) Р = 2550 = 12 – ймовірність з ІІ пакету;
З другого.
6. Вінні-Пух і Тигра домовилися: якщо стрілка вертушки (мал. 159) зупиниться на білому полі, торт з’їдає Тигра, якщо на зафарбованому — Вінні. У кого більше шансів поласувати тортом?
1) Р = 48 = 12 – ймовірність що з’їст Тигра;
2) Р = 28 = 14 – ймовірність що з’їст Вінні-Пух;
У Тигра.
7. Чи є ймовірності подій рівними:
1) Подія А — з двадцяти п’яти білетів з номерами від 1 до 25 витягнуто білет № 1 і подія В — з двадцяти п’яти білетів з номерами від 1 до 25 витягнуто білет № 13?
P(A) = P(B) = 125; Так, ймовірності подій А і В рівні.
2) Подія C — при підкиданні грального кубика випаде парна кількість очок і подія D — при підкиданні граль у якій зі ста білетів — 5 виграшних, і подія N — купивши один квиток, не виграти в лотерею, у якій зі ста білетів — 5 виграшних?
P(C) = 36 = 12; P(D) = 36 = 12;
P(виграш) = 5100 = 120; P(N) = 1 − P(виграш) = 1 – 120 = 1920. Ні.
8. Чи рівні ймовірності подій:
1) Подія А — при підкиданні монети випаде герб і подія В — при підкиданні монети випаде цифра?
P(A) = P(B) = 12; Так, ймовірності подій А і В рівні.
2) Подія C — витягнути білу кульку з ящика, у якому 7 білих і 3 чорні кульки, і подія D — витягнути чорну кульку з ящика, у якому 7 білих і 3 чорні кульки?
P(C) = 710; P(D) = 310; Ні.
3) Подія M — у майбутньому ти станеш космонавтом і подія N — у майбутньому ти не станеш космонавтом?
P(М) = P(N) = 12; Так, ймовірності подій M і N рівні.
9. У кожній зі скринь (мал. 160) є по одній золотій монеті. З якої скрині навмання потрібно витягнути монету, щоби ймовірність узяти саме золоту була найбільшою?
P(1) = 140; P(2) = 110; P(3) = 1100.
З другої скрині.
10. У кожній зі скляних кульок (мал. 161) є по одному виграшному лотерейному білету. З якої кульки потрібно навмання взяти білет, щоби ймовірність виграти була найбільшою?
P(1) = 120; P(2) = 150; P(3) = 15.
З третьйої.
11. На запитання вікторини було отримано 120 правильних відповідей, у тому числі і твоя. Для визначення єдиного переможця навмання витягують картку. Яка ймовірність того, що саме ти отримаєш приз?
P = 1120.
12. У збірнику завдань ДПА з математики запропоновано 25 варіантів. Сергій не розв’язав лише один варіант. Яка ймовірність того, що саме цей варіант йому дістанеться під час державної підсумкової атестації?
P = 125.
13. З класу, у якому навчаються 25 дітей, навмання вибирають одного. Яка ймовірність того, що це буде хлопець, якщо хлопців у класі 12?
P = 1225.
14. У ящику — 1000 деталей, з яких 3 браковані. Яка ймовірність того, що навмання витягнута деталь бракована; не бракована?
P(бракована) = 31000; P(не бракована) = 9971000;
15. На складі — 1000 смартфонів, з яких 7 без захисного скла. Яка ймовірність того, що навмання вибраний смартфон без захисного скла; із захисним склом?
P(без скла) = 71000; P(із склом) = 9931000;
16. У лотереї 25 виграшних білетів і 175 білетів без виграшу. Яка ймовірність виграти в цю лотерею, придбавши лише один білет?
P(виграш) = 2525 + 175 = 25200 = 18.
17. У ящику 15 зелених і 25 червоних кульок. Яка ймовірність події: 1) А — навмання витягнута з ящика кулька є зеленою; 2) В — навмання витягнута з ящика кулька є червоною?
1) P = 1515 + 25 = 1540 = 38;
2) P = 2540 = 58.
18. Юля має 6 монет (мал. 162). Вона навмання бере монету. Яка ймовірність події: 1) А — узято монету номіналом 50 к.; 2) В — узято монету номіналом, меншим від 2 грн; 3) C — узято монету номіналом, більшим за 2 грн?
1) P(А) = 16;
2) P(В) = 36 = 12;
3) P(С) = 26 = 13.
19. У гаманці дядечка Скруджа вісім купюр: по одній номіналом 1 грн, 2 грн, 5 грн, 10 грн, 20 грн, 50 грн, 100 грн, 200 грн. Він навмання виймає одну купюру. Яка ймовірність події: 1) А — вийнято купюру номіналом 200 грн; 2) В — вийнято купюру номіналом, меншим від 10 грн; 3) C — вийнято купюру номіналом, більшим за 10 грн; 4) D — вийнято купюру з парним числом гривень?
1) P(А) = 18;
2) P(В) = 38;
3) P(С) = 48 = 12;
3) P(D) = 68 = 34.
20. Наведи по два приклади випадкових, вірогідних, неможливих подій.
Випадкові події: випадкове вибрання карти з колоди, випадкове визначення переможця лотереї.
Вірогідні події: Монета випаде орлом. Підкидання звичайної гральної кубика і отримання числа від 1 до 6.
Неможливі події: Сонце сходитиме на заході. Підкидання звичайного грального кубика і отримання числа, більшого за 6.
21. Троє друзів прийшли в гості й повісили свої капелюхи на вішалку. Коли вони розходилися по домівках, то кожний узяв один капелюх навмання. Які з таких подій випадкові, неможливі, вірогідні: 1) А — кожен узяв свій капелюх; 2) В — кожен вийшов з капелюхом; 3) C — усі одягли чужі капелюхи; 4) D — двоє одягли чужі капелюхи, а один — свій; 5) E — один одягнув чужий капелюх, а двоє — свої?
1) Неможлива; 2) вірогідна; 3) вірогідна; 4) вірогідна; вірогідна.
22. Оля запропонувала Тарасу такі правила гри: «При підкиданні грального кубика виграє Оля, якщо кількість очок, які випали, є дільником числа 6, і виграє Тарас, якщо кількість очок, які випали, не є дільником числа 6». У кого більше шансів виграти?
Для Олі, щоб виграти, кількість очок, які випадуть, повинна бути дільником числа 6. Таким чином, вона виграє, якщо на кубику випаде 1, 2 або 3 очки (оскільки 6 ділиться на 1, 2 і 3).
Для Тараса, щоб виграти, кількість очок, які випадуть, не повинна бути дільником числа 6. Таким чином, він виграє, якщо на кубику випаде 4 або 5 очок (оскільки 6 не ділиться на 4 і 5).
Отже, можемо побачити, що Тарас має більше шансів виграти, оскільки для нього є два можливих випадки (4 або 5 очок), тоді як для Олі є лише три можливих випадки (1, 2 або 3 очки).
23. Складено таблицю суми очок, що випала на двох гральних кубиках при їх одночасному підкиданні. Знайди ймовірність події: 1) А — сума очок на кубиках дорівнюватиме 4; 2) В — сума очок на кубиках дорівнюватиме 11; 3) C — сума очок на кубиках буде меншою від 4; 4) D — сума очок на кубиках буде найбільшою з усіх можливих.
1) P(А) = 336 = 112; 2) P(В) = 236 = 118;
3) P(С) = 336 = 112; 4) P(D) = 136.
24. Використовуючи таблицю до № 23, знайди ймовірність події: 1) А — сума очок на кубиках дорівнюватиме 5; 2) В — сума очок на кубиках буде більшою за 9; 3) C — сума очок на кубиках буде непарним числом.
1) P(А) = 336 = 112; 2) P(В) = 636 = 16;
1) P(С) = 1836 = 12.
25. У кошику лежать 18 червоних, 8 зелених і 4 жовтих яблука. Навмання вибирають одне яблуко. Знайди ймовірність події: 1) А — яблуко зелене; 2) В — яблуко жовте; 3) C — яблуко червоне або зелене; 4) D — яблуко не червоне.
У кошику 18 + 8 + 4 = 30 яблук.
1) P(А) = 830 = 415;
2) P(В) = 430 = 215;
3) P(С) = 2630 = 1315;
4) P(D) = 1230 = 25.
26. У класі 9 учнів — брюнети, 14 — шатени, 7 — блондини. Навмання вибирають одного учня. Знайди ймовірність події: 1) А — вибраний учень — шатен; 2) В — вибраний учень — блондин або шатен; 3) C — вибраний учень — не блондин; 4) D — вибраний учень — рудий.
У класі 9 + 14 + 7 = 30 учнів.
1) P(А) = 1430 = 715;
2) P(В) = 2130 = 710;
3) P(С) = 2330;
4) P(D) = 0.
27. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність події: 1) А — з’явиться число, що є дільником числа 8; 2) В — з’явиться не менше ніж 5 очок; 3) C — з’явиться не більше як 5 очок; 4) D — з’явиться число, що буде квадратом натурального числа?
1) Числа, які є дільниками числа 8, це 1, 2, 4 та саме число 8. Це означає, що є 4 сприятливі випадки.
P(А) = 46 = 23;
2) Числа від 5 до 6 включно є більше або рівні 5. Є 2 сприятливі випадки.
P(В) = 26 = 13;
3) Числа від 1 до 5 включно є менше або рівні 5. Є 5 сприятливих випадків.
P(С) = 56;
4) Квадрати натуральних чисел на гральному кубику це 1 та 4. Є 2 сприятливі випадки.
P(D) = 26 = 13.
28. Задача Даламбера. Яка ймовірність того, що при двох послідовних підкиданнях монети хоча б один раз випаде герб?
Складемо таблицю (г — герб; ц — цифра)
| Випадок | Монета | |
| 1 | 2 | |
| 1 2 3 4 | Г Г Ц Ц | Г Ц Г Ц |
n = 4; m = 3.
P = 34.
29. З натуральних чисел від 1 до 30 Яна навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?
Дільники числа 30: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.
n = 30; m = 8; P = 830 = 415.
30. Яка ймовірність того, що навмання вибране натуральне число від 1 до 12 буде дільником числа 12 або простим числом?
Дільники числа 12 або прості числа: 1; 2; 3; 1; 5; 6; 7; 11; 12.
n = 12; m = 9; P = 912 = 34.
31. Ти виграєш, якщо навмання взята з коробки кулька — біла. Яку з коробок вигідніше вибрати для гри, щоб імовірність виграшу була більшою: першу — у якій 12 білих кульок і 36 чорних; другу — У якій 8 білих кульок і 12 жовтих; третю — у якій порівну білих, чорних та жовтих кульок; четверту — у якій 7 білих кульок, 4 жовті і 3 чорні?
Ймовірність виграшу при витягуванні з першої коробки дорівнює 1212 + 36 = 14, з другої - 88 + 12 = 25, з третьої - 13, з четвертої - 77 + 4 + 3 = 12.
Отже, більша ймовірність виграти, обравши четверту коробку.
32. Одночасно підкидають три монети. Знайди ймовірність події: 1) А — тільки на двох монетах випаде герб; 2) В — на трьох монетах випаде герб; 3) C — тільки на одній монеті випаде герб; 4) D — не випаде жодного герба.
1) Складемо таблицю (г — герб; ц — цифра). Кількість усіх можливих випадків дорівнює 8 (n = 8), а кількість випадків, що сприяють появі події А, дорівнює 3 (m = 3), це в таблиці випадки 2, 3 і 5. Отже, Р(A) = 38.
| Випадок | Монета | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 | Г Г Г Г Ц Ц Ц Ц | Г Г Ц Ц Г Ц Г Ц | Г Ц Г Ц Г Г Ц Ц |
2) m = 1; Р(В) = 18.
3) m = 3; Р(С) = 38.
4) m = 1; Р(D) = 18.
33. Скільки в шестикутної піраміди (мал. 163): 1) усього граней; 2) усього ребер?
1) 7; 2) 12.
34. Скільки в чотирикутної піраміди (мал. 164): 1) усього граней; 2) усього ребер?
1) 5; 2) 8.
35. Піраміда має 2017 граней. Скільки сторін має многокутник, який є основою піраміди?
Кількість граней у піраміді дорівнює сумі кількостей граней бічних граней та основи. Оскільки многокутник є основою піраміди, він є однією з граней.
Таким чином, кількість сторін многокутника, який є основою піраміди, буде на одиницю менше за загальну кількість граней піраміди.
Отже, кількість сторін многокутника дорівнює 2017 − 1 = 2016.
36. Основою піраміди є двадцятисемикутник. Скільки граней має ця піраміда?
27 + 1 = 28.
37. Чи існує піраміда, у якої: 1) 2000 ребер; 2) 2005 ребер? Якщо відповідь ствердна, укажи многокутник, який є основою піраміди.
1) Так (1000-кутник); 2) Ні. Кількість ребер піраміди зажди парне.
38. Чи існує піраміда, у якої: 1) 107 ребер; 2) 250 ребер? Якщо відповідь ствердна, укажи многокутник, який є основою піраміди.
1) Ні; 2) Так; (125-кутник).