Вправи: 1061

1061. Можна довести, що для будь–яких натуральних чисел а і b справджується рівність НСД (а; b) • НСК (а; b) = а • b. Перевір її істинність для таких пар чисел:

1) 18 9 3 1233

12 6 3 1223

НСД (18; 12) = 2 · 3 = 6; НСК (18; 2) = 2 · 3 · 3 · 2 = 36.

НСД (18; 12) · НСК (18; 12) = 6 · 36 = 216;

18 · 12 = 216.

Рівність виконується.

2) НСД (15; 17) = 1; тому числа 15 і 17 – взаємно прості і НСК (15; 17) = 15 · 17.

Отже, НСД (15; 17) · НСК (15; 17) = 15 · 17; рівність виконується.

3) 9 є дільником числа 27, тому НСД (9; 27) = 9, а НСК (9; 27) =

= 27.

Отже, НСД (9; 27) · НСК (9; 27) = 9 · 27; рівність виконується.

836. Площа грані 7² = 49 (см²). Площа по верхні куба 6 • 49 = 294 (см²).

Відповідь: 49 см²; 294 см².

837. 1) 2 • 12 = 24 (см); 2) 5 • 12 = 60 (дм); 3) 13 • 12 = 156 (мм).

838. 25 • 6 = 150 (см²).

Відповідь: 150 см².

839. Ребро куба дорівнює 2 см. Сума довжин ребер 12 • 2 = 24 (см). Площа поверхні куба 6 • 2² = 6 • 4 = 24 (см²).

Відповідь: 24 см; 24 см².

840. 1) АЕFВ, СGFВ, DНGC, DНЕА, АВСD, НЕFG;

2) АЕ, ВF, ВС, DС, НG,

ЕF, СG, АD, ЕН, FG, DH, АВ;

З) А, В, С, D, Е, F, G, Н;

4) АЕ, ЕF, FВ, АВ;

5) АD, GF, СВ;

6) АВСD;

7) DHEА, DHGC, HGFE;

8) АВСD і АEFВ.

841. 1) 7 граней; 2) 12 ребер. 842. 1) 5 граней; 2) 8 ребер.

843. S_ABCD = 12 • 6 = 72 (см²); S_FBAE = 12 • 3 = 36 (см²); S_CGFB = 3 • 6 = 18 (см²).

844. Сума ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 4 • (3 + 6 + 12) = 4 • 21 = 84 (см).

Площа поверхні паралелепіпеда дорівнює S = 2 (ВF • FG + ВF • АВ + ЕF • GF) = 2 • (3 • 6 + 3 • 12 + 6 • 12) = 2 • (18 + 36 + 78) = 2 • 132 = 264 (см²).

Відповідь: 84 см; 264 см².

845. 1) S = 2 • (5 • 3 + 5 • 2 + 3 • 2) = 2 • (15 + 10 + 6) = 2 • 31 = 62 (см²);

2) S= 2 • (3 • 4 + 3 • 7 + 4 • 7) = 2 • (12 + 21 + 28) = 2 • 61 = 122 (см²).

846. 4 • (8 + 5 + 3) = 4 • 16 = 64 (см).

Відповідь: 64 см.

847. 1) 1 м = 10 дм, 40 см = 4 дм.

S = 2 • (10 • 2 + 10 • 4 + 2 • 4) = 2 • (20 + 40 + 8) = 2 • 68 = 136 (дм²).

2) 80 мм = 8 см, 1 дм = 10 см.

S = 2 • (8 • 5 + 8 • 10 + 5 • 10) = 2 • (40 + 80 + 50) = 2 • 170 = 340 (мм²).

848. 1) Площа найменшої грані 2 • 4 = 8 (см²);

2) Площа найбільшої грані 4 • 7 = 28 (см²).

849. 1) Площа першої грані дорівнює S₁ = 3 • 1 = 3 (см²); площа другої грані S₂= 1 • 2 = 2 (см²); площа третьої грані S₃ = 2 • 3 = 6 (см²);

2) Площа поверні паралелепіпеда S = (3 + 2 + 6 ) • 2 = 11 • 2 = 22 (см²).

850. Площа поверхні сірникової коробки з розмірами 15 мм, 35 мм, 54 мм: (15 • 35 + 35 • 54 + 15 • 54) • 2 = 6450 (мм²).

х35 1517535525

х54 35 2701621890

х54 1527054810

+1890 525 810 3225

х3225 2 6450

851. 60 дм : 12 = 5 дм.

Відповідь: 5 дм.

852. Ні, оскільки у прямокутного пралелепіпеда, може бути тільки три різні грані, інші три грані попарно їм дорівнюють

853. S = 2 • (120 + 70 + 84) = 2 • 274 = 548 (см²).

Відповідь: 548 см².

854. Якщо піраміда має 2017 граней, то 2016 з них бічні, і одна основа. Тоді многокутник, який є основою має 2016 сторін.

Відповідь: 2016.

855. Піраміда має 27 бічних граней, і основу, усього граней 28.

Відповідь: 28.

856. Прямокутний паралелепіпед має виміри: довжину, ширину, висоту. Ребер, які дорівнюють довжині, паралелепіпед має чотири, які дорівнюють ширині і висоті, також по чотири. Тому сума довжин трьох ребер, що виходять з однієї вершини дорівнює 36 : 4 = 9 (дм).

Відповідь: 9 дм.

857. 1) 15 – 5 = 10 (см) — ширина прямокутного паралелепіпеда;

2) 15 • 2 = З0 (см) — довжина прямокутного паралелепіпеда;

3) 4 • (15 + 10 + З0) = 4 • 55 = 220 (см) — сума довжин усіх ребер;

4) 2 • (15 • 10 + 15 • 30 + 10 • 30) = 2 • (150 + 450 + 300) = 2 • 900 = 1800 (см²)

Відповідь: 220 см; 1800 см².

858. L= 4a + 4b + 4с = 4(a + b + с).

Відповідь: L = 4(а + b + с).

859. Плоша поверхні бака дорівнює 80 • 50 + 2 • 80 • 40 + 2 • 50 • 40 = 4000 + 2 • 3200 + 2 • 2000 = 4000 + 6400 + 4000 = 14 400 (см²). Оскільки бак потрібно пофарбувати з двох сторін, площа, яку треба пофарбувати 14 400 см² • 2 = 28 800 см²= 288 дм².

Відповідь: 288 дм².

860. S = 2 • 20 • 40 + 2 • 50 • 40 = 1600 + 4000 = 5600 (см²) = 56 дм².

Відповідь: 56 дм².

861. Бічних ребер піраміди стільки, скільки сторін у грані, що лежить в основі піраміди. Тому число ребер піраміди повинно бути парним.

1 ) Існує, це піраміда, основа якої — тисячекутник;

2) ні, оскільки число ребер піраміди парне.

862. 1 ) Ні, оскільки число ребер піраміди парне;

2) існує, це піраміда, основа якої — 125–кутник.

863. 1) 12 : 3 = 4 (см) — висота паралелепіпеда;

2) 12 – 3 = 9 (см) — ширина паралелепіпеда;

3) 2 • (12 • 4 + 12 • 9 + 4 • 9) = 2 • (48 + 108 + 36) = 2 • 192 = 384 (см²) — площа поверхні паралелепіпеда;

4) 384 : 6 = 64 (см²) — площа грані куба;

Оскільки площа квадрата 64 см² = 8 см • 8 см , то ребро куба дорівнює 8 см.

Відповідь: 8 см.

864. Якщо а ребро меншого куба, тоді ребро більшого куба 2а. Площа поверхні меншого куба дорівнює 6а², площа поверхні більшого 6 • (2а)² = 6 • 2а • 2а = 4 • 6а².

Відповідь: площа поверхні більшого куба в 4 рази більша за площу поверхні меншого.

865. Площа поверхні бруска дорівнює 2 • (80 • 70 + 80 • 50 + 70 • 50) = 2 • (5600 + 4000 + 3500) = 2 • 13 100 = 26 200 (см²) = 262 дм². Тоді щоб пофарбувати брусок потрібно 262 • 3 = 786 (г) фарби.

Відповідь: 786 г.

866. Нехай висота паралелепіпеда дорівнює х см, тоді ширина 2х см, а довжина Зх см. Сума всіх ребер паралелепіпеда дорівнює (х + 2х + Зх) • 4 см, або 288 см. Отримаємо рівняння: (х + 2х + Зх) • 4 = 288

6х • 4 = 288

24х = 288

х = 288 : 24

х = 12

Тоді ширина паралелепіпеда 2 • 12 = 24 (см), довжина паралелепіпеда

З • 12 = 36 (см).

Площа поверхні паралелепіпеда S = 2 • (12 • 24 + 12 • 36 + 24 • 36) = 2 • (288 + 432 + 864) = 2 • 1584 = 3168 (см²).

Відповідь: 3168 см².

867. 1) 16 • 4 = 64 (шкур) — вичинив за перші 4 години;

2) 106 – 64 = 42 (шкур) — вичинив за решту часу;

3) 42 : 14 = 3 (год) — час, за який вичинив останні 42 шкури;

4) 4 + 3 = 7 (год) — час, за який вичинив усі шкури.

Відповідь: за 7 год.

868. Картоплю, що завезли до магазину продавали три дні. За другий день продали на 720 кг картоплі менше, ніж за перший та вдвічі менше, ніж за перший та вдвічі менше ніж за третій день. Скільки кілограмів картоплі завезли в магазин, якщо за другий день продали 321 кг картоплі?

1) 321 + 720 = 1041 (кг) картоплі продали за перший день;2) 321 • 2 = 642 (кг) картоплі продали за перший день;3) 1041 + 321 + 642 = 2004 (кг) картоплі було всього.

+1041 321 642 2004

Відповідь: 2 т 4 кг.

2. Картоплю, що завезли до магазину продавали три дяі. За другий день продали на 12 кг картоплі менше, піж за перший і втричі менше, ніж за перший день. Скільки кілограмів картоплі завезли в магазин, якщо за перший день продали 405 кг картоплі?

1) 405 : 3 = 135 (кг) картоплі продали за другий день;2) 135 + 12 = 147 (кг) картоплі продали за перший день;3) 405 + 135 + 147 = 687 (кг) картоплі було всього.

+405 135 147 687

Відповідь: 687 кг.

869. Нехай в одному бідоні х л молока, тоді у другому 2х л молока, а у двох бідонах разом (х + 2х) л, або 48 л молока. Отримаємо рівняння:

х + 2х = 48

Зх = 48

х = 48 : 3

х = 16

У другому бідоні 16 • 2 = 32 (л) молока.

Відповідь: 16 л і 32 л.

870. Довжина третьої сторони 40 – а – 15 = 25 – а.

Якщо а = 8 , тоді 25 – а = 25 – 8 = 17 (см).

Якщо а = 5, то 25 – а = 25 – 5 = 20 (см).

Перевірка: 5 +15 = 20 — такого трикутника не існує, оскільки сума двох сторін дорівнює третій стороні.

Якщо а = 21, тоді 25 – а = 25 = 21 = 4 (см).

Перевірка:4 + 15 < 21 — такого трикутника не існує, оскільки сума двох сторін менша від третьої сторони.

871. 1) 90 х 20 = 1800 м² = 18а — площа ділянки;

2) 40 • 18 = 720 (кг) — картоплі необхідно, щоб засадити ділянку.

872. 1) V = 2 • 5 • 8 = 80 (см³); 2) V = 3 • 4 • 2 = 24 (дм³).

873. 1) Рис.189 – 4 см³; 2) Рис.190 – 4 см³; 3) Рис.191 – 4 см³; 4) Рис.192 – 7 см³; 5) Рис.193 – 12 см³.

874. 1) Рис.194 – 6 м³; 2) Рис.195 – 8 м³.

875. 1) V = 15 • 20 • 30 = 900 (см³); 2) V = 2 • 15 • 40 = 1200 (м³).

876. 1) V = abc = 12 • 15 • 8 = 1440 (см³);

2) V = abc = 10 • 17 • 21 = 3570 (дм³).

877. 1) V = 2³ = 8 (см³); 2) V = 5³ = 125 (см³); 3) V = З³ = 27 (м³).

878. 1) V = а³ = 7³ = 329 (мм³); 2) V = а³ = 12₃ = 1728 (см³).

879. V = 8 • 7 • 2 = 112 (м³).

Відповідь: 112 м³.

880. 1) V = 4³ = 64 (см³); 2) 64 • 9 = 576 (г).

х64

9

576

Відповідь: 576 г.

881. 1) V = 8 • 2 • 1 = 16 (дм³); 2) 16 • 630 = 10 080 (г) = 10 кг 80 г.

х630

16

378

63

10080

Відповідь: 10 кг 80 г

882. 1) V = Sh = 12 • 4 = 48 (см³); 2) V = Sh = 28 • 2 = 56 (дм³).

883. V = Sh = З0 • 4 = 120 (м³).

Відповідь: 120 м³.

884. Кожна одиниця об’єму у 1000 разів більша за попередню.

1 дм³ у 1 000 000 разів більше за 1 мм³; 1 м³ у 1 000 000 разів більше за 1 см³.

885. 1) 13 дм³ = 13 000 см³; 3 м³ = 3 000 000 см³; 5000 мм³ = 5 см³;

2) 12 м³ = 12 000 дм³; 6000 см³ = 6 дм³; 7 л = 7 дм³;

3) 4000 см³ = 4 л; 8 дм³ = 8 л; 5 м³ = 5000 л.

886. 1) 8000 мм³ = 8 см³; 15 дм³ = 15 000 см³; 7 м³ = 7 000 000 см³;

2) 15 л = 15 дм³; 18 000 см³ = 18 дм³; 13 м³ = 13 000 дм³;

3) 27 000 см³ = 27 л; 14 дм³ = 14 л; 8 м³ = 8000 л.

887. 1) V = б³ = 216 (см³) — об’єм куба;

2) 216 • 8 = 1728 (см³) об’єм паралелепіпеда.

х216

8

1728

Відповідь: 1728 см³.

888. 1) V= 10 • 5 • 4 = 200 (м³) — об’єм сараю;

2) 200 : 10 • 6 = 120 (ц) — маса сіна.

Відповідь: 120 ц.

889. Об’єм куба з ребром 5 см дорівнює 5³ = 5 • 5 • 5 = 125 (см³);

об’єм куба з ребром 2 дм дорівнює 2³ = 8 (дм³) = 8000 см³;

8000 : 125 = 64.

Відповідь: у 64 рази.

890. Об’єм куба з ребром 4 см дорівнює 4³ = 64 (см³); об’єм куба з ребром 12 см дорівнює 12³ = 1728 (см³); 1728 : 64 = 27.

_1728 64

128 27

448

448

0

Відповідь: у 27 разів.

891. 90 : 3 = З0 (м²).

Відповідь: З0 м².

892. 1) S = V : h = 780 : 12 = 65 (см²);

2) S = V : h = 520 дм³ : 40 см = 520 дм³ : 4 дм = 130 (дм²).

893. 1 ) 25 • 12 = 300 (м²) — площа основи;

2) 1200 : 300 = 4 (м) — висота складу.

Відповідь: 4 м.

894. 1) 60 : 3 = 20 (м²) — площа підлоги;

2) 20 : 5 = 4 (м) — ширина;

3) (3 • 4 + 3 • 5) • 2 = (12 + 15) • 2 = 27 • 2 = 54 (м²) — площа стін.

Відповідь: 4 м; 20 мг; 54 м².

895. 1) 8 • 5 • 3 = 120 (м³) — об’єм класної кімнати;

2) 120 : 20 = 6 (м³) — повітря на кожного учня;

3) S = 5 • 8 = 40 (м²) — площа підлоги;

4) 40 : 20 = 2 (м²) — на кожного учня.

Відповідь: 2 м² площі; 6 м³ повітря.

896. Об’єм паралелепіпеда 8 см • 1 дм • 12 см = 8 см • 10 см • 12 см = 960 (см³);

об’єм кубика 2³ = 8 (см³); 960 : 8 = 120.

Відповідь: 120 кубиків.

897. Об’єм кубика з ребром 5 см дорівнює 5³ = 125 (см³); об’єм фігури зображеної на мал. 196 дорівнює 125 • 10 = 1250 (см³); об’єм фігури зображеної на мал. 197 дорівнює 125 • 14 = 1750 (см³).

Відповідь: 1250 см³; 1750 см.

898. Об’єм кубика з ребром 5 см дорівнює 4³ = 64 (см³); кількість

кубиків на мал. 198 дорівнює 5 • 3 • 3 = 45; об’єм фігури зображеної на мал. 198 дорівнює 64 • 45 = 2880 (см³); об’єм фігури зображеної на мал. 199 дорівнює 64 • 14 = 896 (см³).

Відповідь: 2880 см³; 896 см³.

899.

1) 8 дм³ 115 см³ = 8115 см³; 2) 15 дм³ 18 см³ = 15 018 см³;

3) 15 см³ 8 мм³ = 15 008 мм³; 4) 17 м³ 2 дм³ = 17 002 л;

5 )5 м³ 112 дм³ 217 см³ = 5 112 217 см³;

6) 8 дм³ 5 см³ 12 мм³ = 8 005 012 мм³.

900.

1) 7 см³ 129 мм³ = 7129 мм³; 2) 17 дм³ 8 см³ = 17 008 см³;

3) 25 м³ 12 дм³ = 25 012 л; 4) 8 дм³ 115 см³ 2 мм³ = 8 115 002 мм³.

901. V = 1 м 70 см • 1 м • 80 см = 17 дм • 10 дм • 8 дм = 1360 (дм³) = 1360 л.

Відповідь: 1360 л.

902. 1) 2 • 3 • 5 = 30 (м³) = 3000 дм³ = 3000 л — об’єм резервуара;

3000 • 1 кг =30 000 кг = 30 т — маса води.

Відповідь:30 т.

903. 1) 2 м 20 см • 4 м • 1 м 50 см = 22 дм • 40 дм • 15 дм = 13 200 дм³— об’єм резервуара у формі прямокутного паралелепіпеда;

2) (2 м 50 см)³= 25³ дм³ = 25 • 25 • 25 = 625 • 25 = 15 625 (дм³)— об’єм резервуара у формі куба;

3) 15 625 дм³ – 13 200 дм³ = 2425 дм³ = 2425 л;

х625

25

3125

1250

15625

Відповідь: другий резервуар містить більше води на 2425 л.

904. 1) 12 • 8 = 96 (л) — об’єм води;

2) 40 • 60 = 2400 (см²) = 24 дм² — площа дна акваріума;

3) 96 : 24 = 4 (дм) — висота води.

Відповідь: 4 дм.

905. 1) 65 – 5 = 60 (см) — висота води;

2) 70 • 45 • 60 = 189 000 (см³) = 189 л — об’єм води;

3) 189 : 9 = 21 (відро).

Відповідь: 21 відро.

906. 1) 9 • 3 • 1 = 27 (см³) — об’єм прямокутного паралелепіпеда;

2) оскільки об’єм куба 27 см³ = 3а см³, ребро куба — 3 см;

3) 2 • (9 • 3 + 9 • 1 + 3 • 1) = 2 • (27 + 9 + 3) = 2 • 39 = 78 (см²) —площа поверхні паралелепіпеда;

4) 6 • З2 = 6 • 9 = 54 (см²) — площа поверхні куба.

5) 78 – 54 = 24 (см²).

Відповідь: ребро куба 3 см; площа поверхні паралелепіпеда на 24 см² більша.

907. 1) 150 : 6 = 25 (см²) — площа поверхні однієї грані куба;

2) оскільки площа грані 25 см² = 52 см², ребро куба — 5 см.

3) 5³ = 125 (см³) — об’єм куба.

Відповідь: 125 см³.

908. Об’єм куба V = а³, якщо збільшити його ребро у 2 рази, об’єм новоутвореного куба становитиме (2а)³ = 2а • 2а • 2а = 8а³. Тобто об’єм куба збільшиться у 8 разів.

Відповідь: у 8 разів.

909. Розв’язання в підручнику.

910. Об’єм деталі дорівнює 50 • 80 • 40 + 40 • ЗО • 10 = 160 000 +

+12 000 (см³) = 172 000 см³ = 172 дм³.

Об’єм 5 деталей 172 • 5 = 860 (дм³).

х172

5

860

Відповідь: 172 дм³; 860 дм³.

911. 1 ) 8 • 12 • 15 – 10 • 12 • 4 = 1440 – 480 = 960 (см³) — об’єм деталі;

2) 960 • 8 = 7680 (г) — маса деталі.

х960

8

7680

Відповідь: 7680 г.

912. 1) 8 • 4 • 2 = 64 (см³) — початковий об’єм бруска мила;

3) 4 • 2 • 1 = 8 (см³) — об’єм бруска, що залишився;

4) 64 – 8 = 56 (см³) — мила використали за 14 днів;

5) 56 : 14 = 4 (см³) — використовували кожен день;

6) 8 : 4 = 2 (дні).

Відповідь: на 2 дні.

913. (185 + 3) : 14 = 188 : 14 = 13 (ост. 6).

Відповідь: на 13.

914. 1) 16 – 8 = 8 (годин) — рухався перший поїзд;

2) 70 • 8 = 560 (км) — проїхав перший поїзд;

3) 8 – 3 = 5 (годин) — рухався другий поїзд;

4) 65 • 5 = 325 (км) — проїхав другий поїзд;

5) 560 – 325 = 235 (км) — відстань між поїздами.

Відповідь: 235 км.

Домашня самостійна робота № 5

1. Г. 2. Б. 28 см. Р = 4 • 7 = 28 (см).

3. Б. 36 см². 9 • 4 = 36 (см²). 4. В. 60°. 180°–(80°+ 40°) = 60°.

5. А . 92 см. Р = 20 + 20 • 2 + 40 – 8 = 92 (см).

6. В. 1125 г. 5³ • 9 = 125 • 9 = 1125 (г).

7. Г. 116°. 2 • 29° • 2 = 116°.

8. В. 49 см². 9. В. 15 см. 60 : 4 = 15 (см).

10. Б. 8 см. Найменша сторона х см, тоді друга сторона (х + 2) см, а третя (х + 4) см. Периметр х + (х + 2) + (х + 4), або 30 см.

х + (х + 2) + (х + 4) = 30

3х + 6 =30

Зх = 30 – 6

Зх = 24

х = 24 : 3

х = 8

11. А.

12. Б. 4 см. Об’ єм паралелепіпеда 2 • 4 • 8 = 64 (см³). Об’єм куба

64 = 4³, тоді ребро 4 см.

Завдання для перевірки знань № 5

1. Р = 4 • 17 = 68 (см); S = 17² = 289 (см²).

Відповідь: 68 см; 289 см².

2. 1) 12 : 2 = 4 (см) — довжина другої сторони;

2) Р = 2 • (12 + 4) = 2 • 16 = 32 (см);

3) S = 12 • 4 = 48 (см²).

Відповідь: 32 см; 48 см².

3. S = 6 • 4² = 6 • 16 = 96 (дм²); V =4³ = 64 (дм³).

Відповідь: 96 дм²; 64 дм³.

4. ∠AOB = 60°. Градусна міра шуканого кута 60° + 10° = 70°

5. 1) 15 дм² = 1500 см²; 2) 8 дм³ = 8000 см³.

6. V = 8 см • 5 см • 1 дм = 8 см • 5 см • 10 см = 400 (см³).

7. 1 ) 7 – 2 = 5 (см) — друга сторона;

2) 18 – (7 + 5) = 6 (см) — третя сторона.

Відповідь: 6 см.

8. ∠KOB = ∠AOB – ∠ AOK =180° – 120° = 60°;

∠МОК = ∠МОВ – ∠КОВ = 135° – 60° = 75°.

Відповідь: 75°.

9. 1) 90 : (6 • 3) = 90 : 18 = 5 (см) — ширина;

2) 4 • (6 + 3 + 5) = 4 • 14 = 56 (см) — довжина усіх ребер.

Відповідь: 56 см.

10. 8 : 2 = 4.

Відповідь: площа збільшиться у 4 рази.

11.1) 8 • 4 • 2 = 64 (дм³) — об’єм паралелепіпеда;

2) оскільки об’єм куба 64 = 4³, тоді ребро куба 4 дм;

3) 2 • (8 • 4 + 8 • 2 + 4 • 2) = 2 • (32 + 16 + 8) = 2 • 56 = 112 (дм²) — площа поверхні паралелепіпеда;

4) 6 • 42 = 6 • 16 = 96 (дм²) — площа поверхні куба;

5) 4 • (8 + 4 + 2) = 4 • 14 = 56 (дм)— довжина ребер паралелепіпеда;

6) 12 • 4 = 48 (дм) — довжина ребер куба.

Відповідь: Паралелепіпед має більшу площу поверхні і довжину усіх ребер.