§ 7: 7.9

7.9 Доведіть, що для будь–якого натурального n:

1) Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу (3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²) кратне 7.

При n = 1 отримуємо: З² + 2³ = 27 + 8 = 35 ⋮ 7.

Доведемо справедливість твердження при n = k + 1, тобто що: (З^2(k+1)+1 + 2^k+1+2) ⋮ 7.

Для доведення достатньо показати, що різниця: (З^2k+3 + 2^k+3) – (З^2k+2 + 2^k+2) кратна 7.

Перепишемо цю різницю так: З^2k+3 – З^2k+1 + 2ⁿ⁺³ – 2^k+2 = З² • З^2k+1 – З^2k+1 + 2 • 2^k+2 – 2^k+2 = З^2k+1(З² – 1) + 2^k+1(2 – 1) = З^2k–1 • 8 + 2^k+2 = 7 • 3^2k+1 + З^2k+1 + 2^k–2.

Маємо: 7 • З^2k+1 ⋮ 7; (З^2k+1 + 2^k+2) ⋮ 7 ⇒ (7 • З^2k+1 + З^2k+1 + 2^k+1) ⋮ 7 ⇒ (З^2k+3 + 2^k+3) – (З^2k+1 + 2^k+2)кратна 7 ⇒ (З^2(k+1)+1 + 2^k+1+2) ⋮ 7.

Отже, припустивши, що формула є правильною при n = k, ми довели, що вона є правильною при n = k + 1. А з урахуванням

«бази індукції» можна зробити висновок, що формула є правильною

при будь–якому натуральному значенні n, тому що n ≥ З.

Тобто твердження: (З²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²) ⋮ 7 доведене.

2) Доведіть, що при будь–якому натуральному n значення виразу:

(6²ⁿ + 19ⁿ – 2^n–1) кратне 17.

При n = 1 отримуємо: 6² + 19 – 2² = 36 + 19 – 4 = 51 кратне 17. Тобто «база індукції» доведена.

Нехай при n = k є правильним твердження, тобто: (6^2k +19^k – 2^k–1)⋮ 17.

Доведемо справедливість твердження при n = k + 1, тобто що:

(6^2(k+1) + 19^k+1 – 2^k+1–1) ⋮ 17.

Для доведення достатньо показати, що різниця:

(6^2(k+1) + 19^k+1 – 2^k+2) – (6^2k + 19^k – 2^k–1) кратна 17.

Перепишемо цю різницю так:

6^2k–3 + 19^k+1 – 2^k+2 – 6^2k – 19^k + 2^k+1 = 6² • 6^2k – 6^2k + 19 • 19^k – 19^k – 2 • 2^k+1 + 2^k+1 = 6^2k(36 – 1) + 19^k(19 – 1) – 2^k+1(2 – 1) = 35 • 6^2k + 18 • 19^k – 2^k–1 = 34 • 6^2k + 17 • 19^k + 6^2k + 19^k – 2^k+1.

Маємо: 34 • 62^k ⋮ 17; 17 • 19^k ⋮ 17; (6^k + 19^k – 2^k+1) ⋮ 17 ⇒ (34 • 6^2k + 17 • 9^k + 6^2k + 19^k – 2^k+1) ⋮ 17 ⇒ різниця:

(6^2(k+1) + 19^k+1 – 2^k–2) – (6^2k + 19^k – 2^k+1) кратна 17 ⇒ (6^2(k+1) + 19^k+1 – 2^k+2+1) ⋮ 17.

Отже, припустивши, що формула є правильною при n = k, ми довели, що вона є правильною при n = k + 1. А з урахуванням

«бази індукції» можна зробити висновок, що формула є правильною

при будь–якому натуральному значенні n, тому що n ≥ 3.

Тобто твердження: (6²ⁿ + 19ⁿ – 2^n–1) ⋮ 17 доведене.