§ 7: 7.6 (1-2)

7.6 Виведіть формулу для обчислення суми

Виведіть формулу для обчислення суми:

11 • 2 + 12 • 3 + 13 • 4 +…+ 1n(n+1); n ∈ N.

Для n =1: 11 • 2 = 12 = 11+1.

Для n = 2:

11 • 2 + 12 • 3 = 12 + 16 = 46 = 23 = 22 +1.

Для n = 3:

11 • 2 + 12 • 3 + 13 • 4 = 23 + 112 = 912 = 34 = 33 +1.

Для n = 4:

11 • 2 + 12 • 3 + 13 • 4 + 14 • 5 = 34 + 120 = 1620 = 45 = 44 +1.

Тепер можна зробити таке припущення:

11 • 2 + 12 • 3 + 13 • 4 +…+ 1n(n+1) = nn+1.

Справедливість цієї формули при n = 1 було встановлено вище.

Нехай формула є правильною при n = к, тобто:

11 • 2 + 12 • 3 + 13 • 4 +…+ 1k(k+1) = kk+1.

Перевіримо справедливість формули при n = k + 1. Маємо:

11 • 2 + 12 • 3 + 13 • 4 +… + 1k(k+1) + 1k+1(k+2) = kk+1 • (k + 1k+1) = 1k+1 • kk+1+ 1k+2 = 1k+1 • k2+ 2k+1k+2= 1k+1 • (k+1)2k+2 = k+1k+1+ 1.

Тобто: 11 • 2 + 12 • 3 + 13 • 4 +… + 1k(k+1) + 1k+1(k+2) = k+1k+1+1.

Отже, припустивши, що формула є правильною при n = k, ми довели, що вона є правильною при n = k + 1. А з урахуванням

«бази індукції» можна зробити висновок, що формула є правильною при будь–якому натуральному значенні n.

Тобто формула: 11 •2 + 12 •3 + 13 •4 +… + 1n(n+1) + nn+1 доведена.