§ 39: 39.11 (1-3)

39.11 Доведіть, що функція є зростаючою:

1) f(x) = 10x³ – 9x² + 24x – 90; D(f) = R.

f’(x) = 30x² – 18x + 24. Розв’яжемо нерівність 30х² – 18x + 24 > 0;

5x² – 3х + 4 > 0.

Знайдемо корені тричлена: 5x² – 3х + 4 = 0.

D = b² – 4ac = (–3)² – 4 • 5 • 4 = 9 – 80 < 0.

Оскільки тричлен коренів не має, а коефіцієнт при х² додатний,

то 5х² – 3х + 4 > 0 і функція зростає на R.

2) f(x) = cosЗх + 4х; D(f) = R. f’(x) = –3sin3х + 4.

4 – 3sin3х > 0 при будь–якому х ∈ R, бо |sin3х| < 1; |3sin3х| < 4. Отже, f(x) зростає на R.