§ 26: 26.18 (1)

26.18 Доведіть, що коли α + β + γ = π, то має місце тотожність:

γ = π – (α + β), α + β = π – γ, тоді

1) sin4α + sin4β + sin4γ = 2sin(2α + 2β) cos(2α – 2β) + sin(4π – 4(α + β)) = 2sin(2α + 2β) cos(2α + 2β) – sin4(α + β) = 2sin(α + β) cos2(α – β) – 2sin 2(α + β) cos 2(α + β) = 2 sin 2(α + β)(cos 2(α – β) – cos2(α + β)) = 2sin 2(α + β) • (–2sin2α-2β+2α+2β2 sin 2α-2β-2α-2β2) = –4sin(2α + 2β) sin 2α sin(–2β) = 4sin • 2αsin2βsin(2α + 2β) = 4sin2αsin2βsin(2π – 2γ) = –4sin2αsin2βsin2γ; –4sin2αsin2βsin2γ = –4sin2αsin2βsin2γ, тотожність доведено.

2) cosα + cosβ + cosγ = 1 + 4cos α+ β2 • cos α+ γ2 • cos β+ γ2.

Л. ч. = cosα + cosβ + cosγ – 1 + 1 = 2сosα+ β2 • cosα- β2 – 2sin²γ2 + 1 = 2cosα+ β2 • cosα- β2 – 2sin²(π2 – α+ β2) + 1 = 2cosα+ β2 • cosα- β2 – 2cos²α+ β2 + 1 = 2cosα+ β2 (cosα+ β2 – cosα+ β2) + 1 = –4cosα+ β2 • sinα 2 • sin(–β2) + 1 = 4cosα+ β2 • sin(π2 – β+ γ2) • sin(π2 – γ+ α2) + 1 = 1 + 4cosα+ β2 • cosβ+ γ2 • cosγ+ α2 = П. ч. Тотожність доведена.

3) sin²α + sin²β – sin²γ = sin²α – sin²γ + sin²β = (sinα – sinγ)(sinα + sinγ) + sin²β = 2sinα- β2 • cosα+ γ2 • 2sinα+ γ2 • cosα- γ2 + sin²β = 4sinα- γ2 • cosα-γ2 • sinα+ γ2 • cosα+γ2 + sin²(π–(α + γ)) = sin(α – γ) sin(α + γ) + sin²(α + γ) = sin(α + γ)(sin(α – γ)+ sin(α + γ)) = sin(α + γ) • 2 sin α cos(–γ) = 2sin • sinγ sin(α + γ) = 2sin α sin γ sin(π – β) = 2 sin α sin β sin γ; 2sinα sin β sinγ = 2sin α sin β sin γ; тотожність доведено.