§ 43: 43.2 (1)

43.2 Дослідіть функцію та побудуйте її графік:

1) f(x) = 4x – 13 x³.

D(f) = (–∞; +∞).

f(–x) = 4 • (–x) – 13 • (–x)³ = –4x + x³ = f(x) – функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат.

f(x) = 0, 4x – 13 x³ = 0; x(4 – x23) = 0;

x = 0, x = 0, x = 0; Це нулі функції.

x23 = 4; х² = 12; х = ± 23.

f(x) > 0 при х ∈ (–∞; –23) ∪ (0; 23);

f(x) < 0 при х ∈ (–23; 0] ∪ (23; +∞).

f’(x) = 4 – x² = (2 – x)(2 + x); f’(x) = 0 при х = –2 і х = 2.

x	(–∞; –2)	–2	(–2; 2)	2	(2; +∞)
f’(x)	–	0	+	0	–
f(x)	↘	–163	↗	163	↘
		min		max

f(–2) = 4 • (–2) – 13 (–2)³ = –8 + 83 = –163;

f(2) = 4 • 2 – 13 • 2³ = 8 + 83 = 163. x_min = –2; x_max = 2.

f’’(x) = –2x; f’’(x) > 0 при x ≤ 0; f’’(x) ≤ 0 при х ≥ 0.

Отже, функція опукла вниз на проміжку (–∞; 0], опукла вгору на

[0; +∞); х = 0 – точка перегину.

2) f(x) = х – х³. D(f) = R.

f(–x) = (–x) – (–x)³ = – x + x3 = – f(x) – функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат.

f(x) = 0, х – x³ = 0; х(1 – х²) = 0;

х(1 – x)(1 + х) = 0;

х = 0, х = 1, х = –1 – нулі функції.

f(x) > 0 при х ∈ (–∞; –1) ∪ (0; 1);

f(x) < 0 при х ∈ (–1; 0) ∪ (1; +∞).

f’(х) = 1 – 3х²; f’(x) = 0; 1 – 3х² = 0; 3х² = 1;

x² = 13; x = 33; x = –33 – критичні точки.

x	(–∞; –33)	–33	(–33; 33)	33	(33; +∞)
f’(x)	–	0	+	0	–
f(x)	↘	–239	↗	239	↘
		min		max

f(–33) = –33 – (–33)³ = –33 + 3327 = -93+ 3327 = –6327 = –239;

f(33) = 33 – (33)³ = 33 – 3327 = 93- 3327 = 6327 = 239;

f’’(x) = –6х; f’’(x) ≥ 0 при х ≤ 0; f’’(x) ≤ 0 при х ≥ 0.

Функція опукла вниз при х ∈ (–∞; 0], опукла вгору при х ∈ [0; +∞);

х = 0 – точка перегину. Графік див. у відповідях.

3) f(–x) = x42 – 4x².

D(f) = (–∞; +∞).

f(–x) = –(-x)42 – 4(–x)² = x42 – 4x² = f(x) – функція парна, графік симетричний відносно осі ординат.

Знайдемо нулі функції: x42 – 4x² = 0; x4- 8х22 = 0;

x⁴ – 8x² = 0; х²(х² – 8) = 0;

x²(х – 22)(x + 22) = 0; х = 0,

х = 22, х = –22.

f(x) > 0 при х ∈ (–∞; –22) ∪ (22; +∞);

f(x) < 0 при х ∈ (–22; 0) ∪ (0; 22).

f’(x) = 2х³ – 8х = 2х(х² – 4) = х(х – 2)(х + 2);

f’(x) = 0; х(х – 2)(х + 2) = 0;

х = 0, х = –2, х = 2 – критичні точки.

x	(–∞; –2)	–2	(–2; 0)	0	(0; 2)	2	(2; +∞)
f(x)	–	0	+	0	–	0	+
f’(x)	↘	–8	↗	0	↘	–8	↗
		min		max		min

f(–2) = (-2)42 – 4(–2)² = 8 – 16 = –8;

f(2) = f(–2) = –8; f(0) = 0.

Графік див. у відповідях.

4) f(x) = 8x² – 7 – х⁴.

D(f) = (–∞; +∞).

f(–x) – 8 • (–x)² – 7 – (–x)⁴ = 8x² – 7 – x⁴ = f(x).

Функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

f(x) = 0; x⁴ – 8x² + 7 = 0; x² = 7, x = ± 7,

x² = 1; x² = ± 1.

Отже, функція має чотири нулі.

f(x) > 0 при х = (7; –1) U (1; 7);

f(x) < 0 при х = (–∞; –7) U (–1; 1) U (7; +∞).

f’(x) = 16х – 4х³ = 4х(4 – х²) = 4х(2 – х)(2 + х).

f(x) = 0 при х = 0, х = –2, х = 2 – критичні точки.

x	(–∞; –2)	–2	(–2; 0)	0	(0; 2)	2	(2; +∞)
f(x)	+	0	–	0	+	0	–
f’(x)	↗	9	↘	–7	↗	9	↘
		max		min		max

f(0) = –7;

f(2) = 8 • 2² – 7 – 2⁴ = 32 – 7 – 16 = 9;

f(–2) = f(2) = 0.

Графік див. у відповідях.