§ 40: 40.15 (1)

40.15 Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1) f(x) = x2-6xx+2; D(f) = (–∞; –2) ∪ (–2; +∞).

f’(x) = 2x-6x+2+x2 -6x • 1(x+2)2 = 2x2+4x • 6x-12-x2 +6x(x+2)2 = x2+4x-12(x+2)2 = (x-2)(x+6)(x+2)2.

f’(x) = 0 при x = 2 і х = –6 – критичні точки,

f’(х) не існує при х = –2 – не критична точка.

Функція зростає на (–∞; –6] і [2; +∞); спадає на [–6; –2) і (–2; 2];

х_max = –6; х_min = 2.

2) f(x) = x + 9x; D(f) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞);

f’(x) = 1 – 9x2 = x2-9x2 = (x-3)(x+3)x2;

f’(x) = 0 при x = 3 і x = –З – критичні точки;

f’(х) не існує при x = 0 – не критична точка, бо 0 ∉ D(f).

Функція зростає на (–∞; –3] і [3; +∞); спадає на [–3; 0) і (0; 3];

х_max = –3; x_min = 3.

3) f(x) = x2x2+ 3; f'(x) = 2xx2 +3-x2 • 2x(x2 + 3)2 = 2x3+6x-2x3(x2 + 3)2 = 6x(x2 + 3)2.

f’(х) = 0 при х = 0 – критична точка. f’(x) > 0 при х > 0; f’(x) < 0 при х < 0. Функція зростає на [0; +∞); спадає на (–∞; 0]; x_min = 0.

4) f(x) = 1(x+1)2; D(f) = (–∞; – 1) ∪ (–1; +∞). f’(x) = –2(x+1)2;

f’(x) не існує при x = –1.

Функція зростає на (–∞; –1); спадає на (–1; +∞);

точок екстремуму немає.

5) f(x) = 116- x2;

D(f) = (–∞; –4) ∪ (–4; 4) ∪ (4; +∞).

f’(x)= –1(16- x2)2 • (16 – x²)’ = 2(16- x2)2.

f’(x) = 0 при х = 0.

Функція f(x) зростає на [0; 4) і (4; +∞); спадає на (–∞; –4) і (–4; 0]; x_min = 0.

6) f(x) = 2x – x; D(f) = [0; +∞). f’(x) = 2 – 12x = 4x-12x;

f’(x) = 0;

4x – 1 = 0; 4x = 1; x = 14; x = 116.

Функція спадає на [0; 116]; зростає на [116; +∞); x_min = 116.