§ 33: 33.4 (1)

33.4 Розв’яжіть нерівність:

1) ctg(x + π6) ≥ 3.

Нехай x + π6 = t, тоді ctg t ≥ 3.

⇒ πn < t ≤ π6 + πn, n ∈ Z; πn < x + π6 ≤ π6 + πn, n ∈ Z; –π6 + πn < x ≤ πn, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (–π6 + πn, n ∈ Z], n ∈ Z.

2) cos(x2 + π3) < –22. Нехай x2 + π3 = t; cost < –22.

⇒ 3π4 + 2πn < t < 5π4 + 2πn, n ∈ Z; 3π4 + 2πn < x2 + π3 < 5π4 + 2πn,

n ∈ Z; 3π4 – π3 + 2πn < x2 < 5π4 – π3 + 2πn, n ∈ Z; 5π12 + 2πn < x2 < 11π12 + 2πn, n ∈ Z; 5π6 + 4πn < x < 11π6 + 4πn, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (5π6 + 4πn; 11π6 + 4πn), n ∈ Z.

3) 2sin (2π3 – x) < 1; –2 sin(x – 2π3) < 1; sin(x – 2π3) > –12.

Нехай x – 2π3 = t, тоді sint > –12.

⇒ –π6 + 2πn < t < 7π6 + 2πn, n ∈ Z; –π6 + 2πn < x – 2π3 < 7π6 + 2πn,

n ∈ Z; –π6 + 2π3 + 2πn < x < 7π6 + 2π3 + 2πn, n ∈ Z; π2 + 2πn < x < 11π6 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (π2 + 2πn; 11π6 + 2πn), n ∈ Z.

4) tg(x3 + π4) < 33. Нехай x3 + π4 = t, тоді tgt < 33.

⇒ π2 + πn < t < 7π6 + πn, n ∈ Z; π2 + πn < x3 + π4 < 7π6 + πn, n ∈ Z;

π4 + πn < x3 < 11π12 + πn, n ∈ Z; 3π4 + 3πn < x < 11π4 + 3πn, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (3π4 + 3πn; 11π4 + 3πn), n ∈ Z.

5) cos(x – π6) ≥ 12.

Нехай x – π6 = t, тоді cost ≥ 12.

⇒ –π3 + 2πn ≤ t ≤ π3 + 2πn, n ∈ Z; –π3 + 2πn ≤ x – π6 ≤ π3 + 2πn, n ∈ Z; –π6 + 2πn ≤ x ≤ π2 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (–π6 + 2πn ; π2 + 2πn), n ∈ Z.

6) sin(4x + π5) ≤ –32. Нехай 4х + π5 = t, тоді sint ≤ –32.

⇒ 4π3 + 2πn ≤ t ≤ 5π3 + 2πn, n ∈ Z; 4π3 + 2πn ≤ 4x + π5 ≤ 5π3 + πn,

n ∈ Z; 17π15 + 2πn ≤ 4x ≤ 22π15 + 2πn, n ∈ Z; 17π60 + πn2 ≤ x ≤ 11π30 + πn2, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (17π60 + πn2; 11π30 + πn2), n ∈ Z.