§ 33: 33.3 (1)

33.3 Розв’яжіть нерівність:

1) tg(x – π3) ≤ 3. Нехай х – π3 = t; tgt3.

⇒ –π2 + πn < t < π3 + πn, n ∈ Z; –π2 + πn < x – π3 < π3 + πn, n ∈ Z;

– π2 + π3 + πn < x < π3 + π3 + πn, n ∈ Z; –π6 + πn < x < 2π3 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: –π6 + πn < x < 2π3 + πn, n ∈ Z.

2) cos(2x – π6) > –12. Нехай 2x – π6 = t, тоді cost > –12.

⇒ –2π3 + 2πn < t < 2π3 + 2πn, n ∈ Z; –2π3 + 2πn < 2x – π6 < 2π3 + 2πn,

n ∈ Z; –2π3 + π6 + 2πn < 2x < 2π3 + 2π6 + 2πn, n ∈ Z; –π2 + 2πn < 2x <

< 5π6 + 2πn, n ∈ Z; –π4 + πn < x < 5π12 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (–π4 + πn < x < 5π12 + πn), n ∈ Z.

3) ctg(π4 – x) > 13; –ctg(x – π4) > 13; ctg(x – π4) < –13.

Нехай x – π4 = t; ctgt < –13.

⇒ 2π3 + πn < t < π + πn, n ∈ Z; 2π3 + πn < x – π4 < π + πn, n ∈ Z;

2π3 + π4 + πn < x < π + π4 + πn, n ∈ Z; 11π12 + πn < x < 5π4 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: х ∈ (11π12 + πn; 5π4 + πn), n ∈ Z.

4) 2sin(π6 – 3x) ≤ 3; –2sin(3x – π6) ≤ 3; sin(3x – π6) ≥ – 32.

Нехай 3х – π6 = t, тоді sin t ≥ – 32.

⇒ –π3 + 2πn ≤ 3x – π6 ≤ 4π3 + 2πn, n ∈ Z; –π6 + 2πn ≤ 3x ≤ 3π2 + 2πn,

n ∈ Z; –π18 + 2πn3 ≤ x ≤ π2 + 2πn3, n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ [–π18 + 2πn3; < π2 + 2πn3], n ∈ Z.

5) cos(x2 + π4) ≤ –22. Нехай x2 + π4 = t, тоді cos(x2 + π4) ≤ –22.

⇒ 3π4 + 2πn ≤ t ≤ 5π4 + 2πn, n ∈ Z; 3π4 + 2πn ≤ x2 + π4 ≤ 5π4 + 2πn,

n ∈ Z; 2π4 + 2πn ≤ x2 ≤ π +2πn, n ∈ Z; π + 4πn ≤ x ≤ 2π + 4πn,n ∈ Z;

Відповідь: х ∈ [π + 4πn; 2π + 4πn], n ∈ Z.

6) sin(1 – 2x) < –22; –sin(2x – 1) < –22; sin(2x – 1) > 22.

Нехай 2х – 1 = t, тоді sin t > 22.

⇒ π4 + 2πn < 2x – 1 < 3π4 + 2πn, n ∈ Z; π4 + 2πn + 1 < 2x – 3π4 + 2πn + 1, n ∈ Z; π8 + πn + 12 < x < 3π8 + πn + 12, n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ (π8 + πn + 12; 3π8 + πn + 12), n ∈ Z.