§ 33: 33.12 (1)

33.12 Розв’яжіть нерівність:

1) sin2x + 2sinx > 0; 2sinx • cosx + 2sinx > 0; 2sinx • (cosx + 1) > 0.

Розглянемо функцію y = 2sinx(cosx + 1): її головний період 2π.

Знайдемо нулі цієї функції на проміжку [0; 2π]:

sinx = 0; x = πk, k ∈ Z; x = 0; π; 2π ∈ [0; 2π];

cosx = –1; x = π + 2πk, k ∈ Z; x = ∈ [0; 2π].

Нулі розбивають проміжок [0; 2π] на проміжки знакосталості:

Відповідь: х ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.

2) sinх + sin2х + sinЗх + sin4х < 0; sinх + sin4х + sin2х + sinЗх < 0;

2sin5x2 • cos3x2 + 2sin5x2 • cosx2 < 0; 2sin5x2 (cos3x2 + cosx2) < 0;

4sin5x2 • cosx • cosx2 < 0. Розглянемо функцію y = 4sin4x2 • cosx • cosx2: її головний період 2π. Знайдемо нулі функції на проміжку

[0; 2π]: sin5x2 = 0; 5x2 = πn, n ∈ Z; x = 2πn2, n ∈ Z;

cosx = 0; x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z;

cosx2 = 0; x2 = π2 + πh, h ∈ Z; x = π + 2πh, h ∈ Z;

x = 0; 2π2; 4π5; 6π5; 8π5 ∈ [0; 2π];

x = π2; 3π2 ∈ [0; 2π].

Нулі розбивають проміжок [0; 2π] на проміжки знакосталості:

Відповідь: х ∈ (2π5 + 2πn; π2 + 2πn) ∪ (4π5 + 2πn; π + 2πn) ∪ (6π5 +

+ 2πn; 3π2 + 2πn) ∪ (8π5 + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z.

3) sin²x + sin²x – sin²3x > 0; 1-cosx2 – 1-cos6x2 + sin²2x ≥ 0;

12(cos6x – cos2x) + sin²2x > 0;

–sin4x • sin2x + sin2 • 2x > 0; sin2x(sіn2x – sin4x) > 0;

sin2x • 2sin(–x) • cos3x > 0; sinx • sin2x • cos3x < 0.

Розглянемо функцію y = sinx • sin2x • cos3x: її головний період π. Знайдемо нулі функції на проміжку [0; π]:

sinx = 0; x = πn, n ∈ Z; x = πn, n ∈ Z;

sin2x = 0; 2x = πk, k ∈ Z; x = πk2, k ∈ Z;

cos3x = 0; 3x = π2 + πl, l ∈ Z; x = π6 + πl3, l ∈ Z;

x = 0; π ∈ [0; π];

x = π2; 0; π ∈ [0; π].

x = π6; π2; 5π6 ∈ [0; π].

Нулі розбивають проміжок [0; π] на проміжки знакосталості:

Відповідь: х ∈ (π6 + πn; π2 + πn) ∪ (π2 + πn; 6π6 + πn), n ∈ Z;

4) cosx • cos3x < cos5x • cos7x; cosx – cos3x – cos5x • cos x < 0;

12(cos2x + cos4x) – 12(cos2x – cos12x) < 0; cos4x – cos12x < 0;

–2sin8x • sin(–4x) < 0. Розглянемо функцію y = sin8x • sin4x. Її головний період π2. Знайдемо нулі функції на проміжку

[0; π2]: sin8x = 0; 8x = πn, n ∈ Z; x = πn8, n ∈ Z;

sin4x = 0; 4x = πk, k ∈ Z; x = πk4, k ∈ Z;

x = 0; π8;π4; 3π8; π2 ∈ [0; π2];

x = 0; π4; π2 ∈ [0; π2].

Нулі розбивають проміжок [0; π2] на проміжки знакосталості:

Відповідь: х ∈ (π8 + πk2; π4 + πk2) ∪ (π4 + πk2; 3π8 + πk2) , k ∈ Z.