§ 33: 33.11 (1)

33.11 Розв’яжіть нерівність:

1) sin2x = sin3x > 0; 2sin(–x2) • cos5x2 > 0; sinx2 • cos5x2 < 0.

Розглянемо функцію у = sinx2 • cos5x2 – її головний період 2π.

Знайдемо нулі цієї функції на проміжку [0; 2π]. sinx2 = 0;

cos5x2 =0;

x2 = πn, n ∈ Z; x = 2πn, n ∈ Z;

5x2 = π2 + πk, k ∈ Z; x = π5 + 2πk5, k ∈ Z;

x = 0; x = 2πn ∈ [0; 2π];

x = π5; 3π5; π; 7π5; 9π5 ∈ [0; 2π].

Нулі розбивають проміжок [0; 2π] на проміжки знакосталості:

Відповідь: x ∈ (π5 + 2πn; 3π5 + 2πn) ∪ (π + 2πn; 7π5 + 2πn) ∪ (9π5 + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z.

2) cos2x • tgx > 0. Розглянемо функцію y = cos2x • tgx – її головний період π2. Знайдемо нулі цієї функції на проміжку.

[0; π2]. cos2x = 0; 2x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π4 + πk2, k ∈ Z;

tgx = 0; x = πk, k ∈ Z; x = πk, k ∈ Z;

x = π4 ∈ [0; π2];

x = 0 ∈ [0; π2].

Нулі розбивають проміжок [0; π2] на проміжки знакосталості:

Відповідь: x ∈ (πk2; π4 + πk2), k ∈ Z.

3) 1 – sin2x ≥ cosx – sinx; 1 + sinx – sin2x – cosx ≤ 0;

1 – cosx + 2sin(–x2) • cos3x2 ≥ 0; 2sin²x2 – 2sinx2 • cos3x2 ≥ 0;

2sinx2 (sinx2 – cos3x2) ≥ 0; 2sinx2 (sinx2 – sin(π2 – 3x2)) ≥ 0;

4sinx2 • sin(x – π4) • cos(π4 – x2) ≥ 0.

Розглянемо функцію

y = sinx2 • sin(x – π4) • cos(π4 – x2), її головний період 2π.

Знайдемо нулі цієї функції на проміжку [0; π2]:

sinx2 = 0; x2 = πn, n ∈ Z; x = 2πn, n ∈ Z;

sin(x – π4) = 0; x – π4 = πk, k ∈ Z; x = π4 + πk, k ∈ Z;

cos(π4 – x2) = 0; –π4 + x2 = π2 + πh, h ∈ Z; x2 = 3π4 + πh, h ∈ Z;

x = 2πn, n ∈ Z; x = 0; x = 2π ∈ [0; 2π];

x = π4 + πk, k ∈ Z; x = π4; x = 5π4 ∈ [0; 2π];

x = 3π4 + 2πh, h ∈ Z; x = 3π2 ∈ [0; 2π].

Нулі розбивають проміжок [0; 2π] на проміжки знакосталості:

x ∈ [π4 + 2πn; 5π4 + 2πn] ∪ [3π2 + 2πn; 2π + 2πn], n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ [π4 + 2πn; 5π4 + 2πn] ∪ [3π2 + 2πn; 2π + 2πn], n ∈ Z.

4) sinx + sin2x + sin3x > 0: sinx + sin3x + sin2x > 0;

2sin2x • cosx + sin2x > 0; sin2x(2cosx + 1) > 0.

Розглянемо функцію y = sin2x(2cosx + 1): її головний період 2π.

Знайдемо нулі функції на проміжку [0; 2π]: sin2x = 0;

2cosx + 1 = 0;

2x = πn, n ∈ Z; 2x = πn, n ∈ Z; x = πn2 , n ∈ Z;

cosx = –12; x = ± 2π2 + 2πk, k ∈ Z; x = ± 2π2 + 2πk, k ∈ Z;

x = 0; π2; π; 3π2; 2π ∈ [0; 2π];

x = 2π3; 4π3 ∈ [0; 2π].

Нулі розбивають проміжок [0; 2π] на проміжки знакосталості:

Відповідь: x ∈ (2πn; π2 + 2πn) ∪ (2π3 + 2πn; π + 2πn) ∪ (4π3 + 2πn;

3π2 + 2πn), n ∈ Z.