§ 33: 33.10 (1)

33.10 Розв’яжіть нерівність:

1) 2sin2x + 3sinx – 3 ≥ 0.

Нехай sinx = t, |t| < 1.

Тоді 2t² + 3t – 3 ≥ 0; D = 3 + 24 = 27;

t₁ = -3+ 274 = -3+ 334 = 32; t₁ = -3- 334 = –3.

Тоді нерівність набуває вигляду:

2(t – 32)(t + 3) ≥ 0;

t ∈ (–∞; –3] ∪ [32; +∞); ⇒ t ∈ [32; 1].

t ∈ [–1; 1]

Маємо: 32 ≤ sinx ≤ 1;

⇒ x ∈ [π3 + 2πn; 2π3 + 2πn], n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ [π3 + 2πn; 2π3 + 2πn], n ∈ Z.

2) ctg²x + ctgx ≥ 0. Нехай ctg x = t, тоді t² + t ≥ 0; t(t + 1) ≥ 0;

? ∈ (–∞; –1] ∪ [0; +∞).

Маємо: ctgx ≤ –1;

ctgx ≥ 0;

⇒ x ∈ (πn; π2 + πn] ∪ [3π4 + πn;π + πn], n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ (πn; π2 + πn] ∪ [3π4 + πn;π + πn], n ∈ Z.

3) 4sin⁴x + 12cos²x – 7 < 0; 4sin⁴x – 12sin²x + 5 = 0;

4sin²x – 12 sin²x + 21 = 9; 4sin⁴x – 12sin²x + 5 < 0.

Нехай sin²x = t, t ∈ [0; 1]. Тоді: 4t² – 12t + 5 < 0;

D₁ = 36 – 20 = 16; t₁ = 6+44 = 104 = 52; t₂ = 6-14 = 12.

Тоді нерівність приймає вигляд:

4(t – 52)(t – 12) < 0 ⇒ t ∈ (12; 52) ⇒ t ∈ (12;1].

t ∈ [0; 1]

Маємо: 12 sin²x ≤ 1; 12 < 1-cos2x2 ≤ 1;

1 < 1 – cos2x ≤ 2; 0< –cos2x ≤ 1; 0 > cos2x ≥ –1. Звідси cos2x < 0 ⇒ 2x ∈ (π4 + 2πn; 3x2 + 2πn), n ∈ Z; x ∈ (π4 + πn; 3π2 + πn), n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ (π4 + πn; 3π2 + πn), n ∈ Z.

4) 2tg x+1 < 2 – tgx. Нехай tgx = t, тоді: 2t+1 (2 – t) < 0;

2-2-t(t+1)t+1 < 0; t2- tt+1 < 0; (t² – t)(t + 1) < 0; t(t – 1)(t + 1) <0;

⇒ t ∈ (–∞; –1) ∪ (0; 1).

Маємо: tgx < –1;

0 < tgx < 1.

1) tgx < –1;

⇒ x ∈ (–π2 + πn; –π4 + πn),

n ∈ Z.

2) 0 < tgx < 1;

⇒ x ∈ (πn; π4 + πn), n ∈ Z.

Відповідь: x ∈ (–π2 + πn; –π4 + πn) ∪ (πn; π4 + πn), n ∈ Z.