§ 32: 32.9 (1)

32.9 Розв’яжіть рівняння:

1) cos3x + sinx • sin2x = 0; cos3x + 12(cosx – cos3x) = 0;

12cos3x + 12cosx = 0; 12 • (cos3x + cosx) = 0; 12 • 2cos2x • cosx= 0;

cos2x • cosx = 0;

cos2x = 0; 2x = π2 + πn, n ∈ Z; x = π4 + πn2, n ∈ Z;

cosx = 0; x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: x = π4 + πn2, n ∈ Z; x = π2 + πk, k ∈ Z.

2) sin3x • cos2x = sin5x; 12(sinx + sin5x) • sin5x = 0;

12sinx – 12sin5x = 0; 12(sinx – sin5x) = 0; –sin2x • cos3x = 0;

sin2x = 0; 2x = πn, n ∈ Z; x = πn2, n ∈ Z;

cos3x = 0; 3x = π2 + πk, k ∈ Z; x = π6 + πk3, k ∈ Z.

Відповідь: x = πn2, n ∈ Z; x = π6 + πk3, k ∈ Z.

3) 2сos(x + 20°) • cosx = cos40°;

cos20° + cos(2x + 20°) = cos40°;

cos(2x + 20°) + cos20° – cos40° = 0;

cos(2x + 20°) – 2sin30° • son(–10°) = 0;

cos(2x + 20°) + sin10° = 0;

cos(2x + 20°) + cos80° = 0;

2cos(x – 30°) • cos(x + 50°) = 0;

cos(x – 30°) = 0; x – 30° = 90° + 180° • n, n ∈ Z;

cos(x + 50°) = 0; x + 50° = 90° + 180° • k, k ∈ Z;

x = 120° + 180° • n, n ∈ Z;

x = 40° + 180° • k, k ∈ Z.

Відповідь: x = 120° + 180° • n, n ∈ Z; x = 40° + 180° • k, k ∈ Z.

4) cos3x • cos6x = cos4x • cos7x; 12(cos3x + cos9x) = 12(cos3x + cos11x); 12 (cos9x – cos11x) = 0; –sin10x • sin(–x) = 0; sin10x • sinx = 0;

sin x = 0; x = πn, n ∈ Z; x = πn, n ∈ Z;

sin 10x = 0 10x = πk, k ∈ Z; х = πk10, k ∈ Z; ⇒ x = πk10, k ∈ Z.

Відповідь: x = πk10, k ∈ Z.