§ 31: 31.7 (1)

31.7 Розв’яжіть рівняння:

1) sin²x + 0,5 • 2sinxcosx – 2cos²x = 0|: cos²x; tg²x + tgx – 2 = 0.

Заміна: tgx = t; t² + t – 2 = 0; t₁ = 1; t₂ = –2.

Обернена заміна:

tgx = 1; x = π4 + πn, n ∈ Z;

tgx = –2; x = –arctg2 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: π4 + πn; –arctg2 + πk, k ∈ Z.

2) 5cos²x – 3sin²x – 2sinxcosx – 2(sin²x + cos²x) = 0;

–5sin²x – 2sinxcosx + 3cos²x = 0|: (–cos²x); 5tg³x + 2tgx – 3 = 0.

Заміна: tg x = t; 5t² + 2t – 3 = 0;

D = 2² – 4 • 5 • (–3) = 64; D = 8; t₁ = -2-82 • 5 = –1; t₂ = -1+82 • 5 = 35.

Обернена заміна:

tgx = –1; x = –π4 + πn, n ∈ Z;

tgx = 35; x = arctg35 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: –π4 + πn; arctg35 + πk, k ∈ Z.

3) 3sin²x + sinxcosx + 4cos²x – 3(sin²x + cos2x) = 0;

sinxcosx + cos²x = 0; cosx(sinx + cosx) = 0; cosx = 0;

x = π2 + πn, n ∈ Z;

або sinx + cosx = 0|: cosx; tgx + 1 = 0; tgx = –1; x = –π4 + πk,

k ∈ Z.

Відповідь: π2 + πn; –π4 + πk, k ∈ Z.

4) 3sinxcosx + cos²x – (sin²x + cos²x) = 0;

3sinxcosx – sin²x = 0; –sinx(sinx – 3cosx) = 0;

sinx = 0; x = πn, n ∈ Z;

або sinx – 3cosx = 0|: cosx; tgx – 3 = 0; tgx = 3; x = arctg3 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: πn; arctg3 + πk, n, k ∈ Z.