§ 31: 31.4 (1)

31.4 Розв’яжіть рівняння:

1) 5sinx6 + (1 – cosx3) + 2 = 0; 5sinx6 + 2sin²x6 + 2 = 0.

Заміна: sinx6 = t. 2t² + 5t + 2 = 0;

D = 5² – 4 • 2 • 2 = 9; D = 3; t₁ = -5-32 • 2 = –2; t₂ = -5+32 • 2 = –12.

Обернена заміна:

sinx6 = –2; коренів немає;

sinx6 = –12; x6 = (–1)ⁿ⁺¹ π6 + πn, n ∈ Z; x = (–1)ⁿ⁺¹ π + 6 πn, n ∈ Z.

Відповідь: (–1)ⁿ⁺¹ π + 6 πn, n ∈ Z.

2) 1 – 2sin²x2 + sinx2 = 0; –2sin²x2 + sinx2 + 1 = 0; 2sin²x2 – sinx2 – 1 = 0.

Заміна: sinx2 = t; 2t² – t – 1 = 0;

D = 1 – 4 • 2 • (–1) = 9; D = 3; t₁ = 1+32 • 2 = 1; t₂ = 1-32 • 2 = –12.

Обернена заміна:

sinx2 = 1; x2 = π2 + 2πn, n ∈ Z; х = π + 4πn, n ∈ Z;

sinx2 = –12; x2 = (–1)^k π6 + πk, k ∈ Z; x = (–1)^k+1π3 + 2πk, k ∈ Z;

Відповідь: π + 4πn; (–1)^k+1π3 + 2πk, n, k ∈ Z.

3) 2cos²4x – 6 • 1+ cos4x2 + 1 = 0;

2cos²4x – 3 – 3cos4x + 1 = 0; 2cos²4x – 3cos4x – 2 = 0.

D = (–3)² – 4 • 4 • 2 = 25; D = 5; t₁ = 3+52 • 2 = 2; t₂ = 3-52 • 2 = –12.

Обернена заміна:

cos4x = 2; коренів немає;

cos4x = –12; 4x = ±(π – π3) + 2πn, n ∈ Z; 4x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z;

x = ± π6 + πn3, n ∈ Z.

Відповідь: ± π6 + πn3, n ∈ Z.

4) tgx + 2tgx – 3 = 0.

Заміна: tgx = t.

t + 2t – 3 = 0; t + t2-3t+3r = 0 ⇔ t² – 3t + 2 = 0, t₁ = 2; t₂ = 1.

t ≠ 0;

Обернена заміна:

tgx = 2; x = arctg2 + πn, n ∈ Z;

tgx = 1; x = π4 + 2πk, n, k ∈ Z.

5) 3tg x + 3 = 3(1 + tg²x); 3tg²x – 3tg x = 0.

Заміна: tgx = t; 3t² – 3t = 0; 3t(3t – 1) = 0; t = 0; t = 0 або

t = 13 = 33.

Обернена заміна:

tgx = 0; x = πn, n ∈ Z;

tgx = 33; x = π6 + πk, k ∈ Z.

Відповідь: πn; π6 + πk, k ∈ Z.

6) 4sin²x + 9(1sin2x – 1) – 6 = 0; 4sin4x+9-9sin2x-6sin2xsin2x = 0.

Заміна: sin²x = t; 4t2-15t+9t2 = 0; ⇔ 4t² – 15t + 9 = 0,

t ≠ 0;

D = 15² – 4 • 4 • 9 = 81; D = 9; t₁ = 15+92 • 4 = 3; t₂ = 15-93 = 34.

Обернена заміна:

sin²x = 3; коренів немає;

sin²x = 34; sin x = –32, або sinx = 32;

x = (–1)^k+1 π3 + πk, k ∈ Z, або x = (–1)ⁿ π3 + πn, n ∈ Z.

Після об'єднання двох серій коренів отримаємо ±π3 + πn, n ∈ Z.

Відповідь: ±π3 + πn, n ∈ Z.