§ 31: 31.10 (1)

31.10 Розв’яжіть рівняння:

1) 4 сos xsinx – 5sinx = 0; ОДЗ: sinx ≠ 0; x ≠ πn, n ∈ Z.

4cosx-5sin2xsinx = 0; 4cosx-5(1- cos2x)sinx = 0;

5cos²x + 4cosx – 5 = 0.

Заміна: cos x = t; 5t² + 4t – 5 = 0;

D₁ = 2² – 5 • (–5) = 29; D = 29; t₁ = -2+ 295; t₂ = -2- 295.

Обернена заміна:

cosx = -2+ 295; x = ±arccos29- 25 + 2πn, n ∈ Z.

cosx = -2- 295; коренів немає (-2- 295 < –1).

Відповідь: ±arccos29- 25 + 2πn, n ∈ Z.

2) 4(1 – cos²2x) + 7cos2x – 2 • 1-cos2x2 = 6;

4 – 4cos²2x + 7cos2x – 1 + cos2x – 6 = 0;

–4cos²2x + 8cos2x – 3 = 0;

4cos²2x – 8cos2x + 3 = 0.

Заміна: cos2x = t; 4t² – 8t + 3 = 0;

D = (–8)² – 4 • 4 • 3 = 16; D = 4; t₁ = 8+42 • 4 = 32; t₂ = 8-42 • 4 = 12.

Обернена заміна:

cos2x = 32; коренів немає; cos2x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z; x = ± π6 + πn,

n ∈ Z;

Відповідь: ± π6 + πn, n ∈ Z.

3) 7 + 2sin2x + 1,5(sinxcosx + cosxsinx) = 0; ОДЗ: x ≠ πn2, n ∈ Z;

7 + 2sin2x + 1,5sin2x+ cos2x • 2cosxsinx • 2 = 0;

7 + 2sin2x + 3sin2x = 0;

2sin22x+7sin2x+3sin2x = 0;

2sin²2x + 7sin2x + 3 = 0.

Заміна: sin2x = t; 2t² + 7t + 3 = 0; D = 7² – 4 • 2 • 3 = 25;

D = 5; t₁ = -7-52 • 2 = –3; t₂ = -7+52 • 2 = –12.

Обернена заміна:

sin2x = –3; кренів немає;

sin2x = –12; 2x = (–1)ⁿ⁺¹arcsin12 + πn, n ∈ Z; 2x = (–1)ⁿ⁺¹π6 + πn,

n ∈ Z; x = (–1)ⁿ⁺¹π12 + πn2 , n ∈ Z.

Відповідь: (–1)ⁿ⁺¹π12 + πn2 , n ∈ Z.

4) 2 • (2сos²2x – 1) – 2 • 1+cos2x2 – 3cos2x = 0;

4cos²2x – 2 – 1 – cos2x – 3cos2x = 0;

4cos²2x – 4cos2x – 3 = 0.

Заміна: cos 2x = t; 4t² – 4t – 3 = 0; D = (–4)² – 4 • 4 (–3) = 64;

D = 8; t₁ = 4+82 • 4 = 32; t₂ = 4-82 • 4 = –12.

Обернена заміна:

cos2x = 32; коренів немає;

cos2x = –12; 2x = ±(π – π3) + 2πn, n ∈ Z; 2x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z;

x = ± π3 + 2πn, n ∈ Z.

Відповідь: ± π3 + 2πn, n ∈ Z.